Partielle Integration für unbestimmte und bestimmte Integrale
Kochrezepte für Mathematik
https://www.youtube.com/watch?v=v-6mx2yIR3A

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 in diesem tutorial werden wir uns anschauen wie man mit hilfe der partiellen generation um bestimmte beziehungsweise bestimmte integrale
0:07 ausrechnen kann oder wie man komplexere stamm funktionen aufstellt bevor wir anhand mehrerer beispiele aufgaben uns die situation anschauen wo die partielle
0:19 integration überhaupt sinn macht wie ich mit euch kurz die formel besprechen die formel sieht wie folgt aus also voraussetzung für die anwendung ist dass
0:27 die funktion aus einem produkt aus zwei teilfunktionen besteht hier bezeichnet mit der onyx und h von iks und unser ziel ist natürlich die stamm funktion zu
0:37 bilden und dafür brauchen wir folgenden ansatz also wir kennen wir benennen ein bisschen die anfangs funktionen um von
0:47 ge von links und hafer nix anstrich und v und dieser umbenennung kann auf mehrere weisen erfolgen also ich kann ihn wieder sagen okay dass die erste
0:56 funktion hier gehe von nix zu strich von nix wird und die zweite funktion so von links aber natürlich kann man die reihenfolge auch vertauschen und ich
1:04 kann auch sagen gehe von iks wird so von iks und beziehungsweise hafer nix wird zu strich von nix das ist dieser vertauschung ist manchmal sehr wichtig
1:15 abhängig davon wie ihr das ganze wählt kann die partielle integration aufgehen oder nicht aufgehen das sehen wir dann gleich anhand der
1:23 beispiel aufgabe der nächste schritt wäre einfach diese formel zu folgen also die erste funktion wird auf geleitet die zweite wird abgeschrieben - erneut ein
1:34 integral von der auf leitung der ersten funktion und das produkt mit der ableitung der zweiten funktion also wenn das jetzt nicht so gleich was damit
1:46 gemeint ist keine sorge wir wenden das gleich anhand von beispielaufgaben an außerdem will ich an dieser stelle noch ein paar hinweise geben die beim lösen
1:55 der aufgaben helfen werden also als erstes was wir vorher besprochen haben die wahl für oestrich und v ist von großer bedeutung abhängig von der
2:06 auswahl kann der aufgabe gelingen oder nicht dann man kann patient integration auch mehrmals in der gleichen aufgabe an wänden wir werden
2:14 auch ein beispiel sehen wo das unbedingt notwendig ist und natürlich kann die partielle integration auch in verbindung mit
2:20 anderen regeln auftauchen wie substitution also entweder muss man zuerst partielle integrierung der anzug situieren oder es gibt auch station und
2:30 wo man zuerst substituieren muss und dann partielle integration anwendet in unserer ersten beispiel werden wir ein unbestimmter integral lösen und bestimmt
2:39 bedeutet dass existieren einfach keine grenzen kurz gesagt wir bilden einfach nur die stamm funktion dazu habe ich jetzt noch mal die formel vom vorjahr
2:48 hier rechts eingeblendet und wir werden versuchen sie genauso als wenn in der reihenfolge in der sie auch hier steht das bild wird unser erster funktion
2:56 werden wir mit rich bezeichnen also das wird unsere strich sein und das ist okay wenn ich es auf diese weise probieren dann wird folgendes passieren und zwar
3:09 wir müssen zuerst die erste funktion auf leiten oder die stamm funktionen bilden das wäre dann einfach nur noch zwei dann die zweite wird abgeschrieben e hoch 4x
3:22 und dann kommt - integral und die erste wird wieder auf geleitet also wieder ex quadrat und die zweite wird abgeleitet also evo 4x abgeleitet sind vier hoch 4x
3:38 dx beim ersten teil natürlich gut aus beim zweiten teil allerdings gar nicht und das bedeutet diese funktion die hier steht könnten wir jetzt beim nächsten
3:49 schritt nicht auf leighton und zwar der grund ist wir haben wieder ein produkt von zwei teilfunktionen da mussten wir erneut passiert integration
3:57 anwenden und so weiter und so weiter und das führt zu ganz das bedeutet wir haben die falsche wahl für uhr strichen frau getroffen
4:05 deshalb probieren wir es noch mal und zwar anders rum das bedeutet von vornherein definiere ich jetzt genau umgekehrte funktionen
4:14 ich sage das ist hier meine funktion v und dass es hier meine stich mal sehen was das jetzt bringen sollten also als erstes ich halte mich trotzdem
4:25 an reihenfolge dort wir brauchen also wir müssen die funktion auf leighton das bedeutet wir haben dann ein viertel hoch 4x x v die 2x werden einfach
4:38 abgeschrieben - integral und dann kommt wieder um also wieder ein vierter eho 4x und jetzt mal v2g abgeleitet ist natürlich 2 und wenn wir jetzt das ganze
4:56 ein bisschen näher betrachtet sieht schon besser aus weil diese funktion hier mit der gerade kann man jetzt problemlos wieder auf leiten und man
5:03 kann wieder dazu die stamm funktionen bilden deshalb gehen wir weiter fassen noch ein bisschen zusammen zuerst hier die 42 weg genau das gleiche passiert
5:13 auch hier hier ist 1 und hier sind zwei und dann haben wir praktisch an dieser stelle zuerst ein halb hoch 4x x iks und die
5:29 hintere funktion muss wieder auf geleitet werden das bedeutet da kommt noch mal ein vierter nach vorne dann habe ich - ein achtel hoch 4x und das
5:41 sieht sehr gut aus das ist dann auch unser unbestimmte integrale oder stamm funktion wir hängen jetzt einfach noch umziehen
5:48 und wann dann ist es fertig gehen jetzt davon aus wir hätten ein bestimmter hinter glas das bedeutete ein integral mit grenzen
5:57 nachdem wir die stamm funktion auf diese weise von oben gebildet haben hätten wir jetzt kein problem mehr das zu rechnen wir brauchen dafür schließlich nun den
6:06 hauptharst in der gewichtung den ich jetzt rechts eingeblendet habe und wir versuchen jetzt einfach dieser schritte zu folgen
6:12 das bedeutet an dieser stelle nachdem hauptsatz schreibe ich erstmal diesen ecken klammer die stamm funktion ein also wir hatten dann ein halb
6:23 hoch 4x x iks - ein achtel hoch 4x und das ganze dann entsprechend von 0 bis 2 als nächstes jetzt hab ich natürlich die grenzen ein zuerst die obere grenze also
6:40 ein halb hoch 4 x 2 x 2 1 8t hoch 4 mal 2 - und dann eine große - klammer ein halbhoch viermal 0 und dann nochmal das ganze mal 0 - 1 8 hoch viermal 0
7:05 und jetzt fassen wir das ganze zusammen hier können wir noch ein bisschen kürzen die zwei und zwei cousins effekten dann bleibt hier vorne nur noch hoch 8 und
7:17 hier hinten können wir nicht viel für diesen tag machen es bleibt ein achtes mal hoch 8 hinten nun mal irgendwas ist nun das wäre kompletter tm ist weg und
7:29 er hoch 0 ist eins dann bleibt hier in der klammer - ein achtel - davor sind das plus 1 8 und das einzige was man hier ohne taschenrechner an dieser
7:39 stelle noch machen könnte ist das hier zusammen zu fassen also wir erweitern die einst vor dem er hier mit acht dann hätte ich hier an dieser stelle 88 - ein
7:48 achtel sind 78 hoch 8 + 1 8 und so kann man das ergebnis stehen lassen auf diese weise kann man dann entspannt auch bestimmte integrale
8:03 ausrechnen man bilder zuerst die stamm funktionärs dann kann man mit hilfe des hauptplatzes das ganze zu ende rechnen als zweites beispiel habe ich ihn
8:15 klassiker ausgewählt und zwar die stamm funktion von nx bilden ja das sieht beim ersten blick nicht so aus aber dafür braucht man tatsächlich
8:24 die partielle integration und zwar man kann sie auf folgende weise anwenden man stellt sich einfach vor dass hier vorne vor dem allen eine eins steht
8:36 und dann kann man es abstrakt zu sehen als hätte man tatsächlich zwei funktionen so entsprechend werde ich jetzt das ganze wie folgt definieren
8:44 dass es für mich meine strich und das wäre dann entsprechend v und dann können wir mit der regel loslegen also als erstes 1 auf geleitet ist natürlich dann
8:58 frau wird einfach nur abgeschrieben deshalb an dieser stelle gern von iks - integral wieder um also wieder ickx und nx wird abgeleitet wir hören uns alle
9:12 nix abgeleitet sind natürlich 1 durch xd ickx und spritzen jetzt sehen wir die gute tat es kürzlich hier an dieser stelle weg dann bleibt ja nur ne einst
9:22 die hier zu integrieren ist an dieser stelle also wir schreiben den ersten teil ab wir haben dann einfach nur x-mal ln von iks und dann am ende 1 auf
9:35 geleitet sind natürlich wieder und dann + c und das wäre dann die stamm funktion von lx nach dem motto schlimmer geht's immer es schließlich martin gehen wir
9:48 jetzt zu unserer dritten beispiel aufgabe auch hier wollen wir ein unbestimmtes integral berechnen und wenn wir uns die funktion richtig
9:57 anschauen dann sehen wir schon die sieht nicht so schön aus wir haben hier zwei teilfunktionen die beim ableiten oder auf leitern gar nicht
10:05 schmitten trotzdem wir wagen es wie beschriften die erste funktion oder sie bezeichnen sie mit strich und die 2cv und versuchen unser formel anzuwenden
10:16 also lang die erste funktion auf geleitet ist dann nichts anderes als 2 - von iks und manchmal evo ix abgeschrieben - integral dann wieder 2x
10:34 und evo ix abgeleitet ist natürlich wieder arrow ecs so beim ersten blick sieht es so aus als hätte das ganze gar nichts gebracht allerdings wie wagen
10:43 hier noch ein schritt und zwar dieses in der gerade hinten werden wir nochmal partiell integrieren das bedeute ich definiere wieder meine strich und mein
10:56 hier hinten und was ich nicht verändere schreibe ich nur ab also diesen vorderen dem 2 sinus von x-mal horex wird noch abgeschrieben und beim hinteren teil
11:09 kommt dann ein - und das setzen wir alles eine große - kramer damit wir uns vergessen in erster reihe brauche ich wieder also
11:19 ich leite zwei sinus wieder auf das sind natürlich - zwei cosinus von iks und dann mal weg - erneut ein integral mit minus 21 von xfx dx das ganze nochmal in
11:43 klammer im nächsten schritt werden wir jetzt diese klammer auflösen die hintere und dann haben wir an dieser stelle schreibt von hier zuerst den
11:55 ersten ab 21 von iks mal eriks dann wenn ich die - klar mache ich auf löse dann habe ich +2 cosinus von xfx und hier hinten kann ich auch
12:15 was machen - und - das - können wir auch raus das integral ziehen ergibt natürlich plus und wieder - vor der kammer ist es wieder - integral von zwei
12:29 casinos x-mal evo ix dx beim ersten blick sieht es wieder so aus als würde ich hier an dieser stelle unser team nicht aufgehen aber wenn wir das ganze
12:44 ein bisschen genauer anschauen dann sollte uns auffallen dass dieser integral hier an dieser stelle identisch ist mir die sind ja gerade hier hinten
12:53 unser tag das bedeutet wir können sie zusammenfassen also wir bringen sie sind der gerade hier auf der anderen seite
13:00 mit plus also plus integral von zwei casinos von x-mal evo ix dx und dann haben wir natürlich hier zweimal dieses integral also zwei mal integral zwei
13:18 cosinus von x-mal rx dx dann schreiben wir natürlich unser team von hier einfach nur ab und bekommen hier an dieser stelle einfach 26
13:38 maly hoch x2 cosinus x-mal horex das einzige was man jetzt noch machen muss es die zwei wieder rüber zu bringen also wir teilen das ganze dann durch zwei
13:53 dann haben wir schon das ergebnis zwei integral von zwei casinos von x-mal hoch rx dx ist dann gleich projekten dem hier steht in der 2 das würde wenn ich durch
14:08 zwei tage verschwindet dieser zwei dann bleibt ja nur noch übrig sinus von x-mal hochexplosives von x-mal arrow ecs ja natürlich man konnte ich ja auch noch ex
14:22 ausklammern aber das ist jetzt nicht von bedeutung deshalb schließlich damit die stadt funktion ab wir haben jetzt anhand von
14:30 verschiedenen beispielaufgaben gesehen wenn es überhaupt sinn macht patient integration anzuwenden ihm verbunden mit dieser regel gibt es natürlich noch
14:38 andere regel die von großer bedeutung sind wie zum beispiel die lineare substitution oder die tatsächliche substitution genauso integration mit
14:49 hilfe der funktion oder integration durch partial durch zerlegung kurz gesagt der bz tutorial so alle diese themen findet ihr jetzt gleich noch im
14:57 abspann