Lineare Funktionen - Einfach erklärt!
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Transkript (automatisch erstellt)

0:00 Du willst alles Wichtige über lineare Funktionen Fangen wir damit an, was eine lineare Funktion überhaupt ist. Stell dir dazu vor,
0:11 du stehst im Supermarkt und kaufst Schokolade. Eine Tafel kostet beispielsweise 1,20 €. Wenn du zwei Tafeln kaufst, musst du logischerweise 2,40 € bezahlen. Es besteht
0:23 also ein direkter linearer Zusammenhang zwischen der Anzahl an Schokoladentafeln und dem Preis. Diesen Zusammenhang kannst du in einer Wertetabelle darstellen.
0:32 Alternativ kannst du die Werte auch in ein Koordinatensystem einzeichnen, wobei du die Anzahl an der x-Achse abträgst und den Preis an der y-Achse. Wenn du die
0:41 Punkte verbindest, erhältst du eine Ursprungsgerade mit der Steigung 1,2. Diesen linearen Zusammenhang zwischen Anzahl und Preis kannst du jetzt mit einer Formel
0:50 ausdrücken. Den Preis berechnest du als 1,2 mal die Anzahl der Tafeln. Damit kennst du auch schon die allgemeine Form einer linearen Funktion. Sie hat immer die
1:01 Funktionsgleichung f(x) = m · x + b. Das m gibt die Steigung an, während b den y-Achsenabschnitt, also den Schnittpunkt
1:09 mit der y-Achse, darstellt. In unserem Schokoladenbeispiel war m = 1,2 und b = 0. Schauen wir uns die Steigung noch etwas genauer an. Sie gibt an,
1:20 wie schnell sich die Funktion verändert. Dabei hast du drei verschiedene Möglichkeiten: Wenn m größer als 0 ist, steigt die Gerade. Ist m kleiner als 0, fällt sie. Und für m = 0
1:31 hast du eine waagerechte Gerade gegeben. Darauf kommen wir aber später noch einmal zu sprechen. Am einfachsten berechnest du die Steigung immer mit einem Steigungsdreieck direkt
1:41 am Funktionsgraphen. Dazu wählst du zwei Punkte P und Q und zeichnest das rechtwinklige Steigungsdreieck ein. Um die Steigung zu berechnen, bestimmst du
1:50 den Differenzenquotienten. Das bedeutet, du rechnest: m = Δy / Δx
1:56 Wie du dabei konkret vorgehst, erklären wir dir ausführlich im Video „Steigung berechnen“. Manchmal interessiert man sich auch für den Steigungswinkel α. Das ist der positive Winkel,
2:07 den die Gerade mit der x-Achse einschließt. Mit dem Steigungswinkel rechnest du die Steigung sozusagen in Grad um, indem du die Formel m = tan(α)
2:17 oder ihre Umkehrfunktion benutzt. Das erklären wir dir aber ebenfalls in einem eigenen Video. Aber schauen wir uns einmal an, wie du eine lineare Funktion am besten zeichnest. Dafür
2:27 reichen dir nämlich schon zwei Punkte aus. Einen dieser Punkte, nämlich den y-Achsenabschnitt b, kannst du immer direkt aus der Funktionsgleichung ablesen. Zum Beispiel gilt bei
2:37 f(x) = 2x + 1 dass b = 1 ist. Du musst also nur noch einen weiteren Punkt ausrechnen. Dafür setzt du
2:43 irgendeinen x-Wert in die Funktion ein, beispielsweise x = 1. Damit erhältst du dann y = 3. Diesen Punkt zeichnest du nun ein, verbindest die zwei Punkte und fertig.
2:56 Hast du im Gegensatz dazu nur den Graphen gegeben und willst die Funktionsgleichung berechnen, liest du den y-Achsenabschnitt ab und bestimmst die Steigung entweder über das Steigungsdreieck oder
3:05 über einen zweiten Punkt. Ausführlich erklären wir dir das aber im Video zu den Funktionsgleichungen. Schauen wir uns jetzt noch die senkrechten und die waagerechten Geraden im Koordinatensystem
3:16 an. Die waagerechten Geraden haben immer die Steigung m = 0 und damit beispielsweise die Funktionsgleichung f(x) = 2.
3:25 Auch der Steigungswinkel ist hier, wie du sofort siehst, gleich 0°. Im Gegensatz dazu sind senkrechte Geraden eigentlich gar keine Funktionen. Das liegt daran,
3:34 dass hier nicht jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet werden kann. Senkrechte Geraden haben also immer die Gleichung x = c
3:41 und einen Steigungswinkel von 90°. Gar nicht so schwer, oder?
3:47 Zuletzt schauen wir uns noch die Lage von zwei Geraden im Koordinatensystem an. Sie sind parallel oder identisch, wenn sie die gleiche Steigung haben, also wie hier im Bild m = -1.
3:57 Bei unterschiedlichen Steigungen kannst du stets einen Schnittpunkt berechnen. Betrachtest du z. B. die beiden Geraden f und g, dann setzt du hierfür die beiden Funktionsgleichungen
4:07 einfach gleich und löst nach x auf. Einsetzen in eine der beiden Gleichungen ergibt dann y = 3. Bei diesem Beispiel schneiden sich die Geraden sogar in einem 90°-Winkel. Das ist immer dann
4:19 der Fall, wenn die eine Gerade die Steigung m hat und die andere Gerade die Steigung -1/m. Wunderbar. Jetzt weißt du alles Wichtige, was es über lineare Funktionen zu wissen gibt.
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