ROTATIONSKÖRPER um x-Achse – VOLUMEN berechnen mit Integral, Formel Rotationsvolumen
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=mk7PZfAmB1g

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hallo liebe in dem heutigen video möchte ich mir zusammen mit euch anschauen wie man das volumen eines rotation körpers berechnet und zwar wenn die funktion um
0:10 die x-achse rotiert bevor wir uns ein beispiel zusammen anschauen möchte ich mich aber noch bei allen kanal mitgliedern von mir bedanken vielen dank
0:19 dass ihr mit dabei seid das freut mich wirklich sehr und motiviert mich weiterzumachen jetzt aber zurück zu unserer
0:25 eigentlichen problem stellung wir sollen wie gesagt das volumen ausrechnen von so einem rotation skipper da bekommen wir diese formel pi mal das integral in den
0:38 grenzen die in der aufgabe gegeben sein müssen in einer gewissen art und weise und natürlich brauchen eine funktion und sie wird hier in dem integral nochmal
0:47 quartiert also wir müssen ein integral lösen und halt das pi vorne dran nicht vergessen dass das immer noch mit dabei steht das ist einfach teil der formel
0:56 schauen wir uns das ganze jetzt mal an einem beispiel an wir bekommen eine funktion die so aussieht und die grenzen die sind
1:04 zwischen minus 2 und 1 bevor jetzt das ganze in die formel 1 geben schauen wir uns das mal an was das bedeutet am grafen unsere funktion müsst ihr diese
1:15 wurzel funktion die habe ich hier gezeichnet von -2 bis 1 soll jetzt unser körper rotieren oder soll die funktion rotieren
1:26 das heißt dieses stück der funktion da oben das rotiert jetzt um die x-achse drumherum ist ein bisschen schwierig sich das vorzustellen deswegen habe ich
1:38 hier mal eine andere darstellung bei der man es besser sieht hier oben haben wir dieses funktions stück das wir eben gezeichnet hatten und das rotiert jetzt
1:48 um die x-achse man sieht hier von minus 21 und dann entsteht einfach so ein körper und um dieses volumen von diesen dingen geht es jetzt also ihr müsst euch
2:00 natürlich nicht vorstellen wie das ding jetzt aussieht aber es hilft natürlich wenn man weiß was da jetzt überhaupt passiert also was diese funktion an sich
2:08 damit zu tun was dafür ein körper und da gehen wir jetzt zurück zu unserem beispiel und setzen dass man die formel 1 und das volumen auszurechnen wie war
2:19 die formel noch mal das integral jetzt kommen die grenzen - zwei ist die untere grenze bis 1 ist die obere grenze jetzt hieß ja dass die funktion darin
2:32 das integral rhein soll okay machen wir das mal die kommt da rein und jetzt wird diese funktion aber nochmal quartiert also einfach klammer drumrum zum quadrat
2:42 und hinten schließt das dx das integral dann nochmal ab manche von euch haben jetzt vielleicht angst wegen dieser wurzel funktion oder so aber wurzeln ist
2:51 das beste was passieren kann bei rotation körpern denn wenn wir uns ist jetzt mal hier anschauen und das integral jetzt ein bisschen vereinfachen
2:59 wollen dann ist es ja immer so das quadrat und wurzeln geben sich ja genau auf also das quadrat hier sorgt dafür dass ich diese wurzel hier einfach
3:09 komplett weg gibt und das ist natürlich super denn dann ist das quadrat weg und sieht die wurzel weg was bleibt dann übrig pi mal integral von -2 bis 1 und
3:20 dann bleibt einfach nur noch das übrig was unter der wurzel vorher stand und das ist natürlich jetzt um einiges einfacher denn davon müssen wir jetzt
3:28 einfach nur noch die stamm funktion finden das pi wie gesagt es bleibt wirklich einfach immer bis zum schluss vorne
3:34 daran darf man nicht vergessen mit zu schreiben was wäre jetzt die stamm funktion von dem dix quadrat wird er beim integrieren zu iks hoch drei und
3:45 vorne dran steht ja die zahl die hier vorher vorne dran stand also 1 durch die neue hoch zahl also ein drittel x3 und hierbei wenn dann eine zahl stand dann
3:58 schreibt er beim integrieren einfach ein iks hinten dran und die grenzen darf man natürlich nicht vergessen von -2 bis 1 jetzt müssen wir hier die grenzen
4:08 einsetzen wie ging das noch zuerst die obere grenze kommt hier in jede six reinschreiben wir das mal auf pi mal große klammer die einst in jede six rein
4:18 also ein drittel mal 13 plus 2 mal 1 und dann kommt ja eine - weil wir jetzt die unsere grenzen setzen mach das schöne klammer und setzt die
4:29 untere grenze einmal komplett ein also ein drittel mal - zwei hoch 3 plus zweimal - zwei ganz normal integrale lösen
4:43 und noch eine große klammer zu und jetzt geht es darum dann das ding hier auszurechnen tipps und taschenrechner ein tipp am besten zwei machen damit er
4:53 ist sicher sein geld auch das richtig so soll sie daraus ab dafür rechnet man sich gerne mal aber wenn ihr das alles aus rechnet kommt man auf 9 ist das
5:03 ergebnis von dem zeug in der klammer und das dann einfach nach hinten dran also 9 p wäre dann das volumen unseres rotation körpers manche geben dass du also wenn
5:15 ihr das dann noch als komma zahl richtig angeben sollte während es dann 28,27 wenn ihr es ohne das pi hin schreiben wollt aber normalerweise reicht diese
5:26 schreibweise auch aus bisher auch genauer als das da genau das wäre jetzt mal so ein beispiel was könnt ihr noch auf euch zukommen eine aufgabenstellung
5:35 folgendermaßen der graf von f begrenzt mit der x-achse eine fläche die um die x-achse rotiert berechnet das volumen des rotation skaters im grunde dieselbe
5:46 aufgabenstellung wir sollen das volumen des produktions körpers finden aber wir haben diesmal nur eine funktion und keine grenzen
5:54 das steht aber im text dass die funktion mit der x-achse eine fläche begrenzt also einschließt das heißt unsere grenzen also wenn unsere funktion hier
6:08 dieses quadrate - 4 das sieht so aus das schließt hier eine fläche ein und die grenzen sind da natürlich die ganz normalen
6:18 null stellen das heißt wir müssen unsere grenzen erst finden also nun stellen berechnen von diesen dingen 0 stellen berechnen bedeutet einfach gleich null
6:29 setzen also ex quadratmeter es hier gleich null und nach auflösen indem wir also +4 rechnen damit dass quadrat gleich vier steht und dann noch die
6:38 wurzel ziehen dann kriegen wir zwei lösung nämlich einmal die wurzel aus vier ist 2 und auch - 2 das darf man nicht vergessen wir brauchen ja sowieso
6:48 zwei grenzen von daher ist das ganz gut also haben wir unsere grenzen gefunden indem wir die null stellen der funktion gesucht haben ist sehr häufig der fall
6:57 dass man das zuerst machen muss und erst dann berechnet man das volumen weil jetzt haben wir ja die grenzen erst gefunden
7:04 das heißt unsere funktion unsere grenzen haben wir im kopf wir wollen das volumen berechnen wie war die formel mal integral jetzt kommen die grenzen die
7:15 wir gerade gefunden haben - zwei kommt unten hin die zwei kommt oben hin und hier kommt asics quadrat - 4 1 muss noch quartiert
7:24 werden und dann das dx hinten dran jetzt hätten wir uns eine wurzel gewünscht jetzt ist es nämlich in diesem schwierigen das ganze hier aufzulösen
7:36 wir müssen das jetzt mit der dynamischen formel vereinfachen also weil das ist ja so zum integrieren noch zu kompakt wir müssen das vereinfachen und deswegen
7:47 würden welche jetzt die biologische formel draufpacken wir gehen nach dass wir jetzt die zweite das ist ja dass da zum quadrat also iks
7:54 quadrat zum quadrat sind x4 - 2 x iks quadrat mal 4 das wären dann 8x quadrat +4 zum quadrat sind 16 und stx hinten dran
8:09 jetzt sieht schon besser aus zum integrieren perfekt geeignet die stamm funktion sieht wie aus dem x4 wird ein x5 und vorne dran steht dieser
8:20 korrekturfaktor also dieses 1 durch die neue hochsal dann - aus dem ixs quadrat wir dann x3 dann acht durch die neue hoch zahl war die 3
8:34 und hinter eine zahl kommt einfach ein ex die grenzen hin schreiben und dann nur noch einsetzen wir setzen die obere grenze ein also für
8:47 jedes ich sehe hier findet setzte die 2 1 dann also ich mache zu machen und erst mal so hier setzen die zwei in jedes x1 dann kommt da ein - hin und ihr setzt
8:58 die - zwei in jedes x1 wenn ihr das ausrechnet und glück gehabt dass er ist nicht mehr rechnet habt dann kommt die auf 512 15
9:09 oder wenn ihr es dann gerundet angeben sollte 107 23 genau also rotation körper sind eigentlich gar nicht so schlimm wenn ihr
9:21 glück habt und wurzeln in eurem funktionen habt sogar um einiges angenehmer wie ihr jetzt gesehen hat aber ansonsten geht es wirklich darum
9:27 einfach das ding in die formel reinhauen vereinfachen stamm funktionen bilden grenzen einsetzen ausrechnen falls ihr fragen zu dem ganzen hat dann meldet
9:36 euch einfach in den kommentaren