Grundlagen #2 | Intervalle
Hochschule Ruhr West
https://www.youtube.com/watch?v=uXMrEIeTLJg

Transkript (automatisch erstellt)

0:04 [Musik] Hallo und herzlich willkommen zu einem neuen Matth Tutorial der HRW. Heute
0:23 zeigen wir euch, was Intervalle sind, wie man sie definiert und wie man sie darstellen kann. Als Intervall wird in der Mathematik
0:32 z.B. eine zusammenhängende Teilmenge reenzeichnet. Hierbei gibt es zwei Arten von Intervallen. Zum einen sind das die
0:41 beschränkten Intervalle, zum anderen, wie sich vermuten lässt, die unbeschränkten Intervalle. Fangen wir mit den beschränkten
0:48 Intervallen an. Ein Intervall ist dann beschränkt, wenn sich die Breite des Intervalls mittels zweier reellen Grenzen, z.B. A und B
1:00 beschreiben lässt. Hierbei gibt es drei Arten von beschränkten Intervallen. Zum einen sind das die abgeschlossene Intervalle,
1:09 offene Intervalle und halboffene Intervalle. Wie diese aussehen, zeigen wir euch jetzt. Ein abgeschlossenes Intervall wird durch
1:20 die Grenzen A und B in eckigen Klammern dargestellt. Die eckigen Klammern besagen, dass die Grenzen A und B noch mit in das
1:30 Intervall einbegriffen sind. Wir können unser Intervall auch anders aufschreiben. Was dann wörtlich gesprochen deuten wir, dass alle in
1:41 unserem Fall die Elemente x das im Bereich der reellen Zahlen größer gleich a sind
1:57 und kleiner gleich B. Ein offenes Intervall wird durch die Angabe der Grenzen A und B diesmal in
2:15 Runden Klammern angegeben. Die runden Klammern besagen, dass die Grenzen A und B nicht mit in das Intervall einbegriffen sind.
2:26 Auch hier können wir dieses Intervall wieder anders schreiben, was dann wörtlich bedeutet, dass alle Elemente wieder in unserem Fall X
2:37 Bereich der reellen Zahlen größer als A
2:49 und kleiner als B sind. Und ihr sieht bei den offenen Intervallen
3:01 sind sie nicht gleich. Also, das heißt, sind die Grenzen A und B nicht mit in das Fall einbegriffen. Als drittes haben wir noch die
3:09 halboffenen Intervalle. Bei den halboffenen Intervallen werden die Grenzen einmal mit einer runden und einmal mit
3:18 einer eckigen Klammer angegeben. Je nachdem, welche Grenze mit in das Intervall eingegriffen werden soll, muss die eckige Klammer auf der rechten
3:31 oder auf der linken Seite geschrieben werden. Auch hier können wir die Intervalle wieder anders formulieren. So, wä es bei dem ersten Fall
3:41 würde es wörtlich gesprochen heißen, alle Elemente x aus dem Bereich der reellen Zahlen
3:52 sind größer als a kleiner B.
4:05 In dem zweiten Fall würde es heißen, die Elemente x aus dem Bereich der reellen Zahlen
4:16 größer A und kleiner als B sind.
4:34 Kommen wir nun zu den unbeschränkten Intervallen. Unbeschränkte Intervalle sind Intervalle, die bis ins Unendliche gehen oder aus der negativen
4:43 Unendlichkeit kommen. Hierbei gibt es vier verschiedene Fälle. Im ersten Fall geht das Intervall von A bis unendlich mit der Grenze A
4:56 eingeschlossen, was die eckige Klammer zeigt. Hierbe wird es dann heißen, dass alle Elemente x aus dem Bereich der reellen
5:03 Zahlen größer gleich a sind. Im zweiten Fall ist das Intervall von a bis unendlich,
5:15 aber diesmal ohne die Grenze A. Hierbei heißt es dann, dass alle Elemente x aus dem Bereich der reellen Zahlen größer
5:24 als a sind. Im dritten Fall können wir nun aus dem negativen Bereich der Unendlichkeit. Das heißt, wir gehen von minus unendlich bis
5:35 B und in diesem Fall wird die Grenze B mit in das Intervall eingeschlossen, was die eckige Klammer zeigt. Das heißt, alle Elemente x aus dem Bereich der
5:46 reellen Zahlen sind kleiner gleich b. Und im vierten Fall gehen wir von minus unendlich bis b, aber in diesem Fall ohne die
6:00 Grenze B. Das heißt, alle Elemente x aus dem Bereich der reellen Zahlen sind kleiner als b.
6:11 Wenn wir uns die Intervalle noch einmal anschauen, sind immer auf der Seite, wo das Unendlichzeichen steht, wird es mit einer runden Klammer
6:20 eingegrenzt, denn unendlich kann man ja schließlich nicht mit ins Intervall mit einbeziehen.
6:33 Man kann Intervalle auch mit Hilfe eines Zahlenstrahls darstellen. Um e mich das zu zeigen, haben wir einfach mal zwei Beispiele aufgeschrieben.
6:43 Als erstes müssen wir aus dieser Schreibweise die Schreibweise erstellen, die wir im vorigen Teil des Videos schon gelernt
6:51 haben. In diesem Fall sind alle Elemente x aus dem Bereich der reellen Zahlen größer als -3
7:01 und kleiner= 2. Das heißt, wir schreiben eine runde Klammer. -3
7:13 und für die zwei eine eckige Klammer, weil die ja mit einbegriffen ist. So, auf dem Zahlenstrahl können wir das nun so darstellen. Wir
7:23 nehmen auch wieder hier die -3 mit einer runden Klammer und führen den Zahlenstrahl bis zur 2 und setzen hier eine eckige Klammer. Die
7:38 Runde Klammer besagt hier, wie vorher schon gelernt, dass die -3 nicht mit einbegriffen ist und die 2 mit einbegriffen.
7:48 Im zweiten Beispiel sind alle Elemente x aus dem Bereich der reellen Zahlen kleiner, größer gleich -2
7:59 und kleiner gleich 0. Sprich, weil die beide Grenzen mit eingbegriffen sind, haben wir beides in Ecken in Klammern. von -2
8:10 bis 0. Doch hier können wir jetzt auf dem Zahlenstand eintragen mit einer eckigen Klammer
8:17 von -2 bis 0. Und hier haben wir jetzt die
8:26 Eckenklammer, die die -2 mit einbegreifen und die null.
8:37 Wir hoffen, wir konnten euch bei den Intervallen weiterhelfen. Vielen Dank fürs Zuschauen. Euer HW Matteam. [Musik]