HERLEITUNG der Mitternachtsformel – abc Formel
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=wZjKZzCtljw

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 Hallo ihr Lieben, heute möchte ich euch die Herleitung der Mitternachtsformel zeigen. So sieht die Mitternachtsformel ja aus. Wird ja auch als ABC Formel
0:10 bezeichnet und wir schauen uns jetzt mal an, wie man auf diese Formel überhaupt kommen kann. Wir haben einiges vor, ist ein bisschen was an Arbeit, aber wir
0:20 gehen das Ganze Schritt für Schritt gemeinsam durch. Wann nutzt man diese Formel überhaupt, wenn man eine quadratische
0:29 Gleichung lösen will? Also jede quadratische Gleichung ist ja in der Form ax² + bx + c und dann das ganze gleich 0
0:40 gegeben. Also wir haben einen Teil mit x², vorne dran kann eine Zahl stehen. Wir haben einen Teil mit x, vorne dran kann irgendeine Zahl stehen und dann
0:50 haben wir noch einen Teil, in dem gar kein X vorkommt. Da steht einfach nur eine Zahl und das ganze gleich 0. Und dieses A, B und C, also die Zahlen,
1:00 die hier vor meinem X², vor meinem X und hier stehen, das sind diese Zahlen a, B und C, die hier in dieser Formel auftauchen. Also, wir nehmen uns
1:12 tatsächlich diese Gleichung und lösen die Schritt für Schritt nach X auf. Und ganz am Schluss sollten wir diesen Ausdruck hier stehen haben. Und dann
1:25 haben wir gezeigt, dass man ähm jede quadratische Gleichung eben einfach mit dieser Formel lösen kann. Also unsere Aufgabe, wir schnappen uns diese
1:36 quadratische Gleichung und lösen sie Schritt für Schritt. Wie kriegen wir das hin? Momentan ist es ja noch so, dass vor meinem X² dieses A steht. Das könnte
1:48 ich vielleicht erstmal wegbekommen, indem ich die Gleichung einmal teile durch dieses A. a kann auch nicht 0 sein, weil sonst wäre dieser x² Teil gar
1:57 nicht da. Deswegen dürfen wir durch a einfach teilen. Dadurch verschwindet a hier und nur x² bleibt stehen. Aber da hier ein Plus ist, müssen wir auch
2:08 diesen Teil hier durch a teilen. Also nehme ich also das X lasse ich stehen und ich teile das B durch A. Das schreibt das hier im Bruch b a und
2:20 schreib dann das X hinten dran. Und dasselbe aber mit diesem Teil hier, den müssen wir auch durch A teilen. Also nehmen wir unser C, teilen das ganz brav
2:30 durch A. Auf der anderen Seite die Null müssen wir auch durch A teilen, aber es macht halt keinen Unterschied, weil 0 dur a immer noch 0 ist. Okay, da haben
2:39 wir jetzt jeden einzelnen Teil erstmal durch a geteilt. Jetzt haben wir hier eine quadratische Gleichung. Vor unserem x²
2:49 steht nichts mehr. Quadratische Gleichung kann man immer mit der quadratischen Ergänzung lösen. Sie ist nicht so beliebt und je schlimmer die
3:01 Sachen hier aussehen, desto schwieriger ist sie dann noch umzusetzen. Aber wir atmen durch und gehen schön in die quadratische Ergänzung rein. Und zwar
3:11 funktioniert es folgendermaßen. Wir verwenden jetzt erstmal nur die ersten beiden Teile, also den Teil mit x quadrat und den Teil mit X. Dieser
3:24 hintere Teil, der interessiert uns jetzt erstmal nicht so sehr, deswegen den schreiben wir mit einem großen Platz hier dazwischen hinten dran. Der muss
3:31 natürlich in der Gleichung drin stehen bleiben. Auch das gleich 0 muss natürlich hier bleiben, aber wir brauchen ein bisschen Platz für unsere
3:39 quadratische Ergänzung. Und zwar ergänzen wir jetzt hier etwas, also wir fügen jetzt hier etwas hinzu, aber ziehen es danach direkt wieder ab,
3:49 weil wir dürfen ja unsere Gleichung nicht einfach ändern, aber wir dürfen was hinzufügen und dann genau dasselbe wieder abziehen, dann haben wir ja im
3:55 Grunde nichts geändert, aber es wird uns helfen. Deswegen das hier ist jetzt die quadratische Ergänzung. Was fügen wir hier hinzu? Wir gehen zu unserem X und
4:06 schauen uns das an, was vor unserem X steht. Da steht normalerweise irgendeine Zahl, aber da kann eben auch so ein Ausdruck stehen. Das Prinzip ist immer
4:16 dasselbe. Wir nehmen uns diesen Ausdruck jetzt. Ich mache mal eine Nebenrechnung. Dieses B dur A, das ist das orangene hier. Und das wird immer halbiert
4:26 erstmal, also durch 2 geteilt und danach, nachdem wir das gleich noch vereinfacht haben, muss es noch quadriert werden. Dürfen wir nicht
4:34 vergessen, aber das wird es dann, was hier hinzugefügt wird. Aber lasst uns das erstmal halbieren, was da rauskommt. Einen Bruch durch eine Zahl
4:43 zu teilen, können wir so machen, dass wir die Zahl erstmal auch in einen Bruch schreiben, also 2 durch 1. Und statt durch den Bruch multipliziert man ja mit
4:52 dem Kehrwert. Also man dreht die beiden Zahlen hier einmal rum. Die zwei kommt nach unten, die 1 nach oben. Dann können wir jetzt multiplizieren. B* 1 sind b
5:01 und unten haben wir a* 2, was 2a sind. Also das hier wäre der Teil hier vorne durch zwei geteilt. Den nehmen wir uns jetzt
5:13 hierher, aber haben gesagt, nicht vergessen, dass das Ding auch noch quadriert werden muss. Deswegen hier schöne Klammer drumrum und quadrieren.
5:21 Das ist immer dasselbe. Ihr nehmt das, halbiert es und dann quadriert ihr das Ding. Und dann nicht vergessen, genau das noch mal abzuziehen. Also, da müsst
5:30 ihr jetzt gar nicht mehr denken. Ihr schreibt genau das Ding hier noch mal so ab, wie es da steht. Das Quadrat nicht vergessen. Deswegen wir haben was
5:39 hinzugefügt und wieder abgezogen. Das war die quadratische Ergänzung. Das habe ich jetzt mal noch mal hier hingeschrieben. Und die Frage ist, warum
5:47 haben wir das jetzt gemacht? Weil die ersten drei Teile hier jetzt immer so perfekt vorbereitet sind, dass wir statt diesem Teil hier das Ganze mit
6:03 der binomischen Formel rückwärts in diese Klammerschreibweise bringen können, die quadriert wird. Also dadurch, dass hier ein Plus steht vor
6:14 meinem X-Teil, kommt hier ja auch ein Plus hin. Also es ist die erste binomische Formel. Und was kommt hier vorne hin? Da müssen wir hier vorne zu
6:23 dem Quadratteil gehen. Dann nehmen wir nur das X, nicht das Quadrat, das lassen wir weg. Nur das X kommt hier rein. Und um zu wissen, was hier hinkommt, gehen
6:33 wir hinten zu dem Quadratteil. Und davon nehmen wir auch nur das, was hier steht, nicht das Quadrat, also nur das [Musik]
6:42 ba. Das funktioniert immer, weil wir es exakt so vorbereitet haben mit der quadratischen Ergänzung. Deswegen können wir diese drei Teile so schreiben und
6:53 den Rest schreiben wir einfach nur ab. Also, wir haben das Minus hier. Dann könnten wir das hier aber auch schon mal ähm quadrieren. Also, wir haben b zum
7:02 Quadrat und unten haben wir 2 zum Quadrat, was 4 sind und a zum Quadrat auch noch. Und hinten den Teil schreiben wir schön ab und die gleich 0 natürlich
7:13 nicht vergessen. Okay, dann sieht unsere Gleichung so aus. Wir müssen uns immer noch mal überlegen, was wollen wir hier
7:20 eigentlich machen? Wir wollen diese Gleichung ja nach Xstellen. X kommt jetzt übrigens nur noch an einer einzigen Stelle vor hier
7:30 in dieser quadratischen Klammer. Das heißt, um nach X umzustellen, würden wir diesen ganzen Teil, der ja gar kein X in sich hat, mal auf die andere Seite von
7:41 der Begleichung bringen. Also, dass wir wirklich nur die Klammer auf der linken Seite stehen haben und dann auf der anderen Seite
7:52 bringen wir das hier eben rüber mit Plus diesem Teil. Also dann ist der positiv auf der anderen Seite und diesen Teil bringen wir rüber mit minus diesen Teil.
8:04 Also ziehen wir den hier dann schön ab. Okay, wie geht's dann weiter? Wir könnten die rechte Seite erst noch ein bisschen schöner machen. Wir haben ja
8:15 hier zwei Brüche, die voneinander abgezogen werden sollen. Das geht ja aber erst, wenn die beiden Nenner identisch sind. Das sind sie noch nicht,
8:25 aber das können wir hinbekommen. Wir haben hier eine vier, die hier noch nicht da ist. Also müssten wir mit 4 multiplizieren, aber auch ein Zähler mit
8:32 4 multiplizieren. Und hier haben wir A² und hier nun a. Also müssten wir hier noch mit a multiplizieren. A* A sind dann A², aber auch oben müssen wir mit A
8:44 multiplizieren. Dann sind die Nenner aber identisch und wir dürfen diese beiden Brüche voneinander abziehen. Also die linke Seite bleibt unverändert.
8:53 erstmal bei dem, was wir schon gefunden haben und die rechte Seite schreiben wir jetzt auf einen Bruch. Der Nenner bleibt bei
9:02 4a² und die Zähler ziehen wir voneinander ab. Dann haben wir das b² da stehen - 4a. Ich drehe die Buchstaben gerne rum in der Reihenfolge, wie sie
9:12 eben auch mal Alphabet vorkommen. Da würde ich dann hinschreiben und dann sieht es schon mal so aus. Wenn man sich das so
9:21 ein bisschen anschaut, es hat schon die Elemente von der Mitternachtsformel. Dieses B² - 4ac kommt hier schon mal vor. Ähm, alles andere ist noch ein
9:31 bisschen wild, aber ein Teil gibt uns schon mal Vertrauen, dass wir auf einem richtigen Weg sind. Okay, jetzt haben wir auf der linken
9:38 Seite etwas zum Quadrat stehen und unser X ist hier drin. Wir wollen ja nach Xstellen, also muss dieses Quadrat verschwinden. Deswegen ziehen wir jetzt
9:49 einfach mal auf beiden Seiten die Wurzel. Wenn wir bei einer Gleichung die Wurzel ziehen, um so ein Quadrat wegzubekommen,
9:59 dann löst sich das Quadrat hier auf und nur der Teil in der Klammer bleibt auf der linken Seite einfach so stehen, ohne irgendwas zu ändern. Aber auf der
10:11 rechten Seite müssen wir dann uns darum kümmern, dass da zwei Lösungen rauskommen, nämlich plus minus die Wurzel von diesem ganzen Ding. Deswegen
10:21 einmal eine Riesenwurzel hin und dann das Teil hier schön komplett einmal unter die Wurzel schreiben. Okay, wir näheren uns. Unser
10:32 X steht schon mal frei da. Wir können gleich nach x umstellen, indem wir nur noch den Teil hier rüber bringen. Aber bevor wir das machen, lass uns mal ein
10:41 bisschen das hier jetzt noch verschönern. Ähm, die linke Seite lassen wir einfach mal so stehen, aber rechts haben wir
10:50 plus minus und jetzt will ich nämlich die Wurzel ziehen aus den Dingen, aus denen es geht. Wir haben hier eine Differenz stehen, also aus dem kann ich
11:01 die Wurzel nicht ziehen. Da würde ich die Wurzel einfach genauso stehen lassen. Also Wurzel von dem, was oben stand. Aber hier unten, da kann ich die
11:12 Wurzel ziehen. Da habe ich nämlich Wurzel von 4, was 2 ergibt und dann noch Wurzel von a². Und da muss ich richtig aufpassen, denn das ergibt den Betrag
11:24 von A. Wie löse ich so einen Betrag aber auf, indem ich plus und minus von A betrachte? Und dadurch, dass Plus und
11:37 Minus aber schon vor meinem Bruch hier steht, aus einem anderen Grund, aber es es passiert schon, dass es betrachtet wird, diese beiden Fälle. Deswegen muss
11:46 ich den Betrag hier jetzt nicht mehr betrachten, sondern kann es einfach so hinschreiben ohne Betrag, weil die beiden Fälle hier sowieso schon
11:55 betrachtet werden. Okay, aber soweit sind wir gekommen. Wir wollen immer noch nach x umstellen. Also sorgen wir mal dafür, dass dieser Teil noch nach rechts
12:04 hüpft, indem wir den abziehen auf beiden Seiten, also - b dur 2a rechnen. Dann steht unser x nämlich tatsächlich alleine auf der Seite. Hier haben wir
12:15 diesen wunderschönen Riesenbruch stehen und dann ziehen wir von dem einfach nur noch diesen Bruch ab. Zwei
12:27 Brüche können wir voneinander abziehen, wenn die Nenner identisch sind. Sie sind es schon. Wie praktisch. Da müssen wir gar nicht mehr viel arbeiten. Wir können
12:36 diese beiden Brüche jetzt einfach voneinander abziehen. Der Nenner bleibt bei 2a und die Zähler werden jetzt voneinander abgezogen. Also hier das
12:45 Plus minus dürfen wir nicht vergessen. Das dann vor die Wurzel noch zu schreiben. Wir haben plus minus und dann die
12:52 Riesenwurzel. Und davon ziehen wir einfach das B hier ab. Und seht ihr diese Struktur, die fast die Mitternachtsformel ist. Bei der
13:03 Mitternachtsformel erstmal schreibt man bei dem X auch gerne 1 2 hin, weil man wegen dem Plus minus eben zwei Lösungen bekommt und dann der Nenner ist bei 2a,
13:16 aber im Zähler werden die beiden Sachen normalerweise rumgedreht. Also man startet mit - b und dann kommt diese plus minus Wurzel noch hinten dran. Aber
13:28 ansonsten ist das hier jetzt tatsächlich die Mitternachtsformel, die man normalerweise immer benutzt und wir haben sie heute mal hergeleitet. Ich
13:35 hoffe, es ist klar geworden, wie man vorgehen kann. Falls ihr Fragen habt, schreibt sie gerne in die Kommentare. Ansonsten habt noch einen wunderschönen
13:40 Tag und wir sehen uns beim nächsten Video. Macht's gut. M.