Von der Dichtefunktion zur Verteilungsfunktion (stetige Zufallsgrößen)
Mathehoch13
https://www.youtube.com/watch?v=jyebYowzBy0

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hallo zu diesem weiteren video aus der serie über stetige zufalls größen in dem vorhergehenden video haben wir gelernt was eine dichte funktion ist und in
0:08 diesem video wollen wir erfahren was eine verteilungs funktion ist und wie man damit wahrscheinlichkeiten bestimmen kann
0:15 um das zu demonstrieren haben wir hier eine funktion der von ex gegeben mit der angabe dass dies eine wahrscheinlichkeit dichte auf dem intervall von minus 2 bis
0:24 2 ist für dieses video nehmen wir das jetzt als gegeben hin es gibt aber typische aufgaben wo man das nachweisen soll dass eine gegebene funktion auf
0:33 einem bestimmten intervall als wahrscheinlichkeit dichte fungieren kann was man dazu zeigen muss ist das auf den bezeichnet intervall von minus 2 bis 2
0:41 die funktions werte von f alle größer gleich null sein müssen und dass das bestimmte integral über das intervall 1 sein muss wenn du willst kannst du
0:53 diesen nachweis wir mal selber führen ok jetzt mal unsere dichte funktion und am ende wollen wir hier wahrscheinlichkeiten bestimmen die frage
1:01 ist wie kommen wir von der dichte funktion zu den wahrscheinlichkeiten und was wir dafür brauchen ist eine verteilungs funktion was im kontext
1:10 unserer stetigen verteilung nichts anderes ist als die integral funktion die als untere grenze die untere grenze des intervalls hat auf
1:22 dem motto stetige zufalls variable definiert ist das ist in diesem fall - 2 und als obere grenze setzen wir eine beliebige zahl nix ein wobei ich's aber
1:32 eine zahl aus unserem intervall sein muss damit nachher keiner konfusion beim einsetzen der variablen gibt darf ich jetzt unsere funktionäre von iks in f&e
1:42 um und leicht wird klar sein warum wir das so machen aber du solltest nachvollziehen können dass diese integral funktion doch den
1:51 inhalt der fläche unter dieser wahrscheinlichkeit dichte kurve ausgibt beginnend von der unteren grenze -2 bis zur oberen grenze klein ickx und diese
2:05 fläche entspricht doch der wahrscheinlichkeit groß dass unsere zufalls größe groß ist einen wert an nimmt zwischen der unteren
2:15 grenze - 2 und der oberen grenze kleine nix okay so viel zur theorie bestimmen wir jetzt mal große unsere verteilungs funktion für unsere dichte funktion
2:30 klein f das ist integral funktion von minus 2 bis 2 nix und jetzt schreibe ich hier in die integrierten funktionen statt klein xt einfach nur aus dem grund
2:41 dass wir irgendwo einsetzen können und wir am ende wieder eine funktion von iks haben jetzt müssen wir diese integrierten
2:50 funktionen auf leighton -3 32 bleibt im auf leighton erhalten aus c quadrat wird tee hoch drei dann müssen wir noch mal ein drittel rechnen also ich habe die
3:03 dritte hier in nenner da sehen wir schon dass sich diese drittel gegen diese dritte hier verkürzt und drei achtel auf geleitet ist 38 et
3:12 das ist unsere stamm funktion schreiben rechts hier an die eckige klammer wieder die grenzen dran und setzen jetzt ein wenn wir es für tee einsetzen kriegen
3:24 wir mit minus 132 63 +38 dann - klammer auf die untere grenze einsetzen - zwei hoch drei ist - 8 - achtmal - 132 ist 832 oder gekürzt ein viertel und dann -
3:47 zweimal 38 ist - 68 das gekürzt - drei viertel ein viertel - drei viertel sind - zwei viertel beziehungsweise - ein halb diese - ein halb stehen hier in der
4:01 klammer mit dem - davor nach auflösende klammer steht hier also plus ein halb so das ist jetzt unsere verteilungs funktion und mit dieser funktion können
4:11 wir wahrscheinlichkeiten auf intervallen berechnen aber bevor wir das machen wollen wir erst mal schauen was behind the scenes
4:18 sozusagen stattfindet dazu schauen wir uns erstmal den grafen unserer dichte funktion an und so sieht graf von kleinen f aus
4:26 wobei diese funktion wie wir gesagt haben nur zwischen minus 2 und 2 definiert ist und wenn wir unsere verteilungs funktion flotten dann sieht
4:35 gross es so aus natürlich ebenfalls über diesen definitions bereich von minus 2 bis 2 und jetzt können wir uns anschauen wie wird die verteilungs funktionen zur
4:46 wahrscheinlichkeitsberechnungen verwenden können erstmal sehen wir dass unsere verteilungs funktion auf unserem intervall von -2 bis zwei monaten
4:54 wachsend ist und dass der funktions wird an der linken intervall grenze 0 ist und an der rechten intervall grenze 1 das muss ja auch so sein denn groß es gibt
5:04 ja den flächen inhalt wieder in unsere dichte funktion klein f ab der linken grenze -2 bis zu einer variablen oberen grenze einschließt nehmen wir zum
5:15 beispiel diese intervalle wahrscheinlichkeit von minus 2 bis minus 1 dann liefert unsere verteilungs funktion groß auf diese flächen inhalt
5:24 direkt als funktions wert oder nehmen wir die wahrscheinlichkeit für große zwischen minus 2 und 1 dann können die flächen inhalt beziehungsweise
5:33 wahrscheinlichkeit direkt hier als funktionsfähig ablesen aber nehmen wir an wir möchten jetzt eine intervall wahrscheinlichkeit
5:41 berechnen die nicht am unteren intervall ende beginnt hier zum beispiel das sind dabei von -1 bis 05 wird mir gesagt dass unsere verteilungs funktion immer nur
5:52 die fläche sozusagen von links kommend betrachtet daher müssen wir uns wenn wir solche intervall wahrscheinlichkeiten haben eines kleinen tricks bedienen wir
6:02 nehmen einmal die gesamte fläche von der untersten grenze bis hierzu 05 dieser flächen inhalt beziehungsweise wahrscheinlichkeit von minus 2 bis 0 5
6:12 wird durch diesen funktions wert also groß 11 05 ausgegeben aber diese fläche ist ja zu viel und zwar um diesen flächenanteil zuviel den
6:23 wir mit großer von -1 berechnen können und folglich können wir diese intervalle wahrscheinlichkeit p von -1 kleiner iks kleiner 05 berechnen in dem wir großes
6:36 von der oberen - große von der unteren grenze rechnen übrigens ist es doch ganz egal ob er hier kleiner oder kleiner gleich
6:47 schreiben weil eine einzel wahrscheinlichkeit ist ja immer 0 das kann man sich klar machen dass im prinzip ein senkrechter strich ja keine
6:56 flächenausdehnung hat bzw wir würden über diese berechnungsart jetzt zweimal denselben wert von einander subtrahieren was er null
7:05 ergeben würde also können wir hier oben schon die frage beantworten die wahrscheinlichkeit für iks gleich eins ist natürlich 0 zum
7:15 abschluss vorweisen auch die wahrscheinlichkeit berechnet das ixs werte zwischen 0 5 und 0 8 annimmt dazu rechnen wir ja verteilungs
7:24 funktion an der oberen grenze 08 - verteilungs funktion an der unteren grenze brok am 5 wobei große phoenix war ja
7:37 dass hier und wenn wir 0,8 bzw 0 54 einsätzen kriegen wir näherungsweise 0 1 0 0 raus also die wahrscheinlichkeit von 10
7:46 prozent bei diesem beispiel hier war es nicht schwer für unsere dichte funktion eine entsprechende verteidigungs funktion durch integration zu bestimmen
7:57 es gibt aber auch fälle da lässt sich für die dichte funktion war keine stamm funktion beschreiben in solchen fällen müsste man diese integration dann mit
8:07 numerischen ehrungs verfahren durchführen und dann konnte man zum beispiel solche tabellen werke anlegen wo die verteilungs funktionsweise gegen
8:16 ex aufgetragen waren und wenn man jetzt zum beispiel diese intervall wahrscheinlichkeit berechnen wollte hätte man die entsprechenden werte aus
8:24 der tabelle abgelesen und so die wahrscheinlichkeit aus der verteilung funktion ermittelt wenn dir das video geholfen hat dann
8:30 gibt dem video bitte einen daumen und hoch ich hoffe dass jetzt klar geworden ist dass unsere verteilungs funktion ob es gibt nichts anderes ist als die
8:38 integral funktion zu einer unteren grenze das ist im prinzip die alten methoden anwenden kannst dir früher schon gelernt hat ist vorsichtig
8:47 geschehen abonnieren auf main kanal und klick auf die glocke wird auch in zukunft keine videos mehr verpasst der macht doch 13 ist der kanal der sich bis
8:54 zum abitur begleitet nicht die helfen konnte weil der rauch bitte meine videos wird dann mit schülern und lehrer freuen was von dir zu hören man damit einen
9:03 kommentare auch auf der website von matt auch 13 vorbei dort gibt es alle videos ordentlich nach themen sortiert und besuche ich mal auch
9:11 instagram und co es folgen noch dort ansonsten viel spaß eine folkband wir sehen uns beim nächsten video bis dahin tschüss