Schnittpunkt Geraden im Raum – Vektorrechnung
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=lvEPB6DtAuQ

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hallo ihr Lieben heute möchte ich euch Schritt für Schritt zeigen wie man den Schnittpunkt zweier Geraden im Raum bestimmen kann wir haben unsere beiden
0:08 Geraden Gleichungen hier schon gegeben einmal die Gerade g und einmal unsere Gerade h und wir sollen jetzt den Schnittpunkt dieser beiden Geraden
0:16 bestimmen den nennen wir einfach mal S und egal wie eure geraden Gleichungen Aussehen ihr könnt immer gleich Vorgehen wir setzen diese beiden Geraden jetzt
0:26 einfach gleich und zwar koordinatenweise also wir starten mit allem was in der ersten Koordinate steht auch hier wenn wir das mal markieren und stellen jetzt
0:36 Gleichungen auf also 2 + S* 2 ist die linke Seite S* 2 können wir auch rdrehen zu 2S ist ja üblicher ist gleich und jetzt machen wir genau dasselbe hier mit
0:48 der zweiten geraden 3 + T mal 1 also 3 + und dieses einmal t ist ja einfach t das war die erste Koordinate und davon bekommen wir eine erste Gleichung ihr
1:01 vermutet es wahrscheinlich richtig genau dasselbe jetzt mit der zweiten Koordinate für eine zweite Gleichung 2 + S* 1 haben wir dann auf der linken Seite
1:11 S* 1 also 1 x S ist einfach nur S und auf der rechten Seite 0 + T mal -2 also 0 - 2 t 0 müsst ihr dann auch nicht hinschreiben könnt dann auch weglassen
1:24 zweite Gleichung und es kommt natürlich noch eine dritte denn wir haben hier drei Koordinaten also können wir schön markieren und haben auf der linken Seite
1:33 -3 + S* -1 also -3- 1 s also -s und rechts haben wir die -1 + T* 2 also + 2T wir haben jetzt also ein
1:49 Gleichungssystem gebastelt mit drei Gleichungen aber nur zwei Unbekannten deswegen ist dieses Gleichungssystem relativ einfach zu lösen wir wollen also
1:59 herus rausfinden welche Werte kommen für S und T hier raus und die können wir dann am Schluss hier für das S oder auch für das T hier einsetzen um unseren
2:09 Schnittpunkt zu bestimmen aber dafür müssen wir S und T erstmal rausbekommen und das schauen wir uns jetzt hier mal an wenn wir wirklich nur zwei Unbekannte
2:17 bei drei Gleichungen haben dann können wir eine der Gleichungen erstmal ignorieren wir müssen die gleich noch überprüfen aber erstmal für die
2:26 Berechnung bis wir S und T raus haben können wir die dritte Gleichung erstmal rausstreichen das heißt wir schauen bei den ersten beiden Gleichungen können wir
2:35 eine von diesen relativ einfach nach S oder t auflösen z.B hier kommt s alleine vor also die zweite könnten wir sehr schnell nach S umstellen und dann in der
2:46 ersten Einsetzen das ist so der Plan wenn wir hier -2 rechnen dann steht das S in der zweiten Gleichung direkt schon mal alleine auf der linken Seite und
2:57 rechts haben wir dann die -2t und hinzu kommen noch die -2 also wir haben sofort die zweite Gleichung nach S umgestellt und das habe ich für die zweite
3:07 Gleichung hier mal dann so hingeschrieben hier ist unser S und das setzen wir jetzt in der ersten Gleichung für das S ein also wir setzen die zweite
3:16 Gleichung in die erste ein da steht dann die 2 + 2 mal und für das S setzen wir jetzt hier den Teil ein schön eine Klammer
3:28 drumrum weil das alles soll ja mit der zwe multipliziert werden also schön alles was da unser s war rein in die Klammer g=ich und auf der rechten Seite
3:38 hatten wir nur 3 + T stehen das Schreiben wir so ab jetzt haben wir hier eine Gleichung in der nur noch t vorkommt die können wir nach t umstellen
3:47 und dann haben wir schon unser t gefunden also klammer auflösen 2 + 2 x -2t das sind -4t okay also kein Plus sondern
4:00 4T und 2 x -2 sind -4 auf der rechten Seite schreiben wir es einfach ab dann vielleicht hier die Zahlen mal zusammenrechnen 2- 4 sind
4:13 -2 dann hier vorne und dann alle TS zusammenbringen auf die linke Seite also rechnen wir hier mal - T dann haben wir hier die -2
4:26 -4t - ein weiteres t da landen wir bei 5T und rechts steht nur noch die 3 alleine dann die 2 -2 rüber indem wir + 2 rechnen dann stehen nur noch die -5t
4:40 alleine auf der linken Seite rechts die Zahlen zusammengerechnet sind 5 und damit das T alleine steht muss die -5 noch weg wir teilen durch die -5 und
4:50 dann haben wir es geschafft das unser T 5 ge dur-5 -1 ergibt wir haben also einen Wert für t raus allerdings heißt es noch gar nichts uns fehlt noch der
5:02 Wert für S und wir haben die dritte Gleichung noch gar nicht verwendet also nur weil ihr hier jetzt was für t raus habt dürft ihr das noch gar nicht
5:11 verwenden an dieser Stelle also geduldig bleiben und erstmal schauen was sich sonst noch so ergibt lasass uns erstmal s berechnen das können wir nämlich mit
5:18 der zweiten Gleichung prima machen wenn wir unseren gefundenen wert hier einfach für das T einsetzen dann haben wir in der zweiten Gleichung nämlich direkt
5:28 unser s raus - Z mal für t setzen wir unseren gefundenen Wert von -1 ein Schreiben den Rest so ab und haben dann -2 x -1 S 2
5:42 die -2 hinten dran und wenn wir das Ausrechnen bekommen wir für S 0 raus okay ist nichts schlimmes kann passieren ist okay wir haben zwei Werte raus aber
5:53 immer noch geduldig bleiben wir haben die dritte Gleichung noch nicht verwendet nur weil wir zwei wert jetzt für S und T gefunden haben heißt es
6:01 immer noch gar nichts es kann immer noch sein dass es gar keinen Schnittpunkt gibt also die Werte noch nicht benutzen noch nicht sehen wir jetzt in der
6:09 dritten Gleichung ob diese Werte überhaupt in Frage kommen wir setzen Sie ein einfach für S und T hier in die Gleichung einsetzen und schauen ob die
6:19 Gleichung stimmt das heißt Links haben wir -3- für das S setzen wir 0 ein und rechts haben wir -1 + 2 x und für das T
6:30 setzen wir unsere gefundene -1 ein schauen wir ob die Gleichung stimmt auf der linken Seite haben wir -3 auf der rechten Seite haben wir hier die -1 2 x
6:41 -1 sind -2 also wenn wir die rechte Seite ausrechnen -1 - 2 sind -3 und ja auf beiden Seiten steht das gleiche das heißt die Gleichung stimmt die dritte
6:53 und damit dürfen wir diese Werte hier verwenden es gibt einen Schnittpunkt sollte es hier zu einer falschen Aussage kommen also hätte hier z.B -3 = 4
7:05 gestanden was ja irgendwas Falsches ist dann gibt es tatsächlich keinen Schnittpunkt also dann dürft ihr diese Werte hier auch nicht benutzen die haben
7:12 dann einfach keine Aussage weil hier in der dritten was falsches rausgekommen ist aber solange das passt dürft ihr diese Werte benutzen um den Schnittpunkt
7:22 auszurechnen und dazu könnt ihr jetzt ganz am Ende entweder s hier bei eurer geraden Gleichung bei S einsetzen also entweder ihr setzt die Null hier ein
7:32 eine Null ist immer ganz praktisch oder falls ihr sagt nö die -1 gefällt mir aber besser könnt ihr das dann auch für das T hier in dieser Gleichung einsetzen
7:42 ganz wichtig s gehört zu S t gehört zu T also nicht falsch zuordnen dann noch am Ende wir machen mal beides dass ihr seht dass auch bei beiden Berechnungen
7:52 dasselbe rauskommt wir suchen also unseren Schnittpunkt letztendlich und setzen dafür unsere fundenes s einfach mal hier ein die ull da rein für das S
8:03 ist natürlich sehr praktisch denn 0 mal der Vektor hier wird alles zu 0 das bedeutet zu dem Vektor hier vorne kommt nichts mehr dazu das ist der
8:11 letztendliche Vektor den wir einfach so abschreiben können und schon haben wir unseren Schnittpunkt gefunden also sehr schnell wenn man mit einer ull arbeitet
8:19 aber falls ihr sagt nö -1 ich will die Herausforderung na dann setzen wir für das T hier mal die -1 ein und Rechnen und gucken ob wir auf denselben
8:29 Schnittpunkt kommen 3 + -1 x 1 also jetzt wieder koordinatenweise 3-1 insgesamt sind dann 2 okay sehr gut stimmt schon mal zweite Koordinate 0 +
8:44 -1* -2 -1 x -2 sind 2 und dann die letzte Koordinate -1 + -1* 2 also -1 -2 sind -3 und auch da sehen wir dann da kommen dieselben Schnittpunkte raus muss
9:02 es ja es gibt ja nur einen von daher könnt ihr euch da am Schluss aussuchen was ihr wollt welche Zahl euch besser gefällt dann hoffe ich dass es euch
9:09 geholfen hat falls ihr Fragen habt schreibt sie gerne in die Kommentare ansonsten habt noch einen wunderschönen Tag und wir sehen uns beim nächsten
9:14 Video macht's gut