Finde den Scheitelpunkt! – Scheitelpunktform
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=r-c2K6AKeFM

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 Hallo ihr Lieben, heute möchte ich euch an diesen drei Beispielen zeigen, wie man Funktionen in die Scheitelpunktform umwandeln kann. Lass uns mal mit dem
0:08 ersten Beispiel starten. Forme in die Scheitelpunktform um und gib den Scheitelpunkt S der zugehörigen Parabel an. Wir sollen hier jetzt also zwei
0:19 Dinge tun. Als erstes sollen wir unsere Funktion in die Scheitelpunktform umwandeln. Und nachdem wir das geschafft haben, dann sollen wir noch den
0:28 Scheitelpunkt angeben. Den können wir dann aber einfach an der Scheitelpunktform ablesen. Von daher Scheitelpunktform mal als allererstes.
0:37 Wie finden wir die? Wir haben jetzt hier ja drei Teile. Also einen Teil mit x², einen Teil in dem X vorkommt und dann kann hier noch
0:48 so eine Zahl stehen. Muss nicht, aber in dem Beispiel ist es jetzt der Fall. Ähm ganz wichtig, das Vorgehen, was ich jetzt zeige, gilt nur, wenn vor eurem
0:58 x² keine andere Zahl steht. Wenn hier jetzt noch so eine Dreie z.B. stehen würde, dann müsstet ihr ein bisschen anders vorgehen, so einen Schritt mehr
1:09 machen. Ähm, das zeige ich in anderen Videos. Hier in dem Video geht's jetzt erstmal nur um die Anfänge, wenn man wirklich vor dem X² keine andere Zahl
1:18 stehen hat. Okay, wie finden wir dann die Scheitelpunktform? Wir arbeiten erstmal nur mit diesen ersten beiden Teilen, also mit dem x²
1:27 Teil und mit dem Teil mit X. Die Zahl, die hier wahrscheinlich noch steht, die interessiert uns eigentlich gar nicht so wirklich. Die schreiben müssen wir
1:36 natürlich trotzdem hinschreiben, die können wir nicht einfach weglassen, aber die schreiben wir mal hier ans Ende, weil hier wollen wir jetzt noch was
1:43 hinzufügen. Deswegen brauchen wir hier ein bisschen Platz. Wir fügen jetzt hier was hinzu und ziehen diese Zahl sofort wieder ab. Wir dürfen ja nicht einfach
1:52 was verändern, was uns irgendwie gefällt. Deswegen wir dürfen was verändern, aber nur wenn wir danach genau dasselbe noch mal abziehen. Welche
2:00 Zahl fügen wir hier jetzt hinzu? Da gehen wir zu unserem Xteil und schauen uns diese Zahl an, die hier bei dem X steht. Das ist in unserem Fall die 8.
2:12 Diese Zahl nehmt ihr und teilt sie durch 2. Also 8 dur sind 4. Das Ergebnis schreibt ihr hier hin, aber das bleibt nicht so stehen, sondern das muss noch
2:22 quadriert werden. Können wir 4 zum Quadrat hinschreiben. Das fügt ihr hier hinzu und zieht es sofort wieder ab. Also genau das, was wir hier stehen
2:30 haben. 4 zum Quadrat wird direkt wieder abgezogen. Das was wir ja gerade gemacht haben, das ist übrigens die quadratische Ergänzung. Also wir ergänzen etwas, aber
2:39 ziehen das danach sofort wieder ab. Aber das machen wir, weil uns das jetzt etwas geholfen hat. Und zwar können wir die ersten drei Teile hier jetzt, also den
2:48 Teil mit x quadrat, den Teil mit x und diese neue Zahl, die wir hier hinzugefügt haben, die können wir jetzt in die Klammerschreibweise
2:58 zurückwandeln mit der binomischen Formel rückwärts angewendet. Die binomische Formel, die kann man ja anwenden auf so eine Klammer, die quadriert wird und in
3:08 dieser Klammer steht ja entweder ein Plus oder ein Minus. Und wir müssen jetzt entscheiden, kommt hier ein Plus oder kommt hier ein Minus hin? Und da
3:16 hilft uns das Vorzeichen bei unserem X-Til schon wieder. Wenn hier ein Plus steht, kommt dann auch ein Plus hier in die Klammer. Wenn hier ein Minus
3:24 gestanden hätte, kommt hier ein Minus rein. Was kommt jetzt vor das Plus? Was kommt hinter das Plus? Dazu gehen wir zu unseren Quadratteilen. Wir haben ja hier
3:32 vorne was zum Quadrat und hier hinten was zum Quadrat. Und das, was quadriert wird, dieses X, das kommt einfach so hier vorne an den ersten Teil und das,
3:42 was hier quadriert wird, die vier, die kommt in den hinteren Teil. Und schubliwup haben wir unsere Klammer schon gefunden. Hinten die Teile, die
3:50 müssen wir jetzt noch zusammen rechnen. Also - und 4 zum Quadrat, also 4 x 4 sind 16, können wir mal ausrechnen und + 17 noch hinten dran. Die beiden Sachen
4:00 können wir dann zusammenrechnen. -16 + 17 sind 1 vom Ergebnis. Ihr könnt es auch rumdrehen, wenn ihr wollt. 17 - 16 1. Deswegen radiere ich das jetzt hier
4:10 mal weg. Als Ergebnis kommt dann + 1 hin, wenn man diese beiden Sachen zusammenrechnet. Und das hier ist es schon. Das ist die Scheitelpunktform.
4:20 Also, wir brauchen etwas, wo wir eine Klammer zum Quadrat haben und hinten dran steht noch eine Zahl. Muss aber auch keine Zahl stehen. Also, es könnte
4:28 auch so aussehen. Das ist auch die Scheidelpunktform, aber normalerweise steht da noch eine Zahl. Deswegen Schritt 1 erledigt. Jetzt wollen wir den
4:36 Scheitelpunkt ablesen. Wie sieht unser Scheitelpunkt aus? Der hat ja eine X-Koordinate und Y-Koordinate. Starten wir mal mit der hinteren Koordinate. Mit
4:46 der y-Koordinate. Die finden wir nämlich hier hinten. Könnt euch ganz gut merken. Hinten. Hinten die Zahl, die hier hinten steht, die +1, das ist eine positive 1,
4:55 die kommt genauso hier rein. Also die 1. Die x-Koordinate steht beim x. Kann man sich auch ganz gut merken, aber da müssen wir noch eine Kleinigkeit
5:06 verändern. Wenn hier eine + 4 bei meinem x steht, dann kommt eine -4 als xoordinate hier rein. Also bei der y-koordinate müsst ihr nichts verändern.
5:18 Die wird genauso hier reingeschrieben, aber bei der x-Koordinate müsst ihr das Vorzeichen abändern. Wenn hier +4 steht, schreibt ihr eine -4 rein. Wenn hier
5:27 eine -4 gestanden hätte, schreibt ihr eine +4 hier rein. Aber das ist es schon. Das ist unser Scheitelpunkt und damit haben wir Teil 1 erledigt und
5:34 schauen uns das zweite Beispiel an, wo unsere Funktion jetzt ein bisschen anders aussieht. Wir haben jetzt hier nicht mehr drei Teile so wie eben,
5:42 sondern nur noch zwei Teile. Einen Teil mit x² und einen Teil mit x. Aber das ist okay. Im Grunde, wenn wenn ihr wollt, könnt ihr hier eine + 0 dazu
5:52 schreiben. Dann seht ihr, dass wir auch drei Teile haben, aber der letzte Teil ist eben null, aber brauchen wir auch nicht. So, was haben wir? als ersten
6:01 Schritt gemacht. Wir haben uns ein bisschen Platz geschaffen. Wir haben diese Zahl, die hier war, haben wir ja weiter nach hinten geschrieben. Jetzt
6:08 ist hier gar keine Zahl, deswegen müssen wir auch nichts weiter nach hinten schreiben. Das sieht schon gut aus. Wir können sofort ergänzen. Wir können
6:15 sofort was hinzufügen und direkt wieder abziehen. Was fügen wir hinzu? Wir gehen zu unserem X und schauen uns die Zahl an, die vorne dran steht. Das ist die 4.
6:25 Wir haben gelernt, wir nehmen uns diese Zahl und halbieren sie. 4 dur 2 ergibt 2 und das Ergebnis muss dann hier aber noch quadriert werden. Das was wir
6:36 hinzugefügt haben, ziehen wir sofort im nächsten Schritt noch mal ab. Okay, perfekt vorbereitet. Für die binomische Formel. Die ersten drei Teile werden
6:46 jetzt noch mal in die Klammer schreibweise geschrieben. Kommt hier ein Plus oder ein Minus rein. Das entscheidet hier das Zeichen bei dem x.
6:55 Da ist ein Minus, also kommt dann Minus rein. Was kommt vorne dran? Was kommt hinten dran? Wir gehen zu unseren Quadratteilen. Das x schnappen wir uns
7:05 von unserem Quadratteil und hier nehmen wir die Zahl, die hier unten steht, die 2 und die kommt hier rein. Fertig. Hinten den Teil rechnen wir noch aus. 2
7:15 zum Quadrat sind 4 und damit haben wir sie sofort schon die Scheitelpunktform. Wir haben unsere Klammer zum Quadrat und hinten dran steht noch eine Zahl. Teil 1
7:24 erledigt. Scheitelpunkt ablesen. Wie sehen hier die Koordinaten aus? X-Koordinate. Dazu gehen wir zu unserem X und schauen uns die Zahl an, die hier
7:34 steht. Das ist eine -2. Wir müssen es noch abändern zu einer + 2. Also eine positive 2 kommt hier rein. Der hintere Teil, den finden wir hinten. Da müssen
7:45 wir auch gar nichts abändern, sondern nehmen die -4 genauso wie sie da steht. Schön mit Vorzeichen mit. Und das ist unsere Y-Koordinate von unserem
7:54 Scheitelpunkt. Im letzten Beispiel kommt eine Kommazahl mit rein. Da wird das Ganze nicht ganz so schön, aber wir schauen uns das gemeinsam Schritt für
8:04 Schritt an. Was haben wir gelernt? Wir nehmen nur die ersten beiden Teile und machen uns ein bisschen Platz. Also schreiben diese Zahl hier hinten hin.
8:16 Die darf jetzt erstmal nicht mitspielen. Dann fügen wir etwas hinzu und ziehen es sofort noch mal ab. Was fügen wir hinzu? Wir gehen zu unserem X, schauen uns die
8:26 Zahl hier an. Die 3, die wird jetzt halbiert, also 3 durch 2 gerechnet. Und das sehen wir jetzt auch schon an diesem Beispiel. Diese Zahl hier ist diesmal
8:37 zum ersten Mal nicht gerade. Also, da kommt keine schöne Zahl raus. 3 dur 2 könnte man tatsächlich als Bruch schreiben 3 dur 2 oder falls ihr lieber
8:48 mit Kommazahlen rechnet eben mit 1,5 dann weiter rechnen. Aber ähm wir machen es jetzt hier mal mit Brüchen. Also ihr nimmt diese Zahl und teilt die durch
8:56 zwei. Könnt ihr dann einfach so als Bruch schreiben, wenn diese Zahl hier ungerade ist. Aber wir haben gesehen, das was wir hier hinschreiben, müssen
9:04 wir dann auch quadrieren. Also kommt da schöne Klammer drumrum und das ganze Ding wird noch quadriert. Das was wir hinzugefügt haben, ziehen wir sofort
9:12 noch mal ab. Da müssen wir aber gar nicht denken, wir ziehen den Teil einfach genauso wie er da steht noch mal ab. Okay, dann binomische Formel mit den
9:22 ersten drei Teilen, auch wenn die jetzt ein bisschen schlimmer aussehen, aber das Prinzip bleibt dasselbe. Wir wollen das in diese Klammerschreibweise
9:29 schreiben, wo wir das ganze zum Quadrat haben. Kommt hier ein Plus oder ein Minus rein. Das entscheidet das Zeichen beim x. Das ist ein Minus. Also haben
9:37 wir das schon mal. Was kommt vorne dran? Was kommt hinten dran? Wir gehen zu unseren Quadraten. Hier vorne nehmen wir uns nur
9:44 das X her und für hier hinten nehmen wir uns eben die Zahl hierher. Das sind die drei halbe, die schreiben wir hier rein. Dann haben wir hier vorne den Teil schon
9:54 mal erledigt. Sah schlimmer aus, als es letztendlich war. Und jetzt müssen wir nur noch hier hinten die Zahlen zusammenrechnen. Wenn ihr ein
10:02 Taschenrechner benutzen dürft, freut euch, da seid ihr schnell fertig. Ansonsten müssen wir so rein, dass wir das Quadrat hier erstmal auflösen. Also
10:10 3 quadrat sind 9, 2 zum Quadrat sind 4 und diesen Bruch müssen wir dann noch mit dieser Kommazahl zusammenrechnen. Und da würde ich so
10:22 vorgehen, dass ich diese Kommazahl selbst auch als Bruch schreibe. Das kann ich ja so machen. Ich habe hier das Komma, dass ich die Zahl ohne Komma
10:32 nehme, also die 325 und in den Zähler schreib und dann teile ich das ja durch eine ein mit so vielen Nullen hinten dran, wie viele
10:41 Nachkommerstellen ich hier auch hatte. Ich habe zwei Nachkommastellen, also muss ich hier zwei Nullen reinschreiben. Okay, jetzt darf ich die
10:49 Brüche aber addieren. Das geht aber erst, wenn die Nenner identisch sind. 4 und 100. Die 4 kann ich auf 100 bringen, indem ich mal 25 rechne. Also ich
11:03 erweitere diesen Bruch jetzt mit 25. Das heißt 4 x 25 sind die gewünschen 100 und 9 x 25 muss ich auch rechnen. 9 x 20 vielleicht zuerst, das sind 180 und
11:18 hinzuommen noch 9 x 5, das sind 45. Also insgesamt habe ich hier dann im Zähler [Musik]
11:29 225, dann darf ich diese beiden Brüche addieren. Dabei bleibt der Nenner ja bei 100 und vom Zähler habe ich -225 + 325. Ich kann es auch rumdrehen.
11:43 325 - 225, das sind 100. Also insgesamt steht hier, wenn ich alles zusammenfasse, 100 durch 100, das ist einfach nur eine 1. Sieht schöner
11:55 aus als diese ganzen Brüche hier. Wir haben die Scheitelpunktform gefunden und können jetzt den Scheitelpunkt einfach nur angeben. Hinten kommt die Zahl von
12:06 hinten rein, das ist die 1 und hier vorne die xoordinate ist diese Zahl hier bis auf das umgedrehte Vorzeichen. Also da kommt ein + 3/BE rein, also nur eine
12:18 drei halbe. Und damit haben wir die Aufgaben gelöst. Ich hoffe, es ist klar geworden, wie man vorgehen kann. Falls ihr Fragen habt, schreibt sie gerne in
12:25 die Kommentare. Ansonsten habt noch einen wunderschönen Tag und wir sehen uns beim nächsten Video. Macht's gut.