Extremwertaufgabe Beispiel – Extremwertaufgaben maximaler Flächeninhalt
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=pXm_6ZxGVp8

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hallo ihr lieben heute möchte ich euch an diesem beispiel hier zeigen wie man eine extreme at aufgabe lösen kann man kann dann nämlich
0:06 immer sehr ähnlich vorgehen auch nach einem plan den schauen wir uns gleich mal an lasst uns erst mal die aufgabe lesen worum es hier überhaupt geht der
0:14 querschnitt eines tunnels hat die form eines rechtecks mit aufgesetztem halbkreis also hier haben wir so ein querschnitt von so einem tunnel gegeben
0:23 durch den man hier so durchlaufen kann und er besteht eben auch so einem rechteck hier und einem halbkreis also macht euch am anfang der aufgabe
0:31 wirklich alles ganz genau bewusst was hier so abgebildet wird welche abmessungen ihr hier auch gegeben haben hier sehen wir von dem rechteck hier die
0:39 höhe soll da sein und hier von unserem halbkreis bekommen wir den radius okay der umfang des querschnitts ist mit gleich zehn metern gegeben also von
0:51 unserem querschnitt hier wenn man hier einmal drum rum läuft dieser umfang ist mit zehn metern gegeben jetzt die frage wie müssen die abmessungen des tunnels
1:01 festgelegt werden also wir müssen wir eher und a festlegen welche zahlen sollen wir den zuordnen damit die querschnitts fläche
1:11 möglichst groß wird also die querschnitts fläche wäre ja hier die fläche von diesem konstrukt und diese fläche das ist unser ziel die soll
1:24 möglichst groß werden also seid euch das immer bewusst was ich hier überhaupt untersuchen sollen das ist eure wichtigste
1:33 focus ein absoluter fokus was worum es die ganze zeit geht jetzt lasst uns mal uns den plan anschauen wie man bei extrem mit aufgaben vorgängern als
1:44 allererstes ihr habt bestimmt schon mal von hauptbedingungen und nebenbedingungen gehört als erstes würde ich empfehlen stellt die
1:50 hauptbedingungen auf die kann man nämlich ganz leicht im text erkennen denn die hauptbedingung die steht in der frage
2:00 also hier steht ja die querschnitts fläche soll möglichst groß werden ihr sucht was soll möglichst groß werden oder möglichst klein was minimal werden
2:12 oder maximal dass unsere begriffe worum es eben bei extremwert aufgaben geht die sich immer wieder wiederholen und das wird eure hauptbedingung werden die
2:23 querschnitts fläche also eine fläche dafür müssen wir jetzt natürlich eine formel aufstellen flächen werden ja mit dem abgekürzt die fläche von diesem
2:31 gebilde hier soll möglichst groß werden ok möglichst groß sehen wir ganz am ende was ist dann heißt aber wir brauchen erstmal eine formel für die fläche und
2:42 die fläche von diesen dingen hier setzt sich halt eben zusammen aus der fläche von dem rechteck plus der fläche von unserem
2:51 halbkreis dann gehen wir jetzt mal auf die suche für einen ausdruck jetzt mit h&m für unseren flächen inhalt von dem
3:00 rechteck naja flächen inhalt vom rechteck wäre die eine seite des rechtecks mal die andere seite wie lang ist diese seite hier wenn der radius
3:11 hier rs dann ist die ganze seite hier einfach zweimal der radius also zwei wäre hier diese seite von dem rechteck zwei er wird x
3:25 der anderen seite von unserem rechteck also soweit erst mal gar nichts schlimmes guckt euch die buchstaben an oder vergibt selbst fällt je nachdem bei
3:34 nicht allen aufgaben ist das kit zugegeben markiert eure längen die wichtigstens mit abe xy irgendwas und schreibt hier jetzt daneben den flächen
3:46 inhalt auf mit diesen buchstaben der halbkreis fehlt noch flächen inhalt von einem halbkreis vielleicht machen wir erstmal den flächen inhalt von einem
3:55 kreis die formel heißt kemal r-quadrat für einen vollen kreis jetzt haben wir euch aber nur die hälfte von dem kreis das wäre dann eben nur die hälfte von
4:06 diesem pr quadrat das ist eine formel für unsere hauptbedingungen also das ist unsere haut bedingung und die haben wir auch die ganze zeit immer im hinterkopf
4:18 oder irgendwo stehen die ist dich mit der arbeiten wir also hauptbedingung aufstellen check die wir dann auch zu unserem ziel funktion gleich
4:29 zweitens nebenbedingungen ausstellen denn wir haben ja noch eine information bekommen die wir noch gar nicht genutzt haben hier steht noch einmal unsere
4:36 hauptbedingung die nebenbedingungen die steht jetzt auch im text da wo noch eine andere zahl steht wo steht überhaupt noch irgendeine zahl hier
4:47 versteht der umfang wäre zehn meter schreibt euch das auf als gleichung gleich 10 und jetzt versuchen wir mit unseren abmessungen die wir hier gegeben
5:00 haben mit aaa und er den umfang eben zu berechnen das wäre mich immer loslaufen und auf jeden fall also 2 a hinzu kommt hier
5:13 unten das stück das fahren wir eben schon festgestellt dass das eben 2er sind und hinzu kommt noch der halbkreis hier oben umfang eines halbkreises am
5:25 besten dann erstmal noch mal umfang für einen vollen kreis wäre 2 pr und wenn wir davon jetzt nur die hälfte nehmen also durch zwei teilen dann ist der
5:39 umfang eines halbkreises eben nur pi mal er und das sind 10 das was wir da jetzt bekommen haben das ist eure nebenbedingungen also die
5:50 nebenbedingungen findet ihr indem ihr schaut welche informationen ist noch im text gegeben die nicht schon genutzt wurde oder wo steht eine zahl im text
6:00 also so einfach ist es beim wirklich sehr häufig groß die einzige zahl da es wird meine nebenbedingungen und wenn da der umfang gegeben ist dann müssen wir
6:08 halt den umfang mit unseren variablen hier einmal ausdrücken und dann hinschreiben diese beiden sind jetzt sehr wichtig also das war die
6:16 nebenbedingungen nämlich im schritt 3 werden wir die nebenbedingungen jetzt umstellen und in die hauptbedingungen einsetzen hier steht die hauptbedingung
6:26 hier steht die nebenbedingungen und wir stellen die nebenbedingungen jetzt entweder nach a oder nach herum müssen wir mal gleich schauen was hier sinn
6:37 macht denn das wird dann gleich hier eingesetzt und schaut euch bei der hauptbedingungen an was es leichter zu ersetzen ist es eher leichter zu
6:48 ersetzen dass man hier findet und hier oder es ist leichter einfach nur zu ersetzen was nämlich nur an dieser einzigen stelle steht also das kommt
6:58 absolut auf eure hauptbedingung an hier wird auch quartiert ist nicht immer ganz so angenehm deswegen wenn nur nur an einer einzigen stelle steht dann
7:07 entscheiden wir uns jetzt dafür die nebenbedingungen nach a umzustellen und dann gleich hier für dieses einzige a zu ersetzen dann lasst uns das mal machen
7:19 nachdem ich hier noch ein bisschen aufgeräumt habe wir haben uns für entschieden lösen dass hier also nach aaa auf aa steht nur hier an der stelle
7:28 das heißt dieses ganze zeug kann auf die andere seite indem wir also - 2 - pierre rechnen dann kommt das hier nämlich weg dann steht ja nur noch zwei gleich 10
7:41 - 2 - ja und jetzt teilen wir noch einmal durch zwei damit es auch alleine steht da könnte jetzt entweder großen bruch machen und durch zwei teilen oder
7:54 wir teilen jedes jeden teil durch zwei also 10 durch zwei sind 52 er durch zweiter kürzlich die zwei weg und nur dass er bleibt stehen und
8:05 die er durch zwei also es werden eine halb ja ihr könnt auch pr durch zwei schreiben wie ihr wollt ich habe es lieber getrennt denn die zahl von den
8:18 buchstaben so und jetzt wird ersetzt also das macht man auch immer immer wieder dass man dann eben die nebenbedingungen umstellt und in der
8:27 hauptbedingung einsetzt für das hier jetzt an der stelle das bedeutet zweimal und für das schöne klammer kommt all das rein was mittag hatte 05
8:40 - ein halb pr und hintendran noch plus ein halb pia quadrat wasser eben vorher war und je nachdem wie eure funktionen aussehen wird es hässlich also hier
8:54 haben wir definitiv so einen fall lösen wir mal auf zwei mal findet sind zehn er zweimal - wer sind - zwei er trat dann zwei erst kürzlich die zwei mit dem ein
9:10 halb weg also eher mal er wird zu erkrath also pierre quadrat also ich sags euch gerade die beiden heben sich weg weil zwei meiner
9:21 mal eineinhalb jetzt raus und pr x r sind an pia quadrat dann hinten dran dieses plus eine halb quadrat und vielleicht können wir noch ein bisschen
9:34 was zusammenfassender sind ja sehr viele r quadrate drin da sind zumindest pierre quadrat drin dann würde ich sagen lasst uns die
9:43 beiden wenigstens noch zusammenfassen vorne das lassen wir mal stehen und die beiden hier haben wir minus eins von diesen pr quadraten hier haben wir plus
9:55 ein halb davon also - einsplus einhalb wären - ein halb von diesen pr quadraten das ist jetzt unsere ziel funktion da steckt jetzt übrigens nur noch
10:10 erträglich dass man nicht aufgefallen ist wir haben das ja eliminiert das ist nicht mehr da hier steckt jetzt nur noch älteren vorher war und er drin jetzt
10:20 könnte man das auch so aufschreiben dass unsere funktion unsere funktion a unser flächen inhalt nur vom radius momentan abhängt also das kann man dann auch so
10:29 hinschreiben dann ist man mehr in diesem funktions modus und kann damit vielleicht besser umgehen wie ihr wollt auf jeden fall ist das unsere ziele
10:38 funktion wir haben jetzt eine funktion und wenn wir uns mal noch mal überlegen aber eigentlich gesucht war dies ist ja unser flächen inhalt soll möglichst groß
10:50 werden wir suchen also hoch und tiefpunkte und es ist auch der vierte schritt auf unserer liste hier den dritten haben wir erledigt maximum
10:58 finden von unserer funktion a von er die wir uns gerade mühevoll hergeleitet haben wie finden wir ein maximum das können jetzt mit einem neuen plan
11:09 angehen maximum finden sagt im ersten schritt wir müssen die ersten beiden ableitungen bilden machen wir das doch schnappen uns unsere ziele funktion und
11:19 leiten die einmal ab mit den ganz normalen regeln nach er wird abgeleitet also ich wenn nur mehr da steht dann fällt das er beim
11:29 ableiten weg und nur die zehen bleibt übrig hier wird die hoch zahl mit dem vorne dran multipliziert zweimal 2000 also vier und die hochzeit wird dann ein
11:39 kleiner gemacht aus nach zwei wird eins oder eben einfach nichts mehr schreiben und auch hier hinten lasst euch von dem pi nicht verwirren diese eine halb ihr
11:50 könnt ihr zusammen nehmen es ist eine zahl da steckt mehr drin wir leiten nach er ab also die hoch zahl diese zwei wird x der zahl die vorne dran steht mit der
12:01 ein halb ii und die zwei und das ein halb kürzen sich weg also bleibt nur übrig und sie hoch zeige dann ein kleiner gemacht auch bei wieder wird aus
12:11 dem er auch zwei eben einfach nur hoch 1 also ja ok dann lasst uns noch einmal ableiten das braucht man ja auch die zweite ableitung wenn keiner mehr drin
12:20 ist fällt komplett weg hier haben wir wieder einen fall da ist er drin das fällt also weg dh die -4 bleibt stehen und hier auch da das erzählt weg und nur
12:32 das - bleib stehen erst die zweite ableitung hätten wir also erledigt sehr gut wir nehmen uns unsere erste ableitung
12:43 und setzten die gleich null da ist unsere erste ableitung die schnappen wir uns umsetzen die gleich null ok und jetzt lösen wir das ganze nach er
12:54 auf ist gar nicht so schlimm sieht vielleicht schlimmer aus hier die beiden haben jan er in sich vielleicht bringen wir die dann erst mal auf die andere
13:03 seite dann werden die auch positiv also plus vier und plus dann bleibt nur noch die zähne auf der seite übrig und hier eben die 4er plus
13:14 ja jetzt ist in beiden ja ein r dritte sind aber nur noch an einer stelle ein erstehen haben das bedeutet dass wir hier einfach mal heraus klammern aus
13:25 beiden weil in beiden bis 13 wenn wir das heraus ziehen bleibt hier nur die vier übrig und da hinten auch mehr herausziehen und bleibt da nur das pi
13:35 übrig und wenn wir nachher auflösen wollen dann müssen wir jetzt noch diese klammer hier wegbekommen rechnen also durch diese klammer und dann haben wir
13:46 nach er aufgelöst nämlich 10 durch die klammer also 10 durch dieses 4+ und das ist tatsächlich ein r wenn wir das ausrechnen kommt man auf vergleich
14:00 1,4 so das ist jetzt unser er wir müssen damit aber noch zeigen dass an der stelle wirklichen maximum liegt also wir haben zumindest einen kandidaten
14:13 gefunden aber wir müssen noch mit der zweite ableitung gerade prüfen dass das wirklich ein maximum ist muss nicht jeder machen kann sein dass ihr den
14:21 diesen schritt euch jetzt sparen könnt ich mache der vollständigkeit halber aber auf jeden fall also das ist unsere zweite ableitung die
14:29 haben wir schon gemacht gehabt und da packen wir jetzt unser herein was wir gerade gefunden haben also wir setzen für das er was hier nicht mehr vorkommt
14:39 setzen wir 14 1 so ändert sich auch nichts also auch wenn wir unser 14 da einsetzen für jedes r was hier drin steckt da ist kein er also hier bleibt
14:53 nur diese 4 - und das kann man auch noch ausrechnen wenn man möchte da kommt man auf minus 74 was uns jetzt eigentlich einfach nur noch interessiert ist dass
15:04 das negativ ist also die zweite ableitung ist negativ und es sagt uns ja du hast recht das hier ist ein hochpunkt also das ist ein maximum das ist alles
15:16 gut was du gemacht hast an der stelle ja gleich 14 haben wir einen hochpunkt das war jetzt nur noch die bestätigung liebe gebraucht haben und er haben wir ja
15:26 jetzt jetzt hätten aber gerne noch weil wir wenn ihr euch mal gerade noch mal überlegt was wir hatten haben wir jetzt rausgefunden dass es 1,4 ist aber
15:37 wir hatten ja noch eine andere seite nämlich dass a und da könnte zurückgehen zu eurer nebenbedingungen die haben wir ja nach aufgelöst gehabt falls ihr euch
15:46 noch erinnert vor ein paar minuten und da können wir jetzt unser er eintragen und ausrechnen also 14 einsätzen hier für jedes r was da ist
15:57 einmal ein taschenrechner eintippen und da kommen wir auch auf a gleich 1,4 also für er gleich 14 und auch gleich 14 wird diese fläche hier drin maximal groß
16:13 und der umfang ist auch noch mit zehn metern auf jeden fall eingehalten könnte ja gern mal ausrechnen ob das so weit passt aber so funktionieren eben extrem
16:23 it-aufgaben dann hoffe ich dass es euch geholfen hat dass wir gerne ein like da und wir sehen uns beim nächsten video macht gut