Exponentialfunktion - Einfach Erklärt!
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Transkript (automatisch erstellt)

0:01 Mit Exponentialfunktionen kannst du vieles beschreiben – vom Wachstum von Bakterien bis zum radioaktiven Zerfall. Hier findest du alles, was es dazu zu wissen gibt. Los geht’s!
0:19 Eine Exponentialfunktion beschreibt Veränderungen, die nicht linear, sondern exponentiell wachsen oder zerfallen. Wenn du die Funktion in ein Koordinatensystem einzeichnest, siehst du gut,
0:32 dass das Wachstum deutlich schneller und steiler ist als bei linearen Funktionen. Ein Beispiel für so ein schnelles Wachstum ist ein Bakterium, das sich jede Stunde verdoppelt.
0:44 Wenn also am Anfang 500 Bakterien vorhanden waren, hast du nach einer Stunde schon 1000. Nach zwei Stunden haben sie sich nochmals verdoppelt und sind bei 2000. Die Anzahl
0:56 steigt also rasend schnell an. Das siehst du auch im Koordinatensystem. Die allgemeine Gleichung für Exponentialfunktionen lautet:
1:05 f(x)=a⋅b^x Hierbei gibt a den Startwert an. Bei unserem Beispiel mit den Bakterien
1:14 sind das die Bakterien, die zu Beginn vorhanden waren, also 500. Der Wert b beschreibt, um welchen Faktor sich deine Funktion in jedem Schritt verändert. Weil
1:25 sich die Menge der Bakterien jede Stunde verdoppelt, gilt in unserem Beispiel b=2. Wenn du in die Gleichung für x die vergangene Zeit in Stunden einsetzt,
1:37 erhältst du die Anzahl der Bakterien. Falls du also wissen willst, wie viele Bakterien nach drei Stunden vorhanden sind, setzt du für
1:53 Prima. Schauen wir uns jetzt die allgemeine Funktionsgleichung noch genauer an. Je nach Wahl von a und b kann sich der Funktionsverlauf nämlich stark verändern.
2:03 Fangen wir mit dem Fall a=1 an. Das bedeutet, wir betrachten nur noch b^x. Wenn b größer als 1 ist, wächst die Funktion streng monoton. Je höher b, desto steiler
2:18 steigt sie an. Das erkennst du daran, dass der Graph immer näher an die y-Achse rückt. Liegt b zwischen 0 und 1, fällt die Funktion. Auch hier gilt:
2:29 Je kleiner b, desto schneller fällt die Funktion. Ganz wichtig ist, dass b niemals gleich 1 sein darf. Dann würde die Funktion nämlich nur noch
2:41 eine waagerechte Gerade im Koordinatensystem darstellen. 1^x ist nämlich immer 1, egal, was du für x einsetzt. Damit ist es keine Exponentialfunktion mehr.
2:54 Super. Schauen wir uns als Nächstes die Rolle des Anfangswertes a genauer an. Er gibt immer den Schnittpunkt mit der y-Achse an.
3:03 Setzt du für a eine Zahl größer als 0 ein, verändert sich die Funktion entsprechend. Wenn dein a größer als 1 ist, wird der Graph
3:12 gestreckt. Falls dein a jedoch zwischen 0 und 1 liegt, stauchst du deine Funktion. Ist a kleiner als 0, wird der Funktionsgraph zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.
3:26 Zusammenfassend können wir festhalten, dass es vier verschiedene Fälle gibt. Bei den beiden blauen Graphen im Bild ist a jeweils 1. Bei
3:35 den beiden lila Funktionsgraphen ist a=−1. Hier im Bild siehst du außerdem, dass die Funktionsgraphen entweder streng monoton
3:45 steigend oder streng monoton fallend sind und als Definitionsbereich jeweils ganz R haben. Die x-Achse ist immer eine waagerechte Asymptote. Das
3:56 bedeutet, der Wertebereich ist immer entweder R+ oder R−. Der Graph berührt also nie die x-Achse. Du kannst deine Exponentialfunktion aber auch noch auf andere Art verändern,
4:10 indem du sie beispielsweise im Koordinatensystem verschiebst. So kannst du deine Funktion entlang der y-Achse verschieben, indem du zur Gleichung die Konstante
4:20 d hinzufügst. Dadurch verschiebst du den gesamten Graphen um d Einheiten nach oben oder unten. Aber auch eine Verschiebung nach links oder rechts
4:30 ist möglich. Dafür verwendest du zusätzlich den Wert c im Exponenten. Ist c positiv, wird die Funktion nach links verschoben. Ist c negativ,
4:41 verschiebst du die Funktion nach rechts. Zuletzt wollen wir noch kurz auf die bekannteste Exponentialfunktion eingehen:
4:49 die sogenannte e-Funktion. Sie ist auch als natürliche Exponentialfunktion bekannt. Sie hat als Basis immer die Zahl e. Das bedeutet, ihre Funktionsgleichung lautet:
5:01 e^x Die e-Funktion ist deshalb so besonders, weil bei ihrer Ableitung erneut die e-Funktion herauskommt.
5:09 Deshalb spielt sie oft eine wichtige Rolle bei echten Wachstums- oder Zerfallsprozessen. Wenn du noch mehr über die e-Funktion und ihre besonderen Eigenschaften herausfinden möchtest,
5:20 schau dir doch hier unser eigenes Video dazu an.