Winkel zwischen zwei Vektoren – Vektorrechnung
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=vB9yjxpbDQ4

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hallo ihr Lieben heute möchte ich euch zeigen wie man den Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen kann wir bekommen hier unsere beiden Vektoren gegeben
0:09 lasass sie uns mal kurz zeichnen damit wir besser sehen worum es da geht also ist auch jetzt nur eine Skizze von dem einen Vektor und dem anderen Vektor
0:16 sagen wir mal das hier ist der Vektor a das ist der Vektor B und dann geht es um diesen Winkel den diese beiden Vektoren hier so
0:25 einschließen und den kann man mit folgender Formel berechnen nämlich der cos dieses Winkels Alpha ist nichts anderes als ein Bruch im Zähler steht
0:36 das Skalarprodukt von diesen beiden Vektoren also einfach a mal B das müssen wir gleich berechnen und im Nenner kommen diese beiden Vektoren auch noch
0:44 mal vor aber da müssen wir den Betrag des einen Vektors berechnen und dann mit dem Betrag des anderen Vektors multiplizieren das ist die Formel da
0:55 steckt unser Alpha drin wir müssen jetzt einfach nur hier die Sachen berechnen einsetzen und dann die Gleichung nach Alpha umstellen also starten wir mal mit
1:03 dem Skalarprodukt von a und b und schauen wie wir das berechnen können da geht man ja so vor dass man die Koordinaten miteinander multipliziert
1:12 also 3 x 2 rechnet und danach dann aber plus die nächsten Koordinaten also -4 x 5 immer schön multiplizieren und dann plus die letzte Koordinate das ist die
1:28 -1 und die -7 schön Klammern drumrum wenn ihr es nicht direkt im Kopf macht und dann könnt ihr so entweder ein Taschenrechner eintippen oder einzeln
1:36 ausrechnen falls ihr keinen benutzen dürft also haben wir hier 6 - 20 und Minus und Minus wird zu + 7 hinten dran 6 + 7 vielleicht zuerst sind 13 - die 20
1:50 da landen wir insgesamt bei -7 also das Ergebnis haben wir hier -7 ausgerechnet das können wir dann statt dem Teil hier schon mal einsetzen und dann kommen wir
2:01 auch schon zu den Beträgen im Nenner wir starten mal mit dem Betrag unseres Vektors a die Formel dazu ist dass man eine große Wurzel hinschreibt und dann
2:11 zum Vektor a geht und die einzelnen Koordinaten quadriert also die 3 wird quadriert plus die nächste Koordinate wird quadriert schön eine Klammer dann
2:23 drum rum plus die letzte Koordinate auch die mit einer Klammer und quadrieren und dann rechnen wir das aus was unter der Wurzel steht 3 zum qurat sind 9 dann -4
2:36 z²adr wird positiv Z 16 und auch die -1 wenn wir die quadrieren wird zu einer positiven 1 dann rechnen wir das jetzt noch komplett aus 9 + 16 + 1 sind
2:47 26 und genauso würde ich das dann auch stehen lassen als Wurzel von 26 nichts abändern das landet sowieso gleich im Taschenrechner nicht hier schon eine
2:57 Kommazahl draus machen und dasselbe mit unser Vektor B eine große Wurzel und die einzelnen Koordinaten werden quadriert 2 zum Quadrat + 5 zum Quadrat + die -7 zum
3:12 Quadrat und wenn wir das unter der Wurzel ausrechnen landen wir dort bei 78 und das sind unsere beiden Ergebnisse die wir dann hier in der Formel
3:21 eintragen können der Betrag unseres einen Vektors war wurel von 26 und der Betrag unseres zweiten Vektors war Wurzel von 78 und die werden
3:33 dann hier gleich einfach miteinander multipliziert in unserer Gleichung kommt nur noch Alpha als Unbekannte vor diesen Winkel wollen wir auch berechnen das
3:42 hier können wir einfach im Taschenrechner eintippen aber dieser Cosinus muss hier auf der linken Seite noch weg deswegen den Arkus Cosinus
3:49 anwenden oder im Taschenrechner lautet die Taste dann ja Cosinus hoch -1 wenn wir das machen verschwindet der Cosinus hier und nur unser gesuchter Winkel
3:58 bleibt stehen aber auf der rechten Seite müssen wir dann den Cosinus hoch -1 von unserem wunderschönen Bruch berechnen und das tippt ihr eben alles in den
4:10 Taschenrechner ein ihr müsst nur aufpassen hier an der Stelle wenn ihr hier durch diese beiden Wurzeln teilt dann müsst ihr hier eine Klammer drum
4:19 rum machen damit ihr durch beide teilt wenn ihr das dann aber richtig macht müsstet ihr auf einen Wert von
4:27 98,94° kommen für euren Winkel Alpha und sehr ähnlich geht man auch vor wenn man nicht den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen möchte sondern den Winkel
4:38 zwischen zwei Geraden ähnlich aber nicht ganz identisch ihr seht hier vielleicht schon ich habe hier der Formel etwas hinzugefügt diese
4:47 beiden Betragsstriche wenn wir nämlich den Winkel zwischen zwei Geraden bestimmen wollen dann wollen wir hier diesen
4:54 kleinen Schnittwinkel erhalten und den bekommen wir direkt wenn wir hier diese betragsst Striche noch hinzufügen dann müssen wir uns aber auch noch bei
5:02 geraden überlegen welche Vektoren wandern überhaupt in meine Formel rein ich habe hier ja ein paar zur Auswahl man macht das Ganze mit den
5:11 Richtungsvektoren also der Vektor der hier bei dem Parameter S steht das ist der Richtungsvektor von meiner gleich Geraden g und der Richtungsvektor von
5:19 meiner anderen geraden ist der hier der bei dem T steht und mit den beiden mache ich diese Berechnung und an dieser Stelle hier da hatten wir ja wenn wir
5:28 von eben das Beispiel mal nehmen hatten wir beim Skalarprodukt den Wert -7 raus also einen negativen Wert und diese Betragsstriche sorgen in dieser Formel
5:40 dann dafür dass dieser Wert positiv gemacht wird also selbst wenn ihr da was negatives raus habt müsst ihr wenn ihr die Beträge dann auflösen wollt das
5:48 Minus wegmachen und dann steht da eine positive Zahl das ist der Unterschied zwischen dem Winkel zwischen zwei Vektoren und den Winkel zwischen zwei
5:58 Geraden dann hoffe ich dass es euch geholfen hat falls ihr Fragen habt schreibt sie gerne in die Kommentare ansonsten habt noch einen wunderschönen
6:04 Tag und wir sehen uns beim nächsten Video macht's gut