EXTREMPUNKTE berechnen für Anfänger – Ableitung ganzrationaler Funktionen bestimmen
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=tFk_dKN6Szw

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hallo und herzlich willkommen zu einem neuen video heute geht es darum wie ich die extrem stellen von dieser funktion hier finde also den hochpunkt der hier
0:10 sitzt und den tiefpunkt der hier sitzt am anfang weiß ich noch nicht welche punkte es geben wird und ich habe ja meistens auch keine ahnung wie der graf
0:19 aussieht ich wollte euch jetzt nur einmal hierhin zeichnen worum es überhaupt geht und wir gehen das jetzt schritt für schritt durch niemandes
0:27 findet wenn man wirklich nur die funktions gleichung gegeben hat als allererstes bilden wir die ableitung und zwar die erste ableitung und die zweite
0:39 ableitung wie finden wir jetzt die erste ableitung also als regel ist es so wenn ihr für eure mix noch eine zahl stehen habt die mit einem mal verbunden ist
0:53 dann ist es ganz einfach diese zahl wird einfach übernommen also diese zwei drittel kommt auch in die ableitung einfach nochmal rein mit einem
1:01 zweidrittel mal dadurch den nichts ändern die kommt mit rein jetzt geht es aber um das x3 das betrachtete jetzt einzeln und aus dem xo
1:10 3 passiert folgendes die alte hoch zahl die kommt vorne dran also die wird jetzt hier vorne dran geschrieben ist die 3 und dann kommt das iks und jetzt kommt
1:22 eine neue hoch zahl die ist um 1 kleiner als die alte hoch zahl also ihr hattet ihr ne 3 dann ist die neue hoch zahlen jetzt 2 und das ist schon alles das sind
1:33 die regeln die alte hoch zahl wird vorndran geschrieben die neue hochzeit ist um 1 kleiner und zahlen die vorne dran
1:39 standen mit einem mal verbunden bleiben erhalten testen wir das jetzt hier mal da kommt ein plus dazwischen auch hier haben wir
1:46 vorne dran wieder eine zahl die bleibt also beim ableiten einfach da wenn die mit einem mal verbunden ist es ist ganz wichtig also da muss schon dreimal ins
1:56 quadrat gewesen sein die bleibt und jetzt kommt die alte hoch zahl vorne dran auch mit einem mal verbunden das x-raid-team geschrieben
2:06 und eure neue hoch zahl ist um eines kleiner als die alte hoch zahl also da war janne 2 ist die neue hoch sei jetzt eine 1 müsst
2:15 ihr natürlich nicht hin schreiben also die einzelnen schreibt ja niemand sonst als hoch zeit hin und hier hinten haben wir jetzt den fall die +4 ist ja schon
2:25 wieder mit einem mal hier mit dem ixs verbunden deswegen die vier wird auf jeden fall hin geschrieben weil die vor dem x1 steht und wenn jetzt hier gar
2:34 keine hochzeit steht beziehungsweise euro hochzeiger einst war er schreibt ja normalerweise nicht hin dann kommt jetzt hier kein iks mehr hin also dieses feld
2:45 einfach nur weg wenn vorher nx ohne hochtal da steht sozusagen oder als hoch zahl 1 dastehen hat dann wird einfach nur kein x-men hingeschrieben aber die
2:58 zahl die vorne dran stand die muss schon noch hin das ist jetzt vielleicht hier ganz wichtig falls da jetzt nur im plus
3:06 gestanden hätte dann fällt sx2 weg aber die zahl die vorne dran stand ihr müsst ihr noch hinschreiben also da stand eine 1 x das
3:17 ixs also ihr müsst die zahl vorne dran die muss da hin das ixs darf wegfallen aber die zahl muss hin
3:27 damit sollten wir das vielleicht mal ein bisschen vereinfachen das ist jetzt unsere erste ableitung aber mit der vollen bin ich so nicht weiter rechnen
3:34 hier können wir ein bisschen kürzen die drei mit der drei hier dann steht da nur noch 2x quadrat und hier steht 6x +4 das ist eine schöne erste ableitung
3:46 machen wir direkt die zweite ableitung denn wir brauchen beide wieder die regeln zahlen die vorne dran mit einem mal stehen die bleiben einfach da dann
3:57 die alte hoch zahl kommt nach vorne also die zwei hier oben kommt auch hier rein und dann kommt das ixs mit unserer neuen hoch zahl die um 1 kleiner ist als die
4:07 alte die alterung zahl war ne 2 die neue hohe zahl ist damit eine eins und wir müssen sie gar nicht hin schreiben
4:14 und hier haben wir jetzt wieder das szenario dass wir die sechs auf jeden fall hin schreiben weil die herforder dran steht aber dass ich schreiben wir
4:23 nicht mehr hin weil da war gar keine neunter war keine hoch zahl und deswegen fällt es einfach weg beim ableiten
4:29 und jetzt noch eine sache die wir noch nicht hatten hier steht ja gar keine nix mehr dabei dann fällt die komplette zahl weg also ich schreibe jetzt nicht
4:40 irgendwie plus 4 hinten sondern diese komplette zahl hier hinten wenn da keine nix mit drin ist fällt sie einfach komplett weg und damit haben wir also
4:50 als zweite ableitung 4x 26 okay das sind unsere ableitung und die müsst ihr immer erst machen bevor ihr überhaupt anfangen können zu berechnen
5:02 die brauchen wir nämlich jetzt im laufe der aufgabe extremwerte finden wir jetzt in dem wir die erste ableitung nehmen und die gleich null setzen also wir
5:17 schnappen uns schreibt es mir rechts weiter unsere 2x quadrat plus 6x +4 und setzten die gleich null das ist immer dieselbe art und weise wie ihr vorgeht
5:30 erster ableitung nehmen und gleich null setzen jetzt müssen wir das ganze nach iks auflösen denn wir suchen jetzt unsere
5:37 kandidaten für hoch- und tiefpunkte wenn ihr das mit der pico formel jetzt löst dann müsst ihr noch dafür sorgen dass die zahl vor dem ex quadrat weg kommt
5:47 also wir müssen noch durch zwei teilen wenn ihr das mit der abc formel löst könnt ihr einfach jetzt schon loslegen wenn wir durch zwei rechnen haben wir
5:55 hier vorne noch ex quadrat stehen die sechs müssen wir auch durch zwei teilen also plus 3x und sie fiel auch noch durch zwei also +2 gleich neue formel
6:07 ging r folgendermaßen - plus - wurzel aus pe halbe zum quadrat - co ich hoffe ihr könnt ihr auch so gut jetzt setzen wir das ganze mal ein -
6:21 unser p ist ja die zahl vor dem ixs immer schön auch mit dem vorzeichen also hier wäre unser p3 und co ist die zahl die hinten an ein
6:33 steht das ist die zwei also unser ps3 ist 2 und das setzen wir jetzt in die pkv mit ein damit hätten wir - drei halbe also minus
6:43 1,5 plus - wurzel aus 115 quadrat und disco war 2 wenn wir das unter der wurzel ausrechnen kommt da ein viertel also
7:05 wenn wir die wurzel ziehen hätten wir 15 klos - ein halb und jetzt können wir beide experte ausrechnen als eine nix wert haben wir - 15 plus ein halb das
7:18 wären dann -1 und den zweite nix wert können wir ausrechnen in dem wir minus 1,5 - ein halb das sind dann - 2 wir haben jetzt zwei iks werte einmal minus
7:31 eins und einmal - zwei wir gehen wir noch mal zurück zu unserer funktion minus 1 und minus 2 wir merken uns dass das sind iks werte also auf der x-achse
7:40 das wird wohl - einst hier unser tiefpunkt werden und bei minus 2 wird es unser hochpunkt werden wir wissen dass jetzt aber noch nicht
7:49 wir kennen ja die zeichnung nicht nur dass ihr wisst was wir jetzt gerade überhaupt ausgerechnet haben wir haben jetzt nur kandidaten gefunden wir wissen
7:58 jetzt noch nicht welche davon überhaupt einen hochpunkt oder welche ein tiefpunkt ist wir wissen nur an den stellen ist die steigung auf jeden fall
8:04 0 also wenn ihr darauf stehen würde wäre es im grunde so ein berg und im tal oder es gibt noch diese dritten stellen die
8:12 ihr vielleicht schon gehört hat diese sattel punkte da ist die steigung auch kurz mal 0 aber es ist kein hochpunkt und kann tiefpunkt
8:19 denn es geht dann einfach wieder weiter und deswegen haben wir jetzt hier erstmal nur kandidaten für hoch- und tiefpunkte wir wissen es noch nicht
8:29 wasser von hoch punkt oder tiefpunkt oder sattel punkt ist das können wir jetzt mit der zweite ableitung herausfinden denn die haben wir ja schon
8:39 gemacht aber wir haben sie noch nicht genutzt diese kandidaten werden jetzt in die zweite ableitung eingesetzt die -1 wird eingesetzt und
8:50 ausgerechnet und die - 2 lasst uns das mal machen nicht schreibe hier unten weiter also unsere kandidaten die wir gefunden haben die - 1 kommt in die
8:59 zweite ableitung rein dann steht da vier mal - einst das ist - 4 + 6 also insgesamt 2 bevor wir die zweite stelle einsetzen können wir das hier jetzt
9:13 direkt interpretieren was es heißt was für ein wert hier raus kommt ist völlig egal ob da jetzt zehn oder hundert oder zwei steht
9:22 das einzige was uns interessiert ist ob es eine positive zahl ist oder eine negative zahl wenn es eine positive zahl ist also größer als null
9:34 dann wissen wir jetzt sofort folgendes dass unser kandidat um den es ging die -1 also an der stelle - 1 haben wir einen tiefpunkt merkt euch das ist es
9:50 immer genau andersrum als man denken würde also wenn die zweite ableitung positiv ist also größer als null dann hat man einen tiefpunkt an der
10:00 stelle um die es ging also an unserem kandidaten bei minus 1 haben wir einen tiefpunkt und es deckt sich ja absolut mit unserem bild an der stelle - 1
10:10 tiefpunkt an der stelle - zwei schauen wir mal was wir jetzt daraus kriegen auch in die zweite ableitung wird unser zweiter kandidat reingesetzt also die -
10:21 2 wenn wir das machen steht er viermal - 2 das ergibt - 86 ergibt - 2 das ist jetzt was negatives also kleiner als 0 und das sagt uns dann dass an der stelle
10:36 um die es ging nämlich um die stelle - 2 das an der stelle ein hochpunkt ist also wie gesagt immer genau andersherum als man es vermuten würde
10:45 und das stimmt ja tatsächlich mit dem was wir hier schon in der zeichnung sowie so gesehen habe und jetzt müsst ihr eigentlich nur noch die koordinaten
10:55 für den hochpunkt und den tiefpunkt ausrechnen also unser tiefpunkt war an der stelle - 1 und den ypsilon wert muss man noch ausrechnen und unser hochpunkt
11:06 war an der stelle - zwei und in y wert dazu müssen wir auch noch ausrechnen an der stelle geht oft was schief denn die leute nehmen normalerweise einfach
11:17 ich habe hier mit der zweite ableitung irgendwas ausgerechnet ich nehme jetzt einfach mal den wert und deklariert denn als y wert aber so ist es nicht also die
11:26 werte wie gesagt ihr braucht ihr nur um zu prüfen ob das ein hochpunkt uhr am tiefpunkt ist und danach könnt ihr die werte wieder vergessen
11:33 für uns wichtig für xy von dem tiefpunkt dass wir wirklich die koordinaten von den tiefpunkt und dem hochpunkt finden ist jetzt die ursprungsfunktionen da
11:46 setzt ihr ja fix ein und klickt dann einen y wert raus also diesen -1 müsste dir hier noch überall für die echse einsetzen
11:57 und wenn ihr das macht müssten wir -5 drittel heraus bekommen also wie gesagt wirklich für jedes x1 einsetzen und einmal ausrechnen und
12:11 dasselbe macht ihr mit der - zwei für den hochpunkt und da müsste - vier dritte rauskommen - zwei für jede six einsetzen und einmal ausrechnen
12:24 und das sind dann hochpunkt neuer tiefpunkt von eurer funktion also ich hoffe es ist klar geworden wie man die extremen punkte berechnet es
12:35 funktioniert immer so erster ableitung bilden zweite ableitung bilden die erste ableitung wird gleich nur gesetzt dann bekommt ihr eure kandidaten die ihr aber
12:46 dann noch in die zweite ableitung einsetzen müsst um zu testen ob hoch oder tief punkte sind dann wünsche ich euch viel erfolg mit euren aufgaben und
12:54 meldet euch einfach falls ihr fragen habt