Analysis I Die Eulersche Zahl beschrieben durch die Intervallschachtelung Teil 1
Mathematik Nachhilfe
https://www.youtube.com/watch?v=n3bOl0uNO2c

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0:00 Hallo, wir wollen heute die eulische Zahl E durch Intervallschachtelung definieren und dazu habe ich dann die Aufgabe vorbereitet, wie man das macht
0:08 und durch welche Folgen. Also es sein für n natürliche Zahlen beide Folgen an 1 + 1 dur n in der Klammer hoch n definiert und eine weitere Folge bn 1 +
0:23 1 dur n hoch n + 1 vorgegeben oder definiert. zu zeigen ist, dass alle Intervalle in, also n aus natürlichen Zahlen mit in ja, so vorgegeben als
0:38 Intervall zwischen an und bn eine Intervallschachtelung bildet. So, wir wollen diese Aufgabe in zwei Teile aufteilen. Zunächst wollen wir die
0:50 Kozienten an geil durch an - 1 4. Diese nacheinander folgende Folgenglieder abschätzen. In dem Fall wollen wir zeigen, dass
1:04 an durch an - 1 ist. Und für die weitere Folge, also für die Folge bn, bn -1 BN, das in dem Fall bn - 1 ge bn größer 1 ist. Also diese Ungleichung
1:22 zeigt, dass die Folge an monotonwachsend ist und diese Kiz zeigt, dass diese Folge monoton fallend ist. Ja, das wäre dann unsere erste
1:35 Aufgabe und diese Kizenten wollen wir dann so abschätzen. Es dann können wir zeigen, dass durch diese Intervale wirklich die
1:46 Intervallschachtel und vorliegt und dadurch die und dass dadurch eine Zahl definiert wird, die man auch eulische Zahl nennt.
1:56 Okay, wir wollen erstmal zeigen, dass diese Kozent größer 1 ist. Also ja, das kann man auch anders aufschreiben, wie an - 1 kleiner als an.
2:13 Und das ist auf jeden Fall äquivalent. N - 1 hoch n - 1 kleiner
2:26 als n + 1 ge n hoch n. Also hier bei dieser Äquivalenz, wenn wir das zeigen können, dann ist nach dem Äquivalenzzeichen an - 1 kleiner an.
2:40 Also, das hier ist noch zu zeigen, das wollen wir erklären. Von daher bewegen wir uns, wie ich schon mal sagte, erstmal in die Richtung, dann
2:51 rückwärts. Ja, auf jeden Fall. Wieso steht hier n dur n - 1? Also an - 1 nach der Definition ist 1 + 1 ge n - 1. Das kann ich noch
3:06 aufschreiben. 1 + 1 ge n - 1 hoch n - 1. Und das ist das gleiche wie n - 1 ge
3:19 n - 1. So steht hier in der Klammer n - 1 + 1 ge n - 1 und so siehst du in dem Fall -1 + 1 ist weg, also n geteilt durch n -
3:34 1. Dann gehört hier noch Klammer hin und n - 1. So, das haben wir dem Fall gezeigt. Das hier ist aber auch verständlich. 1 können wir als n durch n
3:45 + 1 ge n darstellen. Also auf den gleichen Bruchstrich ist dann n + 1 ge n. Ähm, da wir in diesem Fall n durch n - 1, also n sind ja natürliche Zahlen,
4:01 da arbeiten wir mit positiven Zahlen. Da können wir diese Ungleichung mit so beide Seiten mit n - 1 ge
4:15 n hoch n multiplizieren beide Seiten. So siehst du hier auf diese auf der linken Seite so wegen n ge n- 1 mal n - 1 ge n und beide hoch n lässt sich kürzen. Es
4:28 bleibt nur n ge n - 1 hoch -1. Ja, den Bruch können wir wieder umdrehen. Also äquivalent. D steht hier n - 1 ge
4:40 n und ist kleiner. Die beiden fassen wir zusammen. N im Nenner und da steht auch n im Nenner. Zwar steht hier noch hoch n,
4:51 deshalb setzen wir noch die Klammer drüber hoch n und im Nenner ist einfach n* n n² n + 1* n - 1. Ja, die dritte binomische Formel n² - 1. Das entspricht
5:06 aber das gleiche, also gleich 1 - 1 n² hoch n. Hier haben wir angefangen. N - 1 ge n. sollte kleiner als das hier sein. Nun
5:21 wollen wir aber auch zeigen, dass es tatsächlich so gilt. So, ich weiß nicht, entweder schreibe ich zu groß oder meine Tafel ist zu klein. Also irgendwie haben
5:30 wir hier zu wenig Platz. Dann schreibe ich am besten hier oben noch die Schlussfolgerung. Also wir nehmen 1 - 1 ge n² hoch
5:42 n und nach ben ungleich, also das hier mit -1 ge n² nachle Ungleichung soll das größer als
5:57 1- n* 1, also n ge n² sein und das ist gleich n und n lässt sich kürzen. Also da steht einfach 1 - 1 ge n und das hier ist das gleiche wie n
6:14 - 1 ge n. Also im Prinzip haben wir das hier, was da links unter der Äquivalenz zu beweisen ist, steht haben wir in dem Fall durch benolleichung gezeigt. So ist
6:28 an definiert als die Summe von 1 + 1 dur n hoch n monoton wach sind. Ja, das gleiche. Aber umgekehrt als
6:41 Monotonfallen sollen wir dann für B zeigen. Das kommt aber im nächsten Video. So, wenn dich das interessiert, freue ich mich auf dich. Bis gleich.
6:51 Yeah.