Schnittkreis Kugel und Ebene
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=vnmVHGFRgN8

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 ich habe hier eine gleichung einer ebene gegeben die eine kugel schneiden sollte also unsere kugel bisher von der seite jetzt gezeichnet und diese ebene soll
0:12 diese kugel schneiden wenn dieses problem noch mal so dass jetzt schon besser aus dass unsere ebene das ist unsere cool und diese kugel hat
0:23 einen mittelpunkt den ich mit m bezeichne und einem radius nein auch der sollte er hier bis nach außen gehen den ich mit rk bezeichne für den radius der
0:36 kugel und jetzt wollen wir diesen schnitt kreis der entsteht diese gleichung wird jetzt gesucht von diesem schnitt kreis und dieser schnitt
0:44 kreis hat auch einen mittelpunkt denen ich eng und einen radius das wäre dann dieser hier in der alpha wenn ich dann einfach mal das soll der
0:57 radius von diesem entstehende schnitt kreis sein und jetzt bräuchten wir irgendwie diese gleichung von diesem kreis dass es gesucht und als
1:10 allererstes bildet man dazu eine gerade die durch den mittelpunkt läuft und senkrecht auf dieser ebene besteht also das wird eine gerade die läuft senkrecht
1:23 durch diese ebene und durch den mittelpunkt von diesem von dieser kugel und eine gleichung davon wäre man nimmt als auch punkt den mittelpunkt von der
1:35 kugel der mittelpunkt kann man ja hier aussage aus der kugel gleichung ablesen da hier ja nix abgezogen wird bei den ganzen quadraten ist der mittelpunkt 000
1:47 also unser m das schreibe ich mal hin ist 000 der radius der kugel übrigens ist er die wurzel aus dem was hier in der kugel
1:58 gleichung steht also 2 nur das am rande also 000 ist unser auf punkt sehen wir für die unsere gerade nehmen
2:07 und jetzt brauchen wir noch ein richtungswechsel für diese hilfs gerade geht und da diese senkrecht auf der ebene
2:16 stehen soll können wir einfach dem normalen weg tor der ebene nehmen da steht ja auch senkrecht auf der ebene und einem ein rektor der ebene können
2:25 wir aus der koordinaten gleichung ablesen das sind ja die koeffizienten vor xyz da steht jetzt jeweils nichts also ist der
2:33 faktor 1 vorne dran also es 111 der normalen rektor unserer ebene und damit der richtungswechsel unsere hilfs geraten 111 das ist der normalen rektor
2:47 unsere gegebenen in diesem punkt kann man jetzt natürlich noch das 0 0 ein weglassen und dann heißt diese gerade einfach t x 111 m ergibt sich jetzt als
3:02 schnittpunkt von dieser hilfs geraden und der eben so können wir ihn kriegen das bedeutet wir müssen jetzt die gerade gleichsetzen mit der ebene dazu setzen
3:14 weil die geraden gleichung einfach koordinaten weise in die ebenen gleichung ein also die erste koordinate thema lines ist die iks koordinate die y
3:25 koordinaten ist die zweite koordinator ist in dem fall auch der 1 und oh wunder auch die dritte ko hst x 1 in diesem fall also iks werden unsere eben
3:35 gleichung ersetzt durch t x 1 + y mit eurer setzt durch die x 1 und z wert ersetzt durch thema 1 und es kann soll ein sein
3:47 einmal gibt es einmal t + 1 x tekken 3d gleich eins und aufgelöst nach zähen den wir durch drei teilen kommen wir auf ein drittel
3:57 somit können wir den schnittpunkten unserer hilfs geraden und der ebene aufschreiben nämlich indem wir für tee ein drittel
4:08 einsetzen thema also ein drittel ein 1 1 1 1 1 1 das bedeutet unser punkten ist ein drittel ein drittel ein drittel
4:20 ok den mittelpunkt von unserem kreis haben wir schon mal gefunden jetzt kommen wir zum zweiten teil jetzt brauchen wir noch den radius und das
4:27 machen wir mit nichts anderem als wir haben hier nämlich einen rechten winkel was sagt er kam zum quadrat ist gleich der alpha also der radius von unserem
4:42 kreis zum quadrat plus diese strecke zum quadrat diese strecke ist die verbindungsstrecke von dem mittelpunkt unseres kreises m
4:50 zum zudem in unserem n also brauchen wir den betrag dieser strecke den braucht man noch dann können wir
5:02 diese gleichung umstellen nach er alpha und haben unsere radius von unserem neuen kreis gefunden diesen verbindungs vektoren müssen wir noch bilden also der
5:13 verbindungsweg heute machen wir indem wir ihm rechnen war ein drittel hält rund ein drittel und dann - unser mittelpunkt 0 0
5:25 gut dann ist diese verbindung sektor eben auch ein drittel - neu ein drittel minus null und ein drittel - 0 und der betrag davon müssen wir jetzt noch
5:34 berechnen den betrag berechnet man ja indem man die wurzel aus ein drittel sind ratlos eintritt zum quadrat plus ein drittel rat rechnet das
5:50 sind dann 39 wurzel aus 39 das ist der betrag von unserem verbindungs vector m
6:00 unser radius von uns im kreis war ja 2 also können wir uns einsetzen zwei zum quadrat das sind 4 gleich dem quadrat plus er muss noch quadrat und
6:13 natürlich vom satz des pythagoras ist dann wissen aus drei metern zum quadrat sind dann 300 das kann man noch kürzen so ein drittel
6:25 jetzt können wir das ganze auflösen - 390 rechnen und die wurzel ziehen wenn man das alles macht kommt man auf einen radius von 1,91 damit haben wir die
6:44 können wir die kreis gleichung aufstellen denn wir haben einen radius gefunden und unseren neuen mittelpunkt
6:54 also geht man immer vor wenn man wenn man eine ebene hat die eine kugel schneidet noch einmal zusammengefasst man stellt eine hilfs gerade auf die
7:10 senkrecht zu dieser ebene steht das macht man indem man den mittelpunkt als auf punkt nimmt und den normalen weg der ebene als richtungswechsel der ebene
7:23 dann berechnet man den schnittpunkt von dieser hilfs geraden und unserer ebene indem man das garten weise einsetzt und erhält dann den mittelpunkt des kreises
7:35 den radius erhält man indem man den satz des pythagoras verwendet für dieses kleine dreiecke und dann habt ihr beide komponenten die er braucht für euren
7:47 kreis