Findest DU die Fläche vom Quadrat? – Geometrie
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=keX-8UrK1tA

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hallo ihr Lieben heute habe ich euch diese Geometrieaufgabe mitgebracht bei der wir herausfinden sollen wie groß der Flächeninhalt des kleinen Quadrates ist
0:09 wir haben hier zwei gleichgroße Kreise vom Radius 5 die sich hier berühren und die berühren auch diese Linie hier unten das kleine Quadrat liegt auf dieser
0:23 Linie drauf und berührt mit den Eckpunkten die beiden Kreise und wir sollen jetzt herausfinden wie groß der Flächeninhalt von diesem Quadrat hier
0:33 ist wir können eine Seitenlänge vom Quadrat einfach mal mit X bezeichnen die andere ist ja dann genauso groß und x mal x wäre dann der Flächeninhalt das
0:43 ist letztendlich gesucht okay dann schauen wir mal was wir mit den Radien anstellen was immer ganz praktisch ist sind diese berührpunkte hier die helfen
0:54 einem immer deswegen würde ich mal sagen wir ziehen den Radius vom Mittelpunkt zu so einem Berührpunkt einfach mal und bezeichnen den eben mit fünf genauso
1:03 hier vom Mittelpunkt zu dem Berührpunkt haben wir die Länge fünf und auch da vom Mittelpunkt zu dem Berührpunkt haben wir die Länge 5f dann haben wir hier fast
1:14 ein Dreieck gebastelt nicht so richtig aber wir könnten es mal schließen und sagen okay wir machen hier mal ein rechtwinkliges Dreieck wir wissen
1:25 allerdings nicht wie lang dieses Stück hier ist wir können es einfach mal mit y bezeichnen dann haben wir es hier mit X und Y zu tun wenn wir jetzt aber den
1:36 Satz des Pythagoras hier drauf anwenden wollen dann müssten wir noch herausfinden wie lang diese Seite hier ist weil da sind ja nicht die fünf die
1:44 fünf laufen ja vom Mittelpunkt zum Kreisrand das ist ja die fünf das heißt die Frage ist wie lang ist das Stückchen hier unten das ist ja aber genau unser x
1:55 weil das haben wir ja von hier rüber gezogen das heißt das Stück ist x lang und wie lang ist denn dann nur dieses Stück hier na ja wenn wir von der ganzen
2:07 Seite also von den fünf das Abziehen was hier unten zu viel ist nämlich das X dann ist das exakt das Stückchen was wir brauchen für den Satz des Pythagoras und
2:20 das wenden wir jetzt hier mal an dazu suchen wir erstmal die Hypotenuse die liegt gegenüber vom rechten Winkel also hier und Pythagoras sagt dann schnappt
2:29 ihr Seite und quadriere die also 5- x schöne Klammer drumrum das wird quadriert plus nimm die andere Seite und quadriere die also y zum Quadrat und
2:42 dann kommt da die Hypotenuse zum Quadrat raus also 5 zum Quadrat dieses 5 Quadrat können wir mal berechnen das sind ja einfach
2:51 25 und damit haben wir hier eine Gleichung gefunden in der X und Y vorkommen das heißt wir können die jetzt nicht direkt nach einer unbekannten
3:02 auflösen wir bräuchten noch eine zweite Gleichung damit wir uns ein kleines Gleichungssystem aufbauen können mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten
3:10 und das dann lösen können aber wir merken uns schon mal dass wir das gefunden haben das habe ich jetzt noch mal hier hingeschrieben das haben wir ja
3:17 schon mal und müssen jetzt einen weiteren Zusammenhang zwischen x und y finden das kleine Dreieck haben wir schon benutzt müssen wir mal auf die
3:27 Suche gehen was wir noch nicht benutzt haben vielleicht könnten wir hier auf der linken Seite auch mal alles ausfüllen also vom Mittelpunkt zu dem
3:33 Berührpunkt hier sind es fünf genauso hier runter das ist ja alles symmetrisch aufgebaut sind ist fün und unser y könnten wir hier auch mal
3:43 einzeichnen dann sieht man eigentlich ganz schön dass man ja von hier bis hier hinlaufen kann mit Y X und Y und das ist ja nichts anderes als diese Strecke hier
3:57 die ja mit Z gegeben ist das heißt wir könnten eine zweite Gleichung aufstellen mit Y + X + y ich schreib es mal auf ist nichts anderes als 10 und damit hätten
4:12 wir eine zweite Gleichung die um einiges angenehmer aussieht als unsere erste Gleichung mit X und Y und die können wir benutzen wenn wir hier die y noch
4:19 zusammenfassen y + y sind 2Y dann ist x noch dazu und das ergibt 10 auch diese Gleichung schnappen wir uns dann mal mit der anderen Gleichung und packen die in
4:30 ein Gleichungssystem und jetzt müssen wir nur noch dieses Gleichungssystem hier lösen wir könnten vielleicht die zweite Gleichung mal nach y umstellen
4:44 und dann hier in der ersten Gleichung für das Y einsetzen lass uns erstmal die zweite Gleichung nach y umstellen das heißt wir würden das X mal rüberbringen
4:56 mit - x dann stehen die 2Y alleine da und rechts haben wir 10- x und um nach yumzustellen müssen wir die Z einfach
5:07 nur noch loswerden indem wir durch 2 teilen dann haben wir y = 10 dur 2 sind 5 und x dur 2 nicht vergessen sind ein hal2b X okay das habe ich jetzt mal dann
5:20 in der zweiten Zeile hier ersetzt und jetzt folgen wir unserem Plan dieses y hier einzuset also wir setzen die zweite Gleichung in
5:33 die erste ein und erhalten in der ersten haben wir hier vorne nur Teile mit X also schreiben wir das genauso ab wir wollen ja nur die y ersetzen und sobald
5:44 wir auf ein Y stoßen setzen wir eben das ein was wir hier in der zweiten Gleichung als y stehen haben also für das Y kommt 5- 1/ x rein nicht vergessen
5:57 dass das ganze Ding quadriert werden muss also schöne Klammer drumrum quadrieren und auf der rechten Seite steht die
6:04 25 seht ihr dass wir jetzt nur noch eine Gleichung haben in der nur noch x vorkommt und diese Gleichung müssen wir jetzt nur noch nach x auflösen und dann
6:14 haben wir die Seitenlänge von unserem kleinen Quadrat gefunden und können den Flächeninhalt ausrechnen also wir haben noch ein bisschen was zu tun aber wir
6:20 sind auf einem guten Weg das heißt um nach X umzustellen würden wir mal die klammern auflösen wir haben es hier mit der zweiten
6:30 binomischen Formel zu tun ich schreib die mal noch mal hier oben auf das wäre ja a - B in Klammern zum Quadrat ist nichts anderes als a² - 2 x A* B + b²
6:43 und das wenden wir jetzt an das heißt 5 zum Quadrat sind 25 - 2 x A* B also 2* 5* x sind 10 X + das X wird quadriert dann kommt hier das Plus und dasselbe
6:59 mit der zweiten Klammer 5 wird quadriert das sind 25 - 2 x A* B sind 2* 5 ich ma eine kurz Nebenrechnung mal die 1/b x die 2 und die zwe kürzen sich weg und 5x
7:15 ist das einzige was übrig bleibt und dann wird der hintere Teil noch quadriert also ein/b wird quadriert das sind eine viertel und das X wird
7:25 quadriert und auf der rechten Seite steht unsere kleine 25 alleine da okay Klammern sind schon mal weg jetzt könnten wir ein bisschen was
7:36 zusammenfassen wir starten mit den x²adraten hier 1 x² + 1 vi x²rat also 1 + 1/ vier müssten wir zusammenrechnen 1 ist ein einel also wenn wir das auf
7:52 Viertel erweitern müssen wir mal 4 rechnen das sind 4 und mal 4 rechnen das sind 4 4 vi + 1/ sind dann 5 vi insgesamt so viele haben wir von unseren
8:05 x Quadraten okay erster Teil erledigt dann die x die mache ich mal orange da haben wir einmal den Teil hier und den Teil
8:15 hier -10x -5 weitere x landen wir noch weiter im Negativen bei -15x und von den Zahlen 25 + 25 sind 50 und rechts haben wir 25
8:30 stehen wir haben es hier mit einer quadratischen Gleichung zu tun hier ist unser x²adrat drin Teil mit X und eine Zahl das ganze
8:38 können wir mit der pq Formel oder der ABC Formel lösen dazu muss aber auf einer Seite auf jeden Fall schon mal Null stehen das heißt die Zahl muss noch
8:47 rüber indem wir -25 rechnen dann steht rechts gewünscht die 0 und 50 - 25 muss dann aber noch durch 25 ersetzt werden okay wenn wir die pqformel aber anwenden
9:02 wollen müssen wir uns noch um eine Sache kümmern nämlich diese Zahl hier vorne dran die muss verschwinden also wir müssen die komplette Gleichung einmal
9:10 durch 5 vi4 Teilen bzw statt durch den Bruch multiplizieren wir mit dem Kehrwert also wir machen mal 45ün also die beiden hier einmal rumdrehen die
9:23 vier nach oben die fünf nach unten und das ziehen wir jetzt einfach mal durch wenn wir 5 mal 4 F rechnen kürzt sich das schön raus und nur x² bleibt stehen
9:34 15 x 45 lass uns das mal hier iner kleinen Nebenrechnung rechnen da können wir die 15 mit der 5 kürzen und es als Ergebnis erhalten wir 3 3 x 4 sind dann
9:45 12 und das X hinten dran und dasselbe mit der 25 wenn wir die 25 x 45 rechnen können wir auch schön hier kürzen 25 dur 5 S 5 und 5 x 4 sind dann 20 was da dann
10:01 noch übrig bleibt und rechts unsere 0 mal das ergibt Gott sei Dank 0 jetzt ist es vorbereitet um hier die pq Formel drauf zu hauen das habe ich jetzt noch
10:11 mal hier hin geschrieben wir schreiben die pq Formel noch einmal ab dass wir sie alle im Kopf haben da haben wir - P Hal +- Wurzel aus P halbe zum Quadrat -
10:25 Q was ist hier mein P was ist hier mein Q P ist immer die Zahl die vor dem X steht -1 in unserem Fall und q ist die Zahl die hinten alleine steht das ist
10:38 die 20 dann hauen wir das ganze hier einmal rein min P ist -12 das wird halbiert plus minus unter der Wurzel haben wir unser P ist immer
10:51 noch -12 was halbiert wird und dann das ganze schön einmal quadrieren und unser Q ist 20 okay wir rechnen aus Minus und Minus wird zu plus 12 dur 2
11:06 sind 6 was haben wir unter der Wurzel -12 dur 2 sind -6 die werden aber quadriert also kommt da 36 raus 36 - 20 da landen wir bei 16 und die Wurzel von
11:23 16 können wir jetzt direkt ziehen das sind ja vier und damit erhalten wir zwei Lösungen für x wir haben es bald geschafft eine erste Lösung ist 6 + 4
11:34 das sind 10 und eine zweite Lösung das sind 6- 4 also 2 zwei Lösung das ist jetzt ein bisschen unangenehm da müssen wir uns jetzt nämlich noch Gedanken
11:45 machen welche davon jetzt die richtige ist für unsere Seitenlänge von unserem Quadrat hier gucken wir erstmal die Zeh kann es
11:56 sein wenn die Seitenlänge von uns Quadrat 10 ist gucken wir uns das hier mal an das hier ist 10 wenn unser Quadrat hier drin liegen soll und hier
12:08 die Kreise von außen berühren soll so wie das hier gezeichnet ist kann x an sich nicht 10 sein denn sonst würde das ja von da bis da laufen also das hier
12:19 wäre die m Seitenlänge von dem Quadrat was dann hier hochlaufen würde hier hochlaufen würde und hier hochlaufen würde das wäre das Quadrat und das
12:27 berührt ja dann das ganze nicht so wie das hier in dem Bild zu sehen ist deswegen würde ich diese Lösung einklammern die zwei allerdings die
12:37 ergibt Sinn von den Zahlen die ist klein genug dass ich hier dazwischen dann liegen kann von daher haben wir unsere Seitenlänge gefunden wir sollten den
12:46 Flächeninhalt von unserem Quadrat ausrechnen das ist dann 2 x 2 also 4 und damit haben wir die Aufgabe gelöst ich bin gespannt wie ihr vorgegangen seid
12:56 schreibt eure Lösungswege gerne in die Kommentare st habt noch einen wunderschönen Tag und wir sehen uns beim nächsten Video macht's gut