FLÄCHE zwischen 2 Graphen berechnen – Integral zwischen zwei Funktionen, Kurven
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=qT39IQ1l-cU

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hi in diesem video möchte ich mir mit euch zusammen anschauen wie man die fläche zwischen zwei funktion berechnen kann und dazu gehen wir das ganze an
0:10 diesem beispiel durch wir haben hier die funktion f von ex das ist die rote und die funktion g von ex diese grüne und die beiden schließen ja zusammen eine
0:20 fläche ein diese gelb markierte fläche und diesen flächen inhalte sollen jetzt ausrechnen und dazu brauchen wir die integralrechnung wir müssen jetzt das
0:31 integral berechnen vorn hier diesem schnittpunkt bis da hinten zu dem schnittpunkt von diesen beiden funktionen wie die zusammenhänge oder
0:41 wie die formel dafür ist das sehen wir gleich noch aber als allererste ist dass wir immer brauchen und wenn es nicht angegeben ist dann bräuchten wir eben
0:49 die krämpfen für unser integral also müssen wir diese schnittpunkte erst mal ausrechnen das ist meine allererste schritt bevor
0:56 wir überhaupt ist sie gerade rechnen können brauchen wir die grenzen und dazu geht man immer gleich vor man schnappt sich seine beiden funktionen und setzt
1:04 die gleich und das geben wir jetzt mal durch auf der anderen seite habe ich die funktion noch mal hin geschrieben und um die schnittpunkte von diesen beiden
1:12 funktionen zu finden müssen wir eben fmx gleich g fonic setzen und je nachdem wie eure funktionen dann aussehen ist das natürlich ein längerer
1:22 recht aber so vom ansatz ist es das also diese six quadrat plus eins schnappen wir uns für die linke seite und das minus ex quadrat +9 für die rechte seite
1:33 und jetzt wird diese gleichung aufgelöst und wir erwarten zwei schnittpunkte also zwei lösungen für unser ex packen wir erstmal das quadrat hier auf die andere
1:45 seite indem ihr plus iks quadrat rechnen dann steht hier iks quadrat plus iks quadrate sind ja zwei von diesen quadraten +1 noch und auf der seite
1:56 steht dann eben kein ex quadrat mehr da steht nur noch die 9 und jetzt bringen wir noch die eins auf der anderen seite indem wir -1 rechnen
2:04 dann hätten wir hier nur noch 2x quadrat und auf der anderen seite hätten wir 9 - 1 das sind 8 und dann fast das ende rechnen wir noch durch zwei damit asics
2:16 quadrat auch wirklich alleine steht dann steht der ex quadrat gleich acht durch 2004 und der letzte schritt das quadrat müssen wir noch weg machen also einmal
2:27 die wurzel ziehen dann kriegen wir zwei lösungen raus beim wurzelziehen immer beachten einmal die wird es also plus die wurzel aus 4 und - die wurzel aus
2:36 vier das wäre plus und minus 2 also die eine lösung ist - 2 und die andere lösung ist 2 und es war ja das was wir erwartet haben wir brauchen jetzt zwei
2:48 punkte weil wir brauchen ja eben die grenzen für oben und unten und wenn wir hier das am grafen kontrollieren ist der einschnitt punkt bei -2 und der andere
2:58 schnittpunkt bei 2 das sind unsere grenzen von unserem integral und jetzt schauen wir uns erst mal an wie die formel dafür ist wenn man zwei
3:07 funktionen hat und diese fläche zwischen diesen beiden funktionen ausrechnen soll da gibt es nämlich eine dafür und die schreiben will man hier auf das sind
3:15 immer noch unsere beiden funktionen unsere schnittpunkte die nicht mal s1 der war bei minus 2 und s 2 der bei 2 das waren unsere grenzen und die
3:25 brauchen wir nämlich jetzt für das integral denn die fläche zwischen zwei funktionen berechnet man mit folgender formel die das integral von unserer
3:35 einen grenze bis zu unserer anderen grenze die wir also schon als schnittpunkte eben gefunden haben und jetzt werden die funktionen einfach
3:44 voneinander abgezogen und wir berechnen davon das integral jetzt seid ihr vielleicht so ist es wichtig was jetzt von iks und was geht phoenix ist nur
3:56 bedingt denn wenn ihr jetzt noch den betrag um dieses integral schreibt bedeutet das also dass es ab jetzt ist es wirklich egal welche funktion er für
4:07 fx elf von ex einsetzt und welche ihr für ge von iks einsetzt ihr könnt jetzt entweder das dach da einsetzen und das da oder eben andersherum also dann müsst
4:18 ihr euch keine gedanken machen diese betrag striche die wirken am anfang irgendwie so ein bisschen komisch schreibt immerhin und erst ganz am ende
4:26 von unserer rechnung wenn wir das integral schon komplett gelöst haben und eine zahl rauskriegen dann werden die betrag striche eventuell noch mal
4:34 wichtig also schreibt sie ruhig hin versucht daran zu denken man vergisst die so gut wie immer aber behalten sie im hinterkopf ganz am ende wenn wir es
4:43 gelöst haben komme ich auf diese betrags striche nochmal zurück ok dann würden wir jetzt mal unsere sachen einsetzen betrag strich integral von unseren
4:55 grenzen - 2 bis 2 also die untere grenze die kleinere da unten hin die größere oben hin und jetzt setzen wir ein ebt von aixvox
5:04 quadrat +1 und jetzt ziehen wir g von ixxat auch da passieren gerne fehler denn wir müssen ja - das komplette g von iks rechnen
5:16 das heißt macht hier eine klammer hin sonst habt ihr vorzeichen fehler also - dieses g von ex das quadrat +9 heißt hinten dran das integral wieder
5:29 abschließend mit dem dx und den betrag strich zu machen gut jetzt wird vereinfacht bevor wir integrieren betrag strich integral von
5:42 minus 2 bis 2 lesen wir die klammer hier mal auf dann hätten wir also mix quadrat bis 1 lassen wie man noch davon stehen klammer auflösen heißt er das - bezieht
5:52 sich auf jeden fall drin dann hätten wir - und - werden +6 quadrat und -9 dann nochmal tx hinten dran und betrag strich zu
6:05 jetzt können wir ein bisschen zusammenrechnen die icsg warte kann man ja zu 2x quadrat zusammenrechnen und 1 - 9 während -8 das habe ich gemacht und es
6:16 steht auf der anderen seite schon also wirklich einfach die sachen zusammenfassen und jetzt ist es möglichst einfach jetzt können wir
6:23 einfach die stamm funktion davon bilden weil wir haben ja alles vereinfacht zusammengefasst jetzt ist es so weit dass wir integrieren wie sind dafür noch
6:32 mal die regeln die zahl gucken wir uns gleich mal an aber als allererstes gehen wir mal zu dem ixs quadrat da wird ja die hoch zahl um 1 erhöht
6:41 also da wird ein x3 raus und das was vorne dran stand die 2 die bleibt aber die wird geteilt durch die neue hoch zahlen durch die 3 das ist ja die regel
6:54 die habt ihr sicherlich schon gesehen und hier hinten bei der zahl wenn dann nur eine zahl steht ohne irgendeine nix dann wird beim integrieren
7:05 kommt einfach ein iks dazu also beim integrieren kommt ein extra an weil beim ableiten wenn ihr rückwärts denkt würde beim
7:14 ableiten des xii einfach wegfallen so hängen die integration und die ableitung mehr zusammen und klammer zu die grenzen wieder an die ecken dran und
7:27 jetzt sind wir fast schon fertig jetzt wird nur noch eingesetzt und jetzt seht ihr schon also das sage ich euch wirklich mal vergisst diese betrag
7:34 striche ständig also normalerweise die müssen wirklich immer wieder drumrum sie lehnen ab und zu mal verloren besitzt total normal und ganz am schluss
7:43 merkte ich habe den betrag striche vergessen und ansetzen und sich wieder dann doch nach oben gut jetzt setzen wir die grenzen ein die
7:54 obere zuerst das heißt zwei kommt für das ixs rein dann steht da zwei drittel mal zwei hoch 3 - 8 mal 2 und jetzt kommt auch wieder ein - das
8:08 ist ja immer so man setzt die obere grenze ein dann kommt ein - und jetzt wird die untere grenze eingesetzt und auch da macht eine klammer sonst kommt
8:14 durcheinander jetzt setzen wir die - 2 1 führt das heißt dass stets zwei drittel - zwei hoch 3 - 8 x - zwei schön alle klammern
8:26 zu betrags strich hinten wieder zu und jetzt wird ausgerechnet tippt es in taschenrechner 1 ich komme da auf -21 3 3 und jetzt zu
8:38 diesem zeitpunkt wenn ihr dort eine zahl stehen habt dann erst sind die betrags striche wichtig denn wir haben hier einen negativen flächen inhalt raus
8:48 momentan noch also das integral ist negativ aber es gibt natürlich keine negativen flächen man kann ja nicht sagen meine wohnung oder ein zimmer ist
8:58 25 - 25 quadratmeter groß deswegen kommen jetzt die betrag striche zum tragen wenn ihr was negatives raus bekommt ist das nicht schlimm
9:06 dann müsste er aber einfach die positive zahl dahin schreiben dafür sind die betrag striche da dass sie sagen ich will nicht dass negative davon sondern
9:16 ich will nur die positiven anteil und das ist euer flächen inhalt für eure fläche zwischen diesen beiden grafen also als allererstes immer schnittpunkte
9:27 finden dann das integral mit dieser formel aufstellen und wegen den betrag strichen ist es egal welche funktionen ihr von welcher abzieht also wie ihr die
9:40 nennt ob das jetzt von access oder das g von nix das könnte dann einfach machen wie es euch am besten gefällt betrag strich nicht vergessen denn wenn etwas
9:47 negatives rauskommt hier hinten dann interessiert uns beim flächen inhalt nur der positiv sehr gut dann hoffe ich dass euch das geholfen hat und dass ihr eure
9:57 aufgaben beim mitlesen kann macht's gut bis zum nächsten mal