Epsilon Delta Kriterium – STETIGKEIT von Funktionen beweisen, Wurzel x Beweis, Beispiel
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=w2Ua6Ck7mSI

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hallo ihr lieben in dem heutigen video möchte ich zusammen mit euch das erzählen delta kriterium durchgehen und wie man es benutzt um die stetigkeit von
0:09 einer funktion zu beweisen dazu gehen wir erstmal die definition hier vorne durch werden dann die stetigkeit von der funktion 3x beweisen
0:18 und auch von der wurzel funktion aber erstmal die definition die einen am anfang erstmal komplett um haut weil die ist ja so kompliziert aufgeschrieben da
0:27 rast man ja erstmal gar nichts eine funktion die auf dem definitions projekte in die realen zahlen abbildet ist stetig an der stelle x0 also um die
0:39 stelle geht es dann immer an dem man die stetigkeit zeigen will denn für jedes land größer null existiert ein delta 0 so dass für alle
0:50 echse aus unserem definitions bereich folgende zusammenhang von einer zusammenhang gilt wenn der abstand zwischen 6 und 60 kleiner als delta ist
1:02 dann sind auch oder ist auch der abstand der funktions werte von xx 0 kleiner als exelon so das sagt einem erstmal gar nichts wir müssen einfach nur schauen
1:15 was haben wir zu tun bei den aufgaben dann an sich und zwar ist die aufgabe an sich eigentlich das delta zu finden wir müssen ein delta finden darf von y
1:28 abhängt ist darf von y und von unserer x0 stelle abhängen es darf nicht mehr von iks an sich abhängen sondern erlaubt es so was wie der delta gleich y halbe
1:42 oder delta gleich drei ex 0 durch y oder so irgendwas auf jeden fall delta davon psion und x0 abhängen und das ist immer das ziel dieses delta zu finden
1:56 in den beweisen steht das delta immer ganz am anfang für delta gleich y halbe gilt aus aber das delta findet man nicht so schnell das ist eine ganze kette die
2:08 man dadurch gehen muss bis man dieses delta überhaupt findet und wenn man es gefunden hat dann schreibt man den beweis noch mal neu auf und startet dann
2:15 damit für dieses delta dass man in der neben rechnung gefunden hat gilt das ganze deswegen sind die beweise immer so aus um mein gott wo kommt das geld
2:23 plötzlich her aber das ist ein langer prozess oder kann ein langer prozess sein man geht auf jeden fall im aus
2:30 folgendermaßen vor man schnappt sich erstmal diesen teil hier und formt den um das ist immer der anfang also dass da nimmt man und form den um- und das
2:42 wollen wir jetzt in den aufgaben mal probieren das heißt fnx - es von x0 und betrag drumrum das nehmen wir uns und beziehen
2:54 das mal auf unsere funktion setzen wir das mal ein von ex ist bei uns 3x - und fnx 0 ist genau dasselbe nur x0 eingesetzt also 3x 0
3:10 so und jetzt müssen wir das irgendwie umformen und zwar wollen wir xx 0 vom betrag hier irgendwie stehen haben denn das war ja unsere bedingung wenn x10
3:25 kleiner als delta ist dann muss das gelten das heißt das hier ist immer die voraussetzung das gilt dann immer also x10 ist kleiner als der tat das dürfen
3:34 wir benutzen und dann muss das andere ja kleiner als y sein das heißt wir müssen das jetzt irgendwie so umformen dass wir da x10 irgendwie
3:45 drin bekommen und das sieht hier eigentlich schon ganz gut aus denn wir können die drei einfach mal ausklammern dann steht er dreimal diesen beiden drin
3:54 60 und dann haben wir da schon diesen x600 dem wir brauchen damit wird es durch das data hier abschätzen können das könnte man jetzt erstmal noch
4:06 auseinander ziehen also die drei kann ja aus dem betrag aus dann steht er nur noch dreimal betrag von x10 und jetzt sind wir wirklich so weit jetzt können
4:16 wir das durch unser delta hier abschätzen weil dieses x10 ist ja kleiner als delta also schreiben wir kleiner als drei mal und wie gesagt dass
4:27 daher setzen wir durch unser data und jetzt sind wir schon sehr weit jetzt haben wir eine abschätzung geschaffen und da steht nur noch delta drin also
4:37 wir müssen gucken dass asics verschwindet also hier darf jetzt noch delta und x0 drin stehen dann sind wir fertig erstmal und das was wir jetzt
4:47 hier gefunden haben das setzen wir gleich y also dieses dreimal delta setzen wir gleich y und lösen das jetzt nach delta auf ist jetzt hier einfach
4:57 mitteilen einfach durch drei bilder gleich exil on drittel und das ist unser gesuch des delta und mit dem würde man den beweis an sich
5:07 jetzt noch mal neu ausschreiben ganz am anfang dann sei absolut größer 0 und 1 0 aus eher beliebig dann gilt für delta gleich y drittel
5:20 da es das da und das damals man formt dann alles noch einmal genauso um und hier für dieses delta setzt man dann y drittel ein also dreimal y drittel
5:35 und da seht ihr das dann apps i lon insgesamt rauskommt und dann haben wir gezeigt dass er von xfx 0 wenn wir die ganze kette langen kleiner als y es und
5:46 das ist wie gesagt das was man zu zeigen hat wenn diese bedingungen erfüllt ist dann muss das da kleiner als y sein und dann hat man die stetigkeit gezeigt und
5:57 das haben wir gerade geschafft und das wollen wir jetzt noch an diesem etwas schwierigeren beispiel zeigen aber man geht genauso vor also betrag striche f
6:06 von xfx 0 das ist der staat dann setzen wir die funktion eben ein für das fmk system wurzeln - das 6 0 der 1 wurzel aus x0 so wir wollen auch hier
6:25 irgendwie zu diesem ausdruck kommen dass wir das durch delta abschätzen kann geht hier jetzt noch gar nicht deswegen ist es bei wurzeln oft so dass man das ganze
6:36 erweitert und zwar einmal mit mit 1 multiplizierte das ist ja so ein trick dass man dass da jetzt mit 1 x dem gegenteil von dem was hier steht damit
6:50 sich das gleich mit der dritten bindungen formel schön weg gibt dann sind die wurzeln das heißt hier kommt ein bruch der genau
6:57 das enthält was hier steht nur mit einem plus statt mit einem - und zwar oben und unten dasselbe weil wir multiplizieren einfach
7:05 nur mit einer 1 sonst passiert hier nichts und jetzt wird der zähler mit dem also hier das können wir mit dem zähler multiplizieren wie gesagt dritte
7:16 genomische formel würde bedeuten ich verstehe das selbe nur einmal mit einem plus und heine - das wird multipliziert dann hätten wir wurzel auf
7:25 sixx zum quadrat also nur noch fix - wurzel 60 quadrat das ist x0 das ist die dritte genomische vorne und unten muss alles so bleiben mit einem plus
7:39 so jetzt sehen wir es sieht schon sehr gut aus schaut mal hier ist das x10 das brauchen wir also die betrag striche können wir einmal auf den zähler an
7:50 wänden einzeln und einmal auch auf den nenner das darf man ja einfach teilen und jetzt können wir unsere abschätzung machen
7:58 weil oben steht dieses x10 das ist kleiner als delta also selter können wir da oben rein schreiben und unten das bleibt erst mal so stehen mit den
8:09 betrags strichen so jetzt wenn wir können können wir noch weitere abschätzungen machen müssen wir mal überlegen das ixs darf nicht mehr hier
8:19 drin stehen das muss raus also x0 ist okay aber das ist raus wenn wir das einfach weglassen ist es dann größer was hier rauskommt überlegen
8:29 wir mal schreibt es mal hin dass da dass wir einfach dieses puzzle aus aix weglassen ja ist wird größer weil das da wurde das
8:38 ist ja immer was positives und wenn wir es weg lassen dann wird der bruch insgesamt größer weil der bruch war vorher ja kleiner weil unten noch was
8:52 stand also macht euch da einfach gedanken zu dass ein fünftel kleiner ist als ein drittel also etwas was man weglässt bei einem bruch dann wird der
9:04 bruch an sich größere so jetzt sind wir fast fertig die betrag striche stören uns noch ein bisschen aber auch die können wir einfach weglassen denn wurzel
9:15 aus irgendwas ist ja immer größer nur dann okay und jetzt haben es tatsächlich geschafft wir haben eine abschätzung gemacht in
9:24 der jetzt nur noch delta und x0 trainers und dann können wir das jetzt einfach gleich y setzen also delta durch wurzel aus x0 gleich y
9:36 und da müsst ihr jetzt in dem fall ein bisschen aufpassen dass x0 steckt er jetzt noch in der gleichung mit drin dass ich nur dafür jetzt aber nicht null
9:45 sein weil sonst würden wir durch 0 teilen das darf nicht sein aber für eine definitions menge soll die null mit drin sein
9:53 deswegen müssen wir gleich noch einen extra fall dazu machen falls 600 wäre was wir dann für einen teller finden für den fall für ungleich 0 finden wir aber
10:02 dieses delta wenn wir das jetzt noch umstellen y x wurzel aus 60 und dann haben wir unser gewünschtes data gefunden und jetzt würde man den beweis
10:12 wie der rückwärts auf schreiben sei absolut größer 060 aus dieser definitions menge beliebig dann gilt für delta gleich y x wurzel aus x0 dass das
10:25 ganze ding hier kleiner y ist hoffentlich schauen wir mal wir machen genau diese umfahrung ersetzen dann das delta durch unser
10:34 gefunden ist mal wurzel x0 und teilen durch x0 wurzeln dann kürze ich das hier schon weg und es steht nur noch das exit also
10:44 das was gewünscht war nicht vergessen dass wir noch diesen spezialfall hier machen müssen das gilt jetzt nur oder dieses delta gilt nur für 60 ungleich 0
10:53 für x0 gleich null müssen wir das ganze jetzt noch einzeln finden auch hier gehen wir genauso vor von xfx null setzen unsere funktion ein und dann
11:05 hier für das 6 0 setzte neben 0 1 dann steht der - wurzel 0 das ist wieder 0 also steht dann nur betrag von wurzel iks auch hier wurzelt an sich ist ja was
11:17 positives deswegen können wir die betrags striche weglassen jetzt haben wir nur noch wurzel etwas relativ schlecht ist weil ich darf er
11:25 nicht vorkommen wenn wir mit delta abschätzen wollen wir bräuchten das hier bzw in dem fall ist unser x0 jahr null also bräuchten wir dass da irgendwie das
11:37 kriegen wir aber hin weil wir können ja unter der wurzel auch einfach also das was unter der wurzel steht ist er sowieso positiv da können wir betrag von
11:46 iks haben wieder ein schreiben dann eine -0 ist ja auch nicht verboten dass man sie einfach so da rein schreibt das können wir machen und letztendlich ist
11:58 das was unter der wurzel steht jetzt kleiner als delta also da können wir jetzt unsere abschätzung machen und eben wurzel aus delta abschätzen ist kleiner
12:09 als wurzel data und jetzt haben wir es geschafft dass da setzen wir dann wieder gleich unsere maps i lon wenn wir dann quartieren steht da delta gleich y
12:21 quadrat und für 60 gleich null hätten wir also dieses delta das ist ein anderes als eben aber macht ja nix denn wenn wir das jetzt wieder hier mit
12:32 unserer kette überprüfen würde man hier dann wurzel aus unserem delta also wurzeln aus y quadrat ihn schreiben und es wäre dann ja apple an
12:43 ok also ihr seht da ist echt einiges zu tun bevor man diese stetigkeit zeigen kann aber eigentlich ist es immer nur diese
12:50 umformung wir haben jetzt hier eine null dazu gemacht also das ist auch häufig der fall dass man +60 - x0 sowas macht und dann die trikes und gleichung
12:59 anwendet oder so es sind mit 1 multipliziert man ab und zu mal geschickten 10 so heißt es immer je mehr man davon gesehen hat desto eher kommt
13:09 man auf die idee also es ist trotzdem noch schwierig man kann ihn nicht einfach so von der hand unterschreiben meistens es sei denn man hat schon viele
13:17 gesehen und weiß was man zu tun hat falls ihr fragen habt dann meldet euch einfach den kommentaren ansonsten wünsche ich euch noch einen schönen tag