Logistisches Wachstum einfach erklärt
Mathe - simpleclub
https://www.youtube.com/watch?v=q7zw0oS8tnw

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 Funktionen habt ihr jetzt viele kennengelernt, aber gerade wenn man denkt, man kennt alle Funktionstypen, bä, kommt noch ein Typ dazu. So wie hier
0:08 in diesem Video, die logistische Funktion oder SFunktion. Wofür brauche ich die denn schon
0:20 wieder? Stellt euch vor, ihr setzt auf einer einsamen Insel ein paar Kaninchen aus. Vorausgesetzt, es handelt sich um männliche und weibliche Kaninchen und
0:29 die finden dort was zu fressen. Passiert was? Richtig, die vermehren sich und zwar exponentiell. Was das noch mal war, könnt ihr in unseren Videos zum Thema
0:37 exponentielles Wachstum nachschauen. Zurück zu unseren Kaninchen. Die vermehren sich so lange weiter, bis irgendwann kein Platz mehr für Kaninchen
0:45 ist und die Insel voll ist. Glaubt ihr nicht? Ihr könnt ja mal ausprobieren. Die Frage ist jetzt, wie beschreibe ich mit einer Funktion, was dort auf der
0:54 Insel abgeht? Die Lösung bringt, tada die logistische Funktion oder auch S-Funktion genannt und die sieht so aus. Wenn man nur den Anfang der Funktion
1:03 betrachtet, sieht das verdammt nach einer E-Funktion aus. Wenn man nach links schaut, geht die immer weiter an die X-Achse ran. Nach rechts haut die
1:11 Funktion einfach nach oben ab. Schaut man sich nur das Ende an, sieht das auch wieder nach einer E-Funktion aus. Diesmal irgendwas in die Richtung - hoch
1:20 -x + irgendeinen Wert. Also einfach eine umgedrehte E-Funktion, die nicht höher geht wie ein bestimmter Wert. Diesen Wert nennt man Asymptote. Wir nennen ihn
1:30 erstmal G. Das Wachstum wird durch den Wert der Asymptote beschränkt. Soll heißen, ist der Wert erreicht, ist Schluss. Es geht nicht höher. In unserem
1:39 Beispiel bedeutet das, es können nicht mehr Kaninchen auf der Insel überleben. Aber nun betrachten wir einmal die gesamte Funktion und stellen fest, das
1:47 Wachstum, also die Steigung der Funktion, hängt von zwei Dingen ab. Und zwar erstens dem aktuellen Bestand. Klar, gibt's mehr Kaninchen, werden auch
1:56 mehr Kaninchenbabys gemacht und zweitens der noch vorhandenen Kapazität. Auch klar gibt's weniger Lebensraum, können nicht mehr so viele und irgendwann mal
2:05 gar keine Kaninchen mehr gemacht werden, weil einfach nicht mehr genug Platz da ist. Drücken wir das Ganze mal in einer Formel aus. Die Ableitung, also f t ist
2:15 k mal die eigentliche Funktion f t mal in Klammer g - f von t. K ist die sogenannte Proportionalitätskonstante, die sagt
2:24 uns, wie schnell die Kurve steigt. und G ist unsere gerade beschriebene obere Asymptote. Auf Deutsch unser Maximalwert. Es gehe also in unserem
2:34 Beispiel gleich 1000 können 1000 Kaninchen auf der Insel leben. Nun sieht das Ganze noch ziemlich hässlich aus. Wir haben eine Gleichung, in der die
2:42 Ableitung einer Funktion und außerdem noch die Funktion selbst drin steckt. So etwas nennt man Differentialgleichung. Kurz DGL. Wenn ihr das noch nicht
2:51 hattet, könnt ihr euch schon mal auf das Thema freuen oder auch nicht. Um eine Formel zu bekommen, die wir benutzen können, müssten wir die
2:58 Differentialgleichung lösen. Das soll aber heute nicht das Thema sein. Wichtig ist, was rauskommt und das ist f von t g 1 + e hoch - k* g* t mal klammer auf g f
3:12 von 0 - 1 Klammer zu. Das soll jetzt schöner aussehen? Nicht wirklich, aber ihr könnt mehr damit anfangen. Und zwar habt ihr jetzt die Funktionsgleichung
3:21 der logistischen Funktion. Neben G und k habt ihr nun noch ein f von0, also den Funktionswert zum Zeitpunkt t = 0, quasi euren Anfangswert. Mit dieser
3:33 Funktionsgleichung könnt ihr umgehen wie mit anderen Funktionstypen auch. Ihr könnt Werte für t einsetzen und so den Funktionswert zu einem bestimmten
3:41 Zeitpunkt bestimmen. Genau das machen wir jetzt mal an unserem Beispiel, damit ihr auch eine Chance habt, den ganzen Quatsch zu kapieren. Unsere
3:49 Proportionalitätskonstante ist jetzt mal k. G ist 500. Heißt, es können z.B. maximal 500 Hasen auf der Insel leben und f0 ist 2. Ihr setzt also am Anfang
4:01 zwei Hasen auf der Insel aus. Hier haben wir jetzt noch mal die allgemeine Funktionsgleichung eingeblendet. Da setzt ihr jetzt einfach alle Werte ein.
4:09 Eure Funktion ist also f von t= 500 dur 1 + e hoch -0,001* 500* t mal 500 dur 2 - 1. Vereinfacht ist das dann 500 dur 1 + e
4:23 hoch -0,5 x t mal 249. Setzt ihr nun beispielsweise t = 10 ein, bekommt ihr ca. 186,724 heraus. Drückt ruhig mal Pause
4:36 und gebt es selbst in den Taschenrechner ein. Das bedeutet, nach 10 Zeiteinheiten leben dann ca. 186 und ein dreiviertel Kaninchen auf der Insel. Lehrer können
4:47 aber auch schwierigere Fragen stellen, z.B. wann endlich 375 Kaninchen auf der Insel sind. Wie löst ihr solche Aufgaben? Ihr setzt den Wert mit der
4:56 Funktionsgleichung gleich und dann löst ihr nach T auf. Und schon wisst ihr, wann auf eurer Insel 375 Kaninchen leben. Macht das doch einfach mal als
5:05 Übung mit unserer Funktion oben. Wenn ihr richtig gerechnet habt, müsste ungefähr 13,24 herauskommen. So, das waren jetzt ziemlich viele Formeln. Was
5:15 ist wichtig und was sollt ihr euch merken? Viele Vorgänge in der Natur, aber auch in der Wirtschaft, wachsen nicht auf Dauer exponentiell, sondern
5:22 sind beschränkt. Um solche Vorgänge, denkt an unsere Kaninchen, zu beschreiben, verwendet ihr die logistische Funktion. Diese ist
5:30 proportional zu dem aktuellen Bestand an Kaninchen, Geld oder was auch immer sowie zu der noch vorhandenen Kapazität. Soll heißen, ist euer Bestand klein,
5:39 wächst die Funktion langsam. Ist er groß und ihr habt trotzdem noch viel Platz nach oben, wächst die Funktion sehr schnell. Habt ihr weniger Kapazität, so
5:48 wächst die Funktion wieder langsamer. So Leute, ganz wichtig, klickt jetzt hier zum Special Video von uns. Wir sind gerade dabei, die geilste
5:56 Nachhilfeplattform Deutschland zu entwickeln und brauchen dazu eure Meinung. Ansonsten haut rein, Leute. Macht's gut und bis gleich. Ciao.