Zyklendarstellung von Permutationen
MajorBreakfast
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Transkript (automatisch erstellt)

0:00 In diesem Tutorial geht es um die Zyklendarstellung von Permutationen. Also, was ist eine Permutation? Eine Permutation ist eine
0:11 bioaktive Abbildung einer endlichen Menge in sich selbst. Hier mal ein Beispiel. F sei so eine Permutation. die Menge, die endliche Menge sei S und die
0:22 S von der Menge S wird wieder in die Menge S abgebildet und F ist baktiv und somit ist dann F eine Permutation. Also ganz einfach. Jetzt
0:34 schauen wir uns mal ein Beispiel an. Hier habe ich jetzt einmal vier solchen Permutationen. Permutationen sind immer Element der symmetrischen Gruppe. Hier
0:45 habe ich die symmetrische Gruppe mit sechs Elementen. So, jetzt fragt man sich natürlich, was ist die symmetrische Gruppe? Nun, die symmetrische Gruppe
0:54 hier Snthält alle Permutationen der Menge in eckigen Klammern n. Und wir erinnern uns, in eckigen Klammern n ist nur eine
1:05 Kurzstchreibweise für die Menge der Zahlen 1 bis einschließlich n. Also hier im Falle S6 äh würde dann äh würde dann S6 alle Permutationen
1:19 über der Menge 1 2 3 4 5 6 enthalten. Und so eine Permutation habe ich mal. Da gibt's auch eine Schreiweise und das schaut dann so aus.
1:30 Hier habe ich dann die sechs Elemente dieser Menge und hier unten auch. Und unter jeden steht immer das Element äh auf das dann abgebildet
1:44 wird. Schauen wir uns das mal näher an. Also die ein wird auf die 5 abgebildet, die 5 auf die 4, die vier auf die 6 und die sech dann wieder auf
1:57 die 1. Zwei abgebildet und dre wird auf drei abgebildet. Jetzt sehen wir, dass hier oben alle stehen und hier unten alle
2:05 stehen. Und jetzt können wir man natürlich meinen, das kann man auch kompakter schreiben und das geht und zwar mit der Zyklenschreibweise. Das
2:13 schaut dann so aus. Also, wie ihr sehen könnt, um einiges kompakter. Und hier haben wir eben wir eben das ausgenutzt. Äh, die ein hat ja auf die fünf
2:23 abgebildet, die fünf auf die 4, die vier auf die 6, die vier auf die 6 und die 6 auf die 1. 6 auf die 1. Und das kann man eben dann eben so schreiben, dass immer
2:38 rechts von einem Element, das Element steht, auf das abgebildet wird. Und wenn rechts kein Element mehr ist, dann wird auf das erste dann abgebildet und das
2:46 ganze dann für so einen Zyklus immer dann in Runde Klammern. Also diese Permutation besteht aus drei Zyklen. Einer hat die Länge 4 und die anderen
2:55 haben die Länge 1. Also zwei wird auf zwei abgebildet und dre wird auf drei abgebildet. Jetzt habe ich hier noch äh drei andere
3:06 solche Permutationen und jetzt will ich da was bauen. Und zwar will ich die Permutation P ausrechnen und P sei die Konkartination der Permutationen 1, 2, 3
3:20 und 4. Also P1, P2, P3 und P4. Und was das jetzt ist, will ich jetzt eben berechnen. Jetzt mache ich mir erstmal klar, was das hier eigentlich bedeutet.
3:32 Und hier äh gehe ich jetzt her und tu noch mal den Parameter dazu schreiben. Also, das sind ja alles Funktionen. Also habe ich
3:41 eine Parameter. Das kann ich bloß, wenn ich es kürze schreib, weglassen. Aber natürlich hat das dann einen Parameter und da schreibt man dann so. Also das
3:49 ergibt eine ergibt eine erneute Permutation, in der ich ein Parameter X reinstecke. Und das kann man dann auch so schreiben, also die Schachtelung.
3:58 Also, und da sieht man auch äh ganz ganz gut, dass die Parameter erst in P4 reingesteckt wird, dann P3 mit dem Ergebnis dann berechnet wird und dann P2
4:10 und dann P1 angewendet wird. Also geht die Reihenfolge von hier nach hier. Wenn ich jetzt die 1 abbilden will, weiß ich, dass ich die 1 zuerst in die
4:24 Permutation 4 reinstecken muss. Hier wird die ein auf die ein abgebildet. Also habe ich jetzt eine 1, dann schaue ich in die Permutation
4:33 3 und in der Permutation 3 passiert mit der ein wieder nichts und sie wird wieder auf die ein abgebührt. Dann in der Permutation 1 äh 2, in der
4:43 Permutation 2 wird die 1 auf die 2 abgebildet und in der Einser wird die 2 auf die 2 abgebildet. Also schreibe ich hier eine 2. Dann das gleiche Spielchen
4:57 mit der 2. Die wird hier zur 2, hier zur 3, hier zur 3 und hier noch mal zur
5:13 3. Dann die 3. Die 3 wird hier zur 4, die 4 zur 4, die vier wieder zur 4 und die 4 zur 6. Dann die 4. Die 4 wird hier zur 5. 5: 2,
5:38 2:5 und 5: 4. Dann die 5. Die fünf wird hier zur 3, zur
5:50 5, zur 5. Die sechs wird zur sechs, noch mal zur
6:00 sechs, noch mal zur sechs und zur eins. Und dann kann ich ja auch einfach kontrollieren, ob ich mich verrechnet habe. Hier unten dürfen keine zwei
6:12 gleichen Zahlen stehen und das ist nicht der Fall. Also kann ich davon ausgehen, dass ich das Ganze richtig gemacht habe. Jetzt kann ich das auch in die
6:21 Zyklusschreibweise schreiben. Mache ich mal ist gleich. Also die 1 wird zur 2
6:30 1,2 und die 2 zur 3 dann komm 3 und die 3 6 und die 6 1 6 z 1. Also kann ich diesen Zyklus zumachen. Dann was jetzt
6:44 noch fehlt 1 2 3 die 4 fehlt die 4 wird zur 4 und die 5 wird zur 5 lege ich für die beiden Zahlen einen Einsatzzyklus an.
6:56 Und jetzt, wenn ich mich frage, wie oft muss ich P mit sich selber verknüpfen, also P kringel P machen, damit wieder die gleichen Zahlen
7:10 rauskommen, also dass ein auf ein abgebildet wird, zwei auf zwei und so weiter. Wie oft muss ich das machen da? Und dann dann sehe ich hier
7:21 hier beim ersten Mal mit sich selber verknüpft haben also bei einmal abbilden haben wir hier eine zwei wird die ein Z beim noch mal
7:31 abbilden wird die 2 3 beim noch mal abbilden wird die 3:6 und beim wieder abbilden wird die 6:1. Also sehe ich hier durch diesen Zyklus, dass ich
7:42 mindestens äh vier mal also P hoch 4 machen muss, dass die Identität Permutation rauskommt.
7:55 Äh und zwar ist das so, weil hier diese Zyklen ja, die vier und vier immer auf die vier abgebildet wird und die fünf immer auf die fünf abgebildet wird. Und
8:03 im Allgemeinen muss man da einfach bloß das kleinste gemeinsame Vielfache der Längen der Zyklen machen er bilden. Und das war's dann jetzt auch für heute.
8:15 Danke fürs zusehen.