Extremwertaufgaben
mathemagazin
https://www.youtube.com/watch?v=t1Hgo61iH28

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hi von herzlich willkommen im mathem Magazin Themen in diesem Video extremwertprobleme bzw Extremwertaufgaben auch genannt
0:08 das ganze Kapitel schauen wir uns anhand eines Beispiels an und mit diesem Beispiel gehen wir auch eine feste Anleitung durch Schritt für Schritt wir
0:17 haben insgesamt 1 2 3 4 Schritte um ein extremwertproblem bzw eine extreme Aufgabe zu lösen gehen wir mal rein wir haben als Beispiel
0:30 hier oben ein Rechteck und dieses Rechteck wird begrenzt durch eine graue Mauer und hier durch die drei Linien xy und hier wieder x und die Aufgabe
0:44 lautet jetzt wir sollen den Flächeninhalt hier drin möglichst groß werden lassen mit den Längen X und Y
0:56 der Umfang X Y x darf aber maximal 8,5 Meter lang sein das heißt also wie können wir X und Y wählen so geschickt wählen dass wir den größtmöglichen
1:10 Flächeninhalt bekommen und als Bedingung den Umfang 8,5 m aber nicht überschreiten dürfen
1:21 was machen wir als erstes wie gehen wir das an erster Schritt Aufstellen eines allgemeinen funktionsterms für die gesuchte Größe
1:31 man nennt es auch die extreme Größe die gesuchte Größe ist unser Flächeninhalt a ich habe das hier auch noch mal in den Farben markiert und der
1:42 allgemeine Funktionsterm na gut die Fläche berechnet sich bei einem Rechteck mit Länge mal Breite und bei uns sind Fall x mal y so also allgemein
1:53 Funktionsterm aufgestellt für die Größe die wir suchen erstmal ganz einfach anfangen nächster Schritt zweiter Schritt Aufstellen von
2:03 Gleichungen die die Beziehungen zwischen den Variablen beschreibt also jetzt kommen wir zu unserer Nebenbedingung die nehmen wir mit rein
2:13 wir haben dann 2x + y ist gleich 8,5 oder werden noch schreiben können kleiner gleich 8,5 aber wir wollen ja ans Maximum an deswegen wählen wir ist
2:26 gleich 8,5 und das ist jetzt eine Gleichung die die Beziehungen zwischen den Variablen also zwischen x und y beschreibt
2:36 um es noch ein bisschen deutlicher hinzuschreiben können wir das Ganze nach einer Variablen auflösen bzw wir müssen es nach einer Variablen auflösen in dem
2:45 Fall nach y aufgelöst und dann steht da 8,5 - 2x dritter Schritt wir bestimmen ein Funktionsterm für die
2:56 gesuchte Größe in Abhängigkeit von nur einer Variablen heißt nichts anderes wie wir nehmen unseren allgemeinen Funktionsterm haben wir jetzt für Y hier
3:08 im zweiten Schritt 8,5 - 2x aufgestellt und nehmen jetzt diese 8,5 - 2x und setzen es hier ein
3:20 und dann sehen wir der Flächeninhalt a ist gleich x mal und jetzt nicht mehr mal y sondern mal das was wir für Y hier rausbekommen haben
3:32 und der große Vorteil dabei ist jetzt dass wir jetzt nur noch abhängig von einer Variablen sind und das ist in dem Fall x und jetzt können wir das als
3:42 richtige Funktion schreiben und davon abhängig x ist gleich x mal in Klammern 8,5 - 2x das können wir auch noch aus dem
3:54 duplizieren mit der Klammer dann haben wir -2x² + 8,5x auch hier wieder wichtig
4:03 x darf jetzt natürlich nicht größer als 8,5 sein ist ja vollkommen klar weil das und das und das zusammen muss oder darf maximal 8,5 sein deswegen dürfen wir
4:15 jetzt X nicht unendlich groß werden aber das nur als kleine nebeninformation wir kommen weiter zu Schritt 4 und jetzt heißt es Ermitteln des Scheitelpunktes
4:26 und Angabe des extremwertes okay wir haben jetzt hier also eine quadratische Funktion und von dieser quadratischen Funktion können wir uns den
4:35 Scheitelpunkt berechnen funktioniert in dieser Form am einfachsten wenn wir uns die beiden Nullstellen berechnen weil die x-Koordinate der das Scheitelpunktes
4:46 liegt in der Mitte der beiden Nullstellen also erste Nullstelle wir nehmen am besten die Form sehen wir es X1 = 0 dann müssen wir das hier noch
4:58 auflösen und da kommt dann für X raus 4,25 so wir haben also 0 4,25 als nur Stellen dazwischen liegt unsere x-Koordinate des Scheitelpunktes
5:10 rechnet man dann so aus 0,0 + 4,25 geteilt durch 2 = 2,125 wenn jetzt hier keine Null rausgekommen wäre sondern zum Beispiel
5:24 die Zahl 1,3 da hätten wir hier eingesetzt und statt in 0 aber so kann man das dann immer ausrechnen so x-Koordinate unsere Scheitels ist 2,125
5:37 jetzt können wir noch die y-Koordinate unseres Scheitels ausrechnen und somit unseren Flächeninhalt also unseren Wert den wir
5:47 haben wollen wir setzen x in unsere Formel hier ein oder ins in unsere Funktion das
5:56 entspricht dann dem y-Wert der Scheitelpunktes eingesetzt und wir bekommen für die Fläche für den Funktionswert wie auch
6:04 immer man das ganze jetzt bezeichnen will der gibt es mehrere Möglichkeiten am Ende vom Tag ist es bei uns hier jetzt die Fläche
6:13 9,03125 das ist die maximale Fläche die wir erzeugen können wenn wir hier haben XX und Y und einen Umfang von diesen drei Längen
6:27 von 8,5 nicht überschreiten dürfen also jetzt auch noch machen können ist natürlich
6:34 diesen y-Wert hier ausrechnen wir haben jetzt unseren x-Wert rausbekommen der steht hier die y-länge fehlt uns jetzt noch die können wir ausrechnen indem wir
6:44 diesen Wert hier einsetzen das habe ich gemacht 8,5 - 2 mal 2,125 und dann bekommen wir 4,25 raus so um das ganze jetzt noch mal
6:57 abschließend zusammenzufassen wir haben jetzt die Längen für X rausbekommen oder die Länge für X rausbekommen mit
7:07 2,125 und die Länge für Y rausbekommen mit 4,25 wenn ich die alle zusammen rechne also x
7:17 plus X plus y sind wir nicht größer als 8,5 und diese Werte für x und y geben uns den größtmöglichen Flächeninhalt den
7:30 wir für dieses Rechteck hier erzielen können das war es zu der Aufgabe ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen und jetzt viel
7:39 Spaß beim Verstehen ciao