Was ist eine Funktion? - Einfach erklärt
Mathe - simpleclub
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0:00 Absolut wichtig in der Schule sind Funktionen. Was das ist und wofür man sie braucht, erfahrt ihr in diesem
0:09 [Musik] Video. Was sind Funktionen? In der Mathematik ist eine Funktion in Klammern
0:17 Lateinisch Funktio oder Abbildung einer Beziehung in Klammern Relation zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge Funktionsargument unabhängige
0:25 Variable oder X-Wert genau ein Element der anderen Menge, also Funktionswert, abhängige Variable oder y Wert zuordnet. What? Okay Leute, mathematische
0:35 Definitionen sind eindeutig übel ätzend. Das ganze also mal ein bisschen anscheulicher. Wir haben fettes Autohaus, darin stehen alle möglichen
0:43 geile Schlitten. Lambos, Teslas, Ferraris und so weiter. Was bringt es jetzt aber, wenn die nicht gefahren werden? Ni, deshalb ordnen wir den Autos
0:52 jetzt Fahrzeughalter zu. Dabei bekommt jede Karre aber nur genau einen Fahrzeughalter. Man kann ein Auto ja nicht zweimal verkaufen. Je nachdem, wie
1:02 viel Kohle ein Fahrzeughalter hat, kann er sich aber auch zwei Autos leisten. So bekommt der hier z.B. diese zwei Autos. Sowas hat es jetzt mit der
1:11 Funktion zu tun. Eine Funktion macht genau das. Sie ordnet jedem Element einer bestimmten Menge genau ein Element von einer anderen Menge zu. In diesem
1:21 Fall ordnet sie jedem Auto einen Fahrzeughalter zu. Also ist unsere erste Menge die Menge aller Autos. Die nennt man dann auch
1:30 Definitionsmenge, weil wir die vordefinieren. Wir sagen, welche Autos es gibt. Die Fahrzeughalter sind dann die andere Menge. Diese Menge heißt
1:39 Ziel, Ergebnis, Werte oder Bildmenge. Klar, die Fahrzeughalter sind ja unser Ziel, an die wollen wir unsere Karren verkaufen. Wichtig ist jetzt, dass die
1:49 Funktion jedem Element aus der Definitionsmenge genau ein Element aus der Zielmenge zuordnet. Also bei uns wie gesagt jedem Auto nur einen
1:59 Fahrzeughalter. Das ist wirklich wichtig. Würden nämlich einem Element mehrere Elemente zugeordnet werden, wäre es keine Funktion mehr, sondern nur noch
2:07 eine Relation. Eine Relation ist also sowas wie eine verallgemeinerte Funktion, bei der einem Element auch mehrere Elemente zugeordnet werden
2:16 dürfen. Aber zurück zu der Funktion. Leider ornen wir in der Schule nicht Autos Fahrzeughaltern zu, sondern wie soll es anders sein, Zahlen anderen
2:26 Zahlen. Als Definitionsmenge haben wir dann z.B. auf die Menge der reellen Zahlen. Ihr erinnert euch, was reelle Zahlen waren? Nicht? Dann klickt lieber
2:35 hier und schaut es euch noch mal an. Ganz grob gesagt, sind das alle Zahlen, die man sich vorstellen kann. Denen ordnen wir jetzt auch wieder Zahlen zu
2:44 und zwar Zahlen aus unserer Zielmenge. Was da dann genau für Zahlen drin stehen, hängt von unserer Funktion ab. Wie genau ordnen wir jetzt aber den
2:52 Zahlen aus der Definitionsmenge die Zahlen aus der Zielmenge zu? Das machen wir mit einer Funktionsgleichung. Die habt ihr bestimmt auch schon mal
3:00 gesehen. Man schreibt dann f(x) = irgendwas. Als Beispiel nehmen wir mal die Funktionsgleichung f(x) = x hoch 2 + 2.
3:11 Unser x steht dabei für ein beliebiges Element aus der Definitionsmenge, also für irgendeine Zahl. Da kann man dann auch schreiben, x ist Element von R.
3:20 Klar, x ist irgendeine reelle Zahl. Und je nachdem, was ich für x einsetze, kommt eine bestimmte Zahl aus der Zielmenge raus. Diese Zahl nennen wir
3:29 mal y. Das ist auch der Grund, warum man in der Mittelstufe oder der Realschule oft nicht f(x) = sondern y = schreibt. Für x = 1 kommt dann z.B. raus f von 1 =
3:43 1 auch 2 + 2 = 1 + 2 = 3. Das bedeutet, unsere Funktion f von(x) ordnet der Zahl 1 Zahlen 3 zu. Für x = 2 f von 2 = 2 ho 2 + 2 = 4 + 2 =
4:00 6 und für x = -2 kommt raus f von -2 = -2 hoch 2 + 2 = 4 + 2 = 6. Ihr seht, wir ordnen jeder Zahl x eine Zahl y zu. Wie ihr auch vielleicht
4:15 schon bemerkt habt, ordnen wir den Zahlen 2 und -2 dieselbe Zahl zu und zwar die 6. Das ist kein Problem. Man darf nur nicht einem X mehrere y Werte
4:25 zuordnen. Hier noch mal ganz einfach dargestellt. Mehrere Elemente der Definitionsmenge dürfen demselben Element der Zielmenge zugeordnet werden.
4:35 Ein Element der Definitionsmenge darf nicht mehreren Elementen der Zielmenge zugeordnet werden. Schauen wir uns mal eine weitere Funktion an. g von x = x +
4:45 1. Sie ordnet auch jeder Zahl x genau eine Zahl y zu. Nur diesmal halt andere. Für x = 1 haben wir nämlich g von 1 = 1 + 1 = 2. Also ordnet g von x der Zahl 1
4:59 die Zahl 2 zu. Für x = 2 hätten wir g von 2 = 2 + 1 = 3. G von x ordnet der Zahl 2 die Zahl 3 zu. Funktionen kann man jetzt auch
5:11 zeichnen und zwar in ein Koordinatensystem. Das Schaubild von so einer Funktion nennt man dann
5:18 Funktionsgrafen. Zeichnen wir unsere beiden Funktionen f von(x) und g von x in unser Koordinatensystem, sehen wir sofort, welcher Wert y zu einem
5:27 bestimmten x-Wert gehört. Z.B. sehen wir, dass bei x = 1 die Funktion f(x) = 3 ist und die Funktion g von x = 2 ist, genau wie wir es auch berechnet haben.
5:40 Bei so einer Skizze sieht man dann auch sofort die wichtigste Eigenschaft von der Funktion und zwar, dass die wie gesagt jeder Zahl x eine und zwar genau
5:49 eine Zahl y zuordnet. Sowas hier wäre dann also keine Funktion, sondern einfach nur eine Relation und zwar deshalb, weil manche x-Werte mehreren y
5:59 Werten zugeordnet werden. An dieser Stelle seht ihr, dass dem x-Wert -3 mehrere y Werte zugeordnet werden. Was müsst ihr euch also merken?
6:10 Eine Funktion ist eine spezielle Art von Relation, die jedem Element aus einer Definitionsmenge ein Element von einer Zielmenge zuordnet. In der Schule sind
6:18 das in matte Zahlen. Ihr ordnet also jeder Zahl X eine Zahl y zu. Dabei ist es wichtig, dass jedem X auch nur genau ein Y zugeordnet wird. Es kann aber auch
6:30 sein, dass zwei XZahlen denselben y Wert zugeordnet bekommen. So, jetzt wisst ihr, was eine Funktion ist. Schaut euch am besten jetzt gleich noch eine
6:38 spezielle Art von Funktion an, die linearen Funktion. Klickt am besten gleich hier und zieht euch das Zeugs rein. Ist auf jeden Fall verdammt
6:45 wichtig. Ich bin raus. Haut rein, bis zum nächsten Mal und ciao.