Logarithmusfunktion, ln(x) - Eigenschaften: Verschiebung, Streckung, Spiegelung
Kochrezepte für Mathematik
https://www.youtube.com/watch?v=hmg9eibgTfE

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 in diesem tutorial werden wir uns die wichtigsten eigenschaften der natürlichen logarithmisch funktion anschauen
0:06 dabei stellt sich natürlich die frage welche diese eigenschaften eigentlich wichtig sind na ja in erster reihe natürlich definitionen und werte bereich
0:14 sowie ein paar besondere werte dann das verhalten endlichen und natürlich nicht zu vernachlässigenden verschiebung strecken und spiegelung
0:24 wir werden an dieser stelle anfang mit dem eigenschaften die sehr einfach anhand des schauspielers der lrx funktion erkennbar sind und deshalb
0:34 schauen wir uns diesen schaubild das rechts abgebildet ist ein bisschen näher an in erster reihe hinter sehen wir uns wie bereits erwähnt für den definitions
0:41 bereich das heißt übersetzt welche iks werte kommen überhaupt für die elle nix funktion in frage ich denke mir am schaubild ganz gut erkennbar dass nur
0:51 die positive iks wird in frage kommen also null und negative zahlen darf man für iks in dieser funktion nicht einsetzen das ganze kann man zum
1:01 beispiel so darstellen de ist gleich er plus das bedeutet alle ringzahlen die positiv sind oder alternativ wenn es euch lieber ist könnt ihr das ganze auch
1:10 in the wall schreibweise scheiben und zwar von null bis plus unendlich als nächstes der wertebereich wertebereich heißt übersetzt welche y werte kann
1:20 diese funktion annehmen und ich glaube das erkennen wir auch ein schaubild ganz gut das hängt ganz unten an also bei - unendlich und auf sich
1:30 sehr langsam steigt auf der rechten seite wird sie dann irgendwann gegen plus um endlich ihren das bedeutet der wert der bereich hat keine
1:37 einschränkungen und ist er das würde alle möglicher werte von minus bis plus männlich außerdem gibt es zwei besondere werte
1:47 die diese logik muss funktion annehmen kann die an diesem schaubild ganz guter kämpfer sind in erster reihe können wir gut erkennen was die logos funktion an
1:58 der stelle einst für ein werte annimmt und zwar 0 deshalb ist gut zu merken denn eins ist immer nur zweitens gibt es noch eine weitere besondere stelle und
2:08 zwar zur erinnerung war ungefähr 27 1 deshalb habe ich auch an dieser stelle eingetragen und die passende y koordinaten an dieser stelle ist 1
2:20 deshalb werde die zweite besondere wert ist gleich 1 was man an dieser stelle ebenfalls ganz gut hier am schaubild ablesen kann ist
2:31 natürlich das verhalten endlichen fangen wir mit der einfachen richtung an und zwar wir schauen nach rechts also fix gegen plus unendlich und ich habe
2:40 bereits erwähnt dass diese funktion sehr langsam steigt allerdings wird sie irgendwann mal das plus ländliche reichen deshalb gilt in dieser richtung
2:48 das iphone ist natürlich gegen plus unendlich läuft nach links sieht das nicht so einfach aus und zwar gegen - und endlich können wir es gar nicht
2:57 laufen lassen können dafür ist unser definitions bereich aber wie ihr können die kurve beim annäherung gegen null betrachten das ganze scheint man dann so
3:07 für iks gegen null plus dieses pluszeichen hinter den null weist nun darauf hin dass wir uns vorne rechts aus an die y-achse nähern und ihr könnt ganz
3:18 gut erkennen dass die funktion ganz stark nach unten zieht also erfolgs läuft in diesem fall gegen - endlich die restlichen eigenschaften damit meine
3:28 ich natürlich verschiebung streckung spiegelung wenn wir uns zuerst anhand von verschiedenen schaubildern funktions stämme anschauen weil ich der meinung
3:36 bin so sind sie am einfachsten nachvollziehbar im anschluss gibt es dann eine zusammenfassung wo diese eigenschaften anhand eines allgemeinen
3:45 funktion stamps dargestellt werden wir eindeutig erkennen könnt fangen wir an mit der verschiebung y richtung oder auf der y-achse dafür orientieren wir
3:57 uns wieder eine schaubilder lmx funktion also unser anfangs funktionsteam lautete von access gleich nx und als erstes verschieben wir diese funktion um eine
4:08 einheit nach oben entsprechend wird der neue funktion sticks +1 heißen wenn wir alternativ die anfangs funktion um eine einheit nach unten verschieben
4:21 betrachtet biete an dieser stelle die rote kurve dann wird unser funktionsteam natürlich nx -1 heißen fast genauso entspannt verläuft das
4:34 ganze auch für die verschiebung in iks richtung also wir orientieren uns wieder an unser grüne kurve ln von iks und wir möchten jetzt diese funktion
4:43 beispielsweise um eine einheit nach rechts verschieben dh die blaue kurve hier sprechen lautet das funktionsteam ln von klammer auf x1 klammer zu
4:56 oder wenn wir sie alternativ weisen um eine einheit nach links verschieben wollen die rote kurve also dann lautet unser funktions tmn klammer auf iks +1
5:08 klammer zu wie ihr wahrscheinlich erkennen können taucht hier eine besonderheit auf die natürlich für alle funktionspuppen gilt
5:16 und zwar wenn vor der einst ein minuszeichen steht dann verschieben wir in die positive richtung um wenn vor der einst ein pluszeichen steht dann
5:27 verschiebt man in die negative richtung wieso das überhaupt der fall ist werden wir dann am ende bei der zusammenfassung sehen
5:35 als nächste eigenschaft betrachten wir die streckung in y richtung dabei legen wir wieder los mit der anfangs funktionellen von iks und die wollen wir
5:45 beispielsweise mit faktor 2 in y richtung strecken das neue schaubild wird wie die blaue kurve aussehen und es passt dem funktionsteam dazu lautet von
5:57 iks ist gleich zweimal nx kurz gesagt jede funktions wert was wir ursprünglich hatten hat sich verdoppelt durch diese multiplikation mit dem faktor 2
6:09 alternativ können wir natürlich auch das ganze halbieren indem wir einfach die ln funktion mit dem faktor 1 halb multiplizieren
6:18 zur erinnerung wenn der stecken faktor zwischen 0 und 1 liegt nennt man das auch noch stauchung und weil es an dieser stelle wunderbar
6:27 zusammen passt betrachten wir hier auch noch die spiegelung an der x-achse also anfang darum gehe natürlich wieder mit der der nix funktionen und wenn wir
6:37 diese funktion an der x-achse spiegeln wollen dann wird sie erst mal bildlich wie rechts abgebildet mit blau aussehen und das passende funktionsteams sie dann
6:47 so aus fmx ist gleich - allen von iks an dieser stelle wollen wir für ein paar augenblicke die gemütliche abi zone verlassen und kurz über den tellerrand
7:00 schauen die strecke nix richtung bei den funktionen kann gegebenenfalls eine interessante ress ante sache sein und deshalb werde ich euch das an dieser
7:09 stelle nicht verheimlichen also wir fangen wieder an mit der normalen allen iks funktion und eine mögliche streckung innig
7:18 sichtung könnte wie die blaue kurve aussehen und ein passender funktionsteam dazu lautet dann ln von 2x allerdings ist der strecken faktor an
7:30 dieser stelle nicht diese zwei vor dem ixs sondern der care wert dieser zahl also ein halb in diesem fall und das ist eine eigenschaft
7:40 an dem ich hoffe dass ihr euch noch erinnern von trigonometrische oder exponential funktionen da sieht man es auch öfters in diesem zusammenhang und
7:50 die später bei der zusammenfassung noch mal ein bisschen näher erläutern werde allerdings würde ich gar nicht auf diese sache angehen an dieser stelle ist
7:59 sondern auch was anderes anhand von loga rhytmus regel kann man diese funktion auch zerlegen zur erinnerung man kann jedem produkt in einer logarithmischen
8:09 eine summe von logarithmen zerlegen sowie hier also aus ln von 2x wird dann allen 2% nix um wenn wir diese allen zweifels als das was sie ist eigentlich
8:22 betrachten hast eine dezimalzahlen dies ungefähr 0,7 dann werde das eigentlich die verschiebung um 0,7 einheiten y richtung also aus einer strecken wurde
8:35 eine verschiebung ja das kann man leider nicht immer so auf diese weise pfarrgemeinden weil es gibt natürlich auch komplexere
8:43 funktionen stämme wo diese verschiebung dann mit den anderen faktor multipliziert führt und so weiter allerdings das ist eine interessante
8:50 sache wenn man ein bisschen darüber nachdenken möchte die letzte eigenschaft die wir an dieser stelle noch betrachtet und zwar die
8:58 spiegelung an der y-achse ist deutlich leichter nachvollziehbar für den anfang orientieren wir uns natürlich wieder an ln von iks und wenn wir das ganze auf
9:08 der rechten seite jetzt an der y-achse spiegeln dann sieht die gespiegelte funktion sowie die blaue kurve aus und einen passenden funktionsstellen lautet
9:17 natürlich dann ln von minus 6 und auch wenn das billig sehr gut machbar ist muss die trotzdem noch auf eine sache achten wie wir ganz am anfang
9:29 dieses tutorials gesehen haben ist der lernfunktion definierten bereich 0 bis unendlich also dass es wäre unser definitions bereich damit die
9:39 gespiegelte funktion existiert müsste sie natürlich ein anderer definitions bereich annehmen und zwar von - und pistole also es ist möglich aber achtet
9:49 darauf ihr muss dann auch sozusagen ein neuer definitions bereich festlegen um zum schluss wie versprochen eine kleine zusammenfassung indem wir die
9:59 verschiebung strecken spiegelungen auch von allgemeinem funktionsteam beziehen der wird dann so wie folgt aussehen wobei dieser punkt im buchstaben a b c
10:09 und d genau für die eigenschaften stehen die wir gerade besprochen haben und wir fangen natürlich in der gleichen reihenfolge wie vorher besprochen das
10:18 heißt zuerst dass die hinten und das ist die verschiebungen y richtung um de einheiten also ich könnte dann sagen wenn zb hinter der funktion
10:27 +2 steht dass die funktion um zwei einheiten in y richtung nach oben verschoben wird außerdem gab es noch die verschiebung in
10:37 richtung und zwar um zwei einheiten hier muss dir nur auf dieses vorzeichen hier was standardmäßigen der formel gibt weil er verfälschten bisschen die zahl
10:50 mit dem man verschiebt das heißt solange ich hier vorne ein minuszeichen habt bedeutet dieses minus zeichen dass hier nach rechts verschiebt oder in der
11:00 positive nix richtung um wenn hier ein pluszeichen steht beim zusammenfasse mit dem c wert dann verschiebt hier nach links also in negatives richtung
11:13 außerdem gibt es hier noch das a das ist die streckung in y richtung mit dem faktor betrag von a die betrag stiche an dieser stelle weisen darauf hin dass
11:24 dieser strecken faktor immer positiv ist das bedeutet egal ob wollen jetzt eine zwei- oder einem minus 2 steht der streck und faktor ist immer noch 2 und
11:35 wenn da mal im minus zeichen vorhanden ist also wenn dieses eine negative zahl ist dann ist die funktion an der x-achse gespiegelt und
11:45 die reste eigenschaft die vielleicht bei dem einen oder anderen vorher ein bisschen kopfschütteln verursacht hat heißt offiziell und kurz gefasst
11:55 streckung images richtung mit dem faktor 1 durch betrag von b also auch hier nehmen wir nur die positive zahl im kelbert und wenn da mal minuszeichen
12:05 vorkommen sollte bedeutet dass indirekt natürlich wieder eine spiegelung an der y achse zum schluss noch ein paar hinweise die
12:14 in verbindungen mit der lernfunktion weiterhelfen könnten natürlich für dia lernfunktion hauptsächlich dafür benutze exponential gleichungen zu lösen
12:23 allerdings auch das verhalten endlichen bzw bestimmung von grenzwerte ist von großer bedeutung und er muss außerdem der lage sein die
12:32 alle in funktion abzuleiten oder die logarithmische integration zu verwenden beziehungsweise stamm funktion zu bilden mit hilfe der lernfunktion wenn bedarf
12:41 tutorials so alle diese themen findet ihr gleich im abspann und wenn euch dieses video geholfen hat vergisst nicht ein like ein netter
12:51 kommentar oder sogar ein abo kostet nichts