Logistisches Wachstum, logistische Funktion | Mathe by Daniel Jung
Mathe by Daniel Jung
https://www.youtube.com/watch?v=okTwq17PZjM

Transkript (automatisch erstellt)

0:03 Ähnlich wie beim beschränkten Wachstum erkennt ihr auch beim logistischen Wachstum, dass nach rechts geschaut die Steigung des Grafen
0:13 permanent abnimmt, irgendwann null ist und daher wir ein asymptotisches Verhalten gegen einen gewissen Wert haben. Anders allerdings beim als beim
0:23 beschränkten Wachstum ist es beim logistischen Wachstum so, dass die Wachstumsgeschwindigkeit zuerst zunimmt. Das könntet ihr mathematisch vielleicht
0:32 noch mal nachvollziehen. Die Wachstumsgeschwindigkeit wird gegeben durch die erste Ableitung. Die erste Ableitung gibt mathematisch die Steigung
0:40 an. Wenn ihr Tangenten anlegt, werden diese Tangenten erstmal immer steiler eingezeichnet und dann wieder immer flacher. Also typischer Verlauf beim
0:50 logistischen Wachstum. zunehmendes Wachstum, abnehmendes Wachstum nicht verwechseln mit es wird doch die ganze
0:59 Zeit immer höher. Ja, das wäre aber z.B. die Höhe einer Pflanze, die Wachstumsgeschwindigkeit selber gegeben durch die erste Ableitung. Die
1:07 Geschwindigkeit nimmt zu und dann nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit ab. Dieses wird jetzt ausgedrückt durch folgende Funktionsvorschrift. Wir haben, ich
1:17 mach's erstmal ein bisschen plump. f t = eine geteilt durch eine Zahl + eine Zahl mal e. E die besondere Basis, die eulische Zahl hoch - einer Zahl mal t.
1:33 Viele denken jetzt 10 ist dieser Wert, wo sich das ganze hinterher einpendelt. Also dieser sogenannte asymptotische Verlauf. Achtung, nein, wenn ihr den
1:44 Grenzwert bilden würdet, also limes t gegen plus unendlich kommt 20 raus. Das kann man auch nachvollziehen, wenn man es nicht mit der Taschenrechnermethode
1:54 macht, sondern eine hohe Zahl für t eingesetzt wäre Zahl mal hohe Zahl eingesetzt oben eine hohe negative Zahl e hoch- einer hohen negativen Zahl wird
2:06 0. 0 mal irgendetwas ist 0, bleibt übrig. 10 dur 0,5= 20. Man könnte sich auch die Notiz machen. Zahl oben geteilt durch Zahl, die alleine steht, ist die
2:20 sogenannte Schranke, wo sich der Graf vom Wert her hinterher einpendelt. 10 dur 0,5 = 20. Dieser Wert hier unten ist zeitgleich der y
2:33 Achsenabschnitt 0,5. Warum? Wenn ich 0 den t-ert 0 einsetze, e hoch 0 mal irgendwas ist 0. E hoch 0 ist 1, irgendwas hoch 0 ist
2:46 immer 1 mal 19,5 + 0,5 wäre 20 10 dur 20 wäre 0,5. Und damit hätte man die Sonderheiten fast alle geklärt. Wir haben ein
2:59 asymptotisches Verhalten. Langfristig pendelt sich dieser Graf bei dem Wert ein Zahl oben geteilt durch Zahl, die alleine steht. Die Zahl, die alleine
3:09 steht, ist der y-Achsenabschnitt. Die Zahl, die hier vor dem E steht, ist zeitgleich die Schranke dem y Achsenabschnitt. Und
3:21 damit kommen wir zur allgemeinen Form. Logistisches Wachstum f von t = a wäre nichts anderes als der ychsenabschnitt mal die
3:31 Schranke geteilt durch a der y-achsenabschnitt plus in Klammern Schranke y Achsenabschnitt mal e hoch- Zahl mal t. Jetzt könnte man z.B.
3:47 von vorne rein angeben. Wir haben einen yachsenabschnitt von 0,5. Also z.B. 0,5 m ist irgendeine Pflanze beim Einpflanzen groß. Langfristig, so
4:00 ergeben Studien, pendelt sie sich bei 20 m ein. Dann könnte man zumindestens schon mal entsprechend hier einsetzen. Das einzige, was dann noch fehlen würde,
4:10 ist ein K-Wert. Den würde ich bei einer Aufgabenstellung rausbekommen, indem man noch irgendeinen Zwischenwert hat, z.B. nach 2 Tagen ist das ganze Dingen, was
4:20 weiß ich, 1 m hoch. Das Rechnen selber sollte klar sein. Das möchte ich nicht hier deutlich machen. Es sei vielleicht noch kurz gesagt, a = f von 0, heißt
4:31 nichts anderes als 0 in f eingesetzt ist der y Achsenabschnitt. K, diese Zahl selber ist größer 0. Das heißt aber nicht, dass
4:41 hier vorne dann das ganze auch Plus ist, sondern nur die Zahl K. Hier vorne muss ein Minus stehen. T selber ist die Variable. Die Schranke muss über 0
4:52 sein, weil wir ein Wachstum haben, dass sich irgendwann bei einem positiven Wert einpendelt. Und es muss gelten, dass 0 kleiner als a ist und kleiner als s. Ich
5:04 denke, es sollte klar sein, wie mit Zahlen hier der Aufbau von logistischem Wachstum ist, wie es allgemein in Büchern stehen kann, wie ihr an Werte
5:13 rankommen könnt und wie der typische Verlauf ist. Y Achsenabschnitt, Anfangswert, Wachstumsgeschwindigkeit nimmt zu.
5:21 Ab einem gewissen Punkt könnte man noch als Wendepunkt benennen. Nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit ab, bis sie irgendwann bei null ist und damit dann
5:31 das Wachstum abgeschlossen ist bei einer oberen Schranke, bei einem Wert in dem Fall 20. Ihr solltet jetzt wissen, wie man an die entsprechenden Werte kommt.
5:40 Schaut euch noch mal in Ruhe von vorne an und vergleicht vielleicht, falls ihr es auch gemacht habt, mit dem Video beschränktes Wachstum oder beschränkte
5:47 Abnahme. Ja.