Löse die Gleichung OHNE Taschenrechner! – Exponentialgleichungen
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=j-3JlN-a8JE

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hallo ihr Lieben heute habe ich euch diese Gleichung mitgebracht die wir ohne Taschenrechner lösen sollen ich möchte euch in diesem Video zwei verschiedene
0:08 Wege zeigen wie wir hier ranhen können einen Weg ohne den Logarithmus und einen Weg mit dem Logarithmus wieso überhaupt Logarithmus na ja wenn wir uns unsere
0:18 Gleichung mal anschauen da sehen wir dass das X im Exponenten hier drin steckt wir haben hier hoch x stehen und da braucht man normalerweise den
0:27 Logarithmus um dieses x da rauszub kommen aber ich habe euch ja gesagt es gibt auch einen Weg ohne den Logarithmus und den schauen wir uns jetzt mal
0:34 gemeinsam an das geht aber nur wenn die Gleichung so schön aufgebaut ist wie hier in diesem Fall z.B dass die Basis dieses fünf hoch etwas auf der anderen
0:46 Seite im Grunde auch noch mal vorkommt noch nicht so ganz wie es hier steht aber in der 25 steckt die fünf jah drin und das ist mal das erste was wir machen
0:56 dass wir die 25 so umschreiben dass wir das besser sehen dass da eine fünf drin steckt also die linke Seite die lassen wir mal so stehen die passt soweit aber
1:05 rechts schreiben wir diese 25 so um in 5 hoch 2 und da sehen wir dann schön aha da ist eine F als Basis da ist eine F als Basis das eignet sich sehr gut dass
1:18 man das vielleicht miteinander vergleicht aber noch nicht so wie das hier steht weil hier steht ja ein Bruch noch können wir beide Seiten nicht gut
1:25 vergleichen den Bruch müssen wir irgendwie umschreiben und auch das kriegen wir hin die linke Seite lassen wir so stehen aber so einen Bruch kann
1:34 man umschreiben so 1 geeilt durch eine Potenz indem man die Hochzahl einfach negativ macht also wir schreiben 5 hoch und jetzt schreiben wir nicht 2 sondern
1:46 -2 hin das ist genau dasselbe nur eine andere Schreibweise also wenn ihr negative Hochzahlen habt sowas wie x hoch -7 dann ist es einfach nur eine
1:55 andere Art einen Bruch aufzuschreiben ein 1 durch steht immer eins durch und dann steht da wieder diese Potenz hier aber statt der negativen Hochzahl macht
2:06 man dann eine positive Hochzahl draus und genau das haben wir hier genutzt und jetzt können wir beide Seiten nämlich super vergleichen denn auf der linken
2:14 Seite steht die fün als Basis und auch rechts steht die fünf als Basis wenn beide Seiten gleich sein sollen dann müssen die Exponenten gleich sein damit
2:23 diese beiden Seiten überhaupt gleich sein können das heißt wenn wir die mal vergleichen muss 1- x genau dasselbe sein wie die -2 auf der anderen Seite
2:34 nur so können beide Seiten gleich sein und das ist eine neue Gleichung die ist süß die können wir lösen nach X indem wir die ein hier vielleicht nach rechts
2:43 bringen mit -1 dann steht hier - x darf man nicht vergessen das Minus -2 -1 sind -3 und damit das X alleine steht muss das Minus noch weg wir multiplizieren
2:55 also einmal mit -1 durch dann verschwindet das Minus und auf der anderen Seite -3 mal -1 sind 3 und wir haben unsere Lösung gefunden von unserer
3:05 Gleichung ohne den Logarithmus aber auch mit Logarithmus funktioniert das Ganze aber auch ohne Taschenrechner müssen wir dran denken dass wir hier nichts
3:15 berechnen dürfen ja wie sieht's aus Logarithmus knallen wir den einfach mal drauf bzw machen uns noch kurz Gedanken zu welcher Basis wir den denn anwenden
3:25 dadurch dass wir keinen Taschenrechner benutzen dürfen würde ich die Basis nehmen die hier auch vorkommt nämlich die Basis 5 dann sind die Berechnungen
3:34 nämlich deutlich einfacher das heißt auf der linken Seite wenden wir den Logarithmus zur Basis 5 an von allem was auf der linken Seite eben stand das
3:44 Schreiben wir einfach ab und auch rechts wenden wir den Logarithmus zur Basis 5 an von allem was da eben stand und dann geht's rein in die logaritmusgesetze
3:54 denn wir müssen jetzt schauen wie kriegen wir das ganze jetzt hier umgeformt dass wir hier nicht viel berechnen müssen
4:00 diesen Exponenten dürfen wir aus dem Logarithmus rausziehen das sagt ein logarithmusgesetz und das wenden wir hier jetzt an also die 1- X kommt raus
4:11 und dadurch dass das jetzt hier multipliziert wird gleich müssen wir hier eine Klammer drum rummachchen weil hier eine Differenz ist aber danach
4:18 kommt dann der Rest also der Logarithmus zur Basis 5 von dem was hier noch übrig ist nur von der 5 auf der rechten Seite da sind nur Zahl das könnte man jetzt
4:31 eigentlich mit dem Taschenrechner ohne Probleme ausrechnen aber wir dürfen nicht deswegen würde ich sagen wir formen mal das im Logarithmus genauso um
4:40 wie eben auch also dass der Logarithmus zur Basis 5 da steht und diese 15 Formen wir so um dass die 5 auch als Basis zu sehen ist das hatten wir im ersten Weg
4:50 gesehen dass das nichts anderes ist als 5 hoch-2 denn es ist immer gut wenn die Basis und die Basis im Logarithmus über stimmen das sehen wir gleich bzw das
5:02 sehen wir auch schon an dieser Stelle hier denn das Ergebnis hiervon ist einfach 1 also wenn die Basis hier gleich ist mit dem was hier drin steht
5:12 dann kommt da ein raus und von daher steht hier einfach nur mal 1 was man weglassen kann und da steht dann also auf der linken Seite nur 1- X auf der
5:22 rechten Seite da haben wir ja noch dieses Hoch -2 hier das ziehen wir aber vor den Logarithmus so wie eben auch also die -2 kommt vorne dran und hinten
5:32 dran kommt dann der Rest der kann uns jetzt aber nicht mehr schocken denn das ist genau das was wir hier schon hatten da wissen wir das ist 1 also mal 1 steht
5:42 hier und dann können wir das mal 1 auch weglassen erkennt ihr diese Gleichung kommt ihr euch bekannt vor die haben wir eben schon gesehen die haben wir dann so
5:49 gelöst dass letztendlich x = 3 rauskam und damit haben wir auch den zweiten Weg erfolgreich geschafft ihr könnt ja gerne mal in die Kommentare schreiben welcher
5:58 Weg euch besser gefallen en hat habt ansonsten noch einen wunderschönen Tag und wir sehen uns beim nächsten Video macht's gut