Graphen auf Krümmung untersuchen | Fundamente der Mathematik | Erklärvideo
Cornelsen Verlag
https://www.youtube.com/watch?v=ij1keCVqHIE

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 In diesem Film lernst du, wie du den Graphen einer Funktion auf sein Krümmungsverhalten untersuchst. Untersuche die Funktion f mithilfe der 2. Ableitung auf ihr Krümmungsverhalten.
0:14 Bestimme zunächst die ersten beiden Ableitungen. f'(x) ist gleich 3x²–6x. f''(x) ist gleich 6x–6.
0:25 Zur Untersuchung der Krümmung benötigst du die Nullstellen der 2. Ableitung. Die einzige Nullstelle von f'' ist x=1.
0:34 Die Nullstellen von f'' teilen den Definitionsbereich von f in Krümmungsintervalle. Es gibt immer ein Krümmungsintervall mehr als Nullstellen, bei einer Nullstelle also zwei Intervalle.
0:46 Zum 1. Intervall gehören alle x-Werte kleiner als 1 und zum 2. Intervall gehören alle x-Werte größer als 1.
0:54 Wähle aus dem ersten Intervall einen beliebigen Wert, zum Beispiel 0, denn 0 ist kleiner als 1. Setze ihn in f'' ein. f''(0) ist gleich 6·0–6, also –6.
1:09 –6 ist kleiner als 0. Wenn der mit f'' berechnete Wert kleiner als 0 ist, dann ist der Graph von f im betrachteten Bereich rechtsgekrümmt.
1:20 Der genaue Funktionswert hat übrigens keine Bedeutung. Nur das Vorzeichen ist wichtig. Merke: „kleiner als 0“ gleich „rechtsgekrümmt“. Betrachte das zweite Krümmungsintervall.
1:32 Ein x-Wert aus diesem Intervall ist zum Beispiel die 4. Setze 4 in f'' ein. f''(4) ist gleich 6·4–6, also 18.
1:46 18 ist größer als 0. Wenn der mit f'' berechnete Wert größer als 0 ist, dann ist der Graph von f im betrachteten Bereich linksgekrümmt.
1:55 Merke: „größer als 0“ gleich „linksgekrümmt“.