Ebene umwandeln – Parameterform in Koordinatenform
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=rGiMstNT7Tk

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 Hallo ihr Lieben, heute möchte ich euch Schritt für Schritt zeigen, wie man eine Ebene aus der Parameterform in die Koordinatenform umwandeln kann.
0:10 Und dabei könnt ihr immer in diesen drei Schritten vorgehen. Schritt 1: Wir brauchen den normalen Vektor n. Wie können wir den normalen Vektor finden?
0:23 Dazu geht ihr zu eurer Ebene, die ja in Parameterform dann gegeben sein muss. Und dort brauchen wir jetzt die beiden Richtungsvektoren. Die findet ihr ja bei
0:33 den Buchstaben. Also hier bei dem Buchstaben, der Vektor ist ein Richtungsvektor und hier bei dem Buchstaben, der Vektor ist ein zweiter
0:39 Richtungsvektor. Und von diesen beiden müssen wir jetzt einfach nur das Kreuzprodukt bilden und dann finden wir den normalen Vektor. Also, wir nehmen
0:49 uns den Einrichtungsvektor und schreiben den hier einmal schön rein und bilden das Kreuzprodukt mit dem zweiten Richtungsvektor, den wir hier
1:00 reinschreiben. So findet ihr immer den normalen Vektor dieser Ebene. Wie berechnet man jetzt dieses Kreuzprodukt? Da gibt es ja den Trick,
1:11 dass man die beiden Vektoren einfach noch mal untereinander aufschreibt. Also die Zahlen 3 2 1 noch mal hierhin, die Zahlen auch noch mal hierhin. Die
1:22 Klammern müsst ihr nicht hinschreiben, wir brauchen nur die Zahlen. Und hier streichen wir jetzt die erste Zeile immer und immer die letzte Zeile. Die
1:31 brauchen wir nicht. Aber um jetzt hier die erste Koordinate berechnen zu können, starten wir hier mit der ersten Zahl und gehen hier diagonal runter und
1:41 multiplizieren diese beiden Zahlen. Also 2* 2 kommt hier in die erste Koordinate rein. Das ist aber noch nicht alles. Dann kommt immer minus und dann wird
1:53 hier von unten nach oben diagonal multipliziert. 1* 0. Das kommt noch hier rein. Dann für die zweite Koordinate geht man
2:05 hier eben eins runter und multipliziert jetzt hier diagonal. 1* -1 kommt hier hin. Das war aber auch noch nicht alles. Dann kommt immer ein Minus und dann wird
2:17 hier von unten nach oben diagonal multipliziert. 3* 2 kommt hier noch hinten dran. Und dann für die dritte Koordinate das
2:27 ganze Spiel noch mal von hier startend einmal diagonal multiplizieren. 3* 0 nicht vergessen, dass immer ein Minus kommt und dann hier einmal
2:38 multiplizieren. Also 2* -1. Und jetzt müssen wir das Ganze hier nur noch berechnen. In der ersten Koordinate haben wir 2 x 2, also 4 - 1 x 0. Das
2:52 hier fliegt weg. Also haben wir da nun 4. Hier haben wir einmal -1, was -1 sind. - 3* 2 sind 6. Also, wenn wir das hier schon mal berechnen, -1 - 6 sind
3:07 dann -7. Dann können wir das hier schon mal so hinschreiben. Und hier haben wir 3 x 0, das fliegt weg. -2* -1 sind dann 2. Und damit haben
3:19 wir unseren normalen Vektor hier jetzt schon gefunden. Das war Schritt 1 und wir kommen zu Schritt 2. Koordinatenform aufstellen. Wir wissen ja, dass wir
3:32 unsere Ebene in die Koordinatenform umwandeln wollen. Bisher haben wir noch gar nichts zur Koordinatenform aufgeschrieben. Wir haben schon mal den
3:41 normalen Vektor. Aber wir sollten uns jetzt mal um die Koordinatenform kümmern, wie die überhaupt aussieht. Und da kann die Formel in eurem Skript ein
3:50 bisschen anders aussehen, als das, was ich jetzt hier hinschreibe. Aber so von der Struktur sollte das sehr ähnlich sein. Und zwar a* x + b* y + c* z = d.
4:07 Ihr arbeitet vielleicht nicht mit x, z, sondern mit x1. x2 und x3, aber das ist trotzdem die Formel für die Koordinatenform
4:20 und wir suchen jetzt Zahlen für A, für b, für C und für D. Und das praktische ist, dass wir die Zahlen für A, B und C schon gefunden
4:33 haben, denn die bekommen wir aus dem normalen Vektor. Also die Zahl, die hier vor unserem X steht, ist tatsächlich die erste Koordinate vom normalen Vektor.
4:46 Also, das ist unser A. Die Zahl, die immer vor dem Y steht, ist die zweite Koordinate. Das ist unser B. Und die Zahl, die vor dem Z steht, das ist immer
4:57 die dritte Koordinate des C. Deswegen haben wir den normalen Vektor direkt am Anfang berechnet, damit wir diese Zahlen hier jetzt direkt schon mal einsetzen
5:05 können. Das heißt, für das A packen wir 4 rein, dann steht da 4x, für das B kommt -7 rein. Also haben wir -7
5:17 und dann das y. Für das C kommt die 2 rein, also + 2 Z. Und das D kennen wir noch nicht, aber wir sind ja auch erst in Schritt 2. Es kommt ja noch Schritt 3
5:32 und da werden wir unser D finden. Aber wir haben schon mal die Zahlen vor dem X, vor dem Y und vor dem Z gefunden. Und das sind immer die Koordinaten von eurem
5:43 normalen Vektor. Okay, das war Schritt 2. Dann kommen wir jetzt zu Schritt 3. Punkte. Wir haben ja schon festgestellt, dass
5:55 hier in unserer Koordinatenform das D noch fehlt. Das müssen wir noch finden. Jetzt heißt Schritt 3 Punkt einsetzen. Wo finden wir denn jetzt einen Punkt,
6:07 den wir noch nicht verwendet haben, den wir hier einsetzen können? Na ja, in unserer Ebenengleichung haben wir hier einen Punkt, den wir noch
6:17 nicht benutzt haben. Wir haben die Richtungsvektoren verwendet für den normalen Vektor, ja, aber diesen Punkt eben noch nicht. Und so ein Punkt
6:26 besteht ja immer aus einer X Koordinate, aus einer Y Koordinate und aus einer Z Koordinate. Und X, Y und Z haben wir ja auch hier.
6:39 Und diesen Punkt können wir jetzt einfach hier einsetzen und dann d berechnen. Das heißt, für das X packen wir 0 rein. Also haben wir da 4 mal und
6:50 für das x eben 0 rein. - 7 mal für das Y packen wir die 1 rein + 2 und für das Z da schreiben wir die 2 rein und das ist gleich d
7:07 noch ausrechnen. 4 x 0, das fliegt schon mal weg -7* 1 sind -7 + 2* 2 sind + 4. Das wird unser D werden. -7 + 4 sind -3
7:24 für unser D. d haben wir gefunden, können wir hier ersetzen. Das sind -3. Und das hier ist dann eure Koordinatenform von dieser Ebene. Ich
7:39 hoffe, es ist klar geworden, wie man vorgehen kann. Falls ihr Fragen habt, schreibt sie gerne in die Kommentare. Ansonsten habt noch einen wunderschönen
7:44 Tag und wir sehen uns beim nächsten Video. Macht's gut. M.