Faires Spiel, Zufallsgröße, Erwartungswert | Stochastik | Mathe by Daniel Jung
Mathe by Daniel Jung
https://www.youtube.com/watch?v=h6oLhYTGCs0

Transkript (automatisch erstellt)

0:03 Also das Bestimmen von einer Zufallsgröße. Ich habe als Beispiel ein Glücksspiel genommen. Gut und gerne werden natürlich auch mal
0:10 Produktionskosten genommen oder Erlöse Gesamteinnahmen. Jetzt erstmal als Beispiel für den Leitfaden. Das
0:19 Wichtigste ist eigentlich aus dem Text, der gegeben ist, aus der Aufgabenstellung auf die Tabelle zu kommen mit den komischen Xi P von XI und
0:27 daraus dann diese Formel zu interpretieren. Kann man aber relativ schnell abhaken, wie ich diese Formel, wenn ich die Tabelle einmal habe,
0:37 schnell in die Tat umsetzen kann. Also als Beispiel haben wir hier ein Glücksrad. Das soll ein Glücksrad sein, was man dreht. Wir haben die ein und die
0:44 2 als Zahlen, die vorkommen können. Euer Einsatz soll 5 € sein, den ihr bezahlen müsst. Die 5 € sind also weg und es wird gesagt, wenn eine ein auftritt, bekommt
0:53 ihr 20 € ausgezahlt. Wenn eine 2 auftritt, bekommt ihr 3 € ausgezahlt. In erster Linie müsste man sich sagen, 5 € Einsatz. Achtung, bei 3 € Auszahlung
1:04 wären ja 2 € weg, weil ihr ja 5 € gezahlt habt und nur 3 rauskriegt. Also nicht so gut, aber verlockend sind natürlich die 20 € Auszahlung, wenn die
1:12 eins kommt, auch wenn das Feld etwas kleiner ist. Im Text jetzt die Frage, wie ist der zu erwartende Gewinn? erwarteter Gewinn Fragezeichen. Also
1:20 hier steckt das Wort, das Schlagwort, was ihr ummünzen müsst, in die Bezeichnung der Zufallsgröße, nämlich x doppelpunkt soll also der Gewinn in Euro
1:29 sein oder x sei der Gewinn in Euro. Festgelegt die Zufallsgröße, die Tabellenform immer gleich oben X I. I steht ja nichts für nichts anderes als i
1:40 = 1 der erste Wert, i = 2 der zweite Wert. Wie lange die Tabelle auch immer ist, hier wissen wir, wir haben zwei mögliche Gewinne. Nämlich 5 € habe ich
1:48 eingezahlt, 20 € bekomme ich bei einer, also kriege ich 15 € Gewinn. Im Endeffekt gut geschrieben, denn ich musste ja 5 € zahlen. Es geht ja um den
1:58 Gewinn. Es geht nicht um wie ist die zu erwartende Auszahlung, sondern wie ist der zu erwartende Gewinn. Wenn ich 3 € ausbezahlt bekomme, dann habe ich ja
2:08 vorher 5 € gezahlt und habe deshalb -2 € Gewinn. in Anführungsstrichen gewinnen, denn es ist ja negativ. Da sagt man sich natürlich, ist ja kein Gewinn, aber es
2:17 wäre ein negativer Gewinn, weil ja die Zufallsgröße X der Gewinn in Euro ist. Wir können also positiven und negativen Gewinn haben. Unten X = Xi steht für
2:28 nichts anderes als für P von die Wahrscheinlichkeit für den ersten Wert, für den zweiten Wert etc. etc. unten also die
2:36 Wahrscheinlichkeiten, am besten in Dezimalzahlen oder Brüchen, damit ihr hinterher beim Rechner uncheinander kommt. Man könnte sicherlich sagen, die
2:43 1 bedeckt 25% von der ganzen Fläche ist ein Viertel, nicht 25% hinschreiben, sondern am besten ein oder 0,25. Die 2 bedeckt 3/4 oder 75%, also 0,75
2:57 für den Wert -2 € Gewinn. Wir haben die Tabelle aufgeschrieben. Alles ab jetzt ist eigentlich in Kinderspielchen, denn diese würre Formel
3:09 hier, die ja nichts anderes heißt, dieses Zeichen ist ja ein Summenzeichen und heißt nichts anderes als das, was hier steht. Dieses Xi, also I = 1 erster
3:20 Wert mal p von x = x erster Wert wäre das mal das, also die ersten beiden multipliziert. Summenzeichen heißt bis n, also bis irgendwann addiere ich dann
3:30 einfach diese Multiplikationen auf. Also das mal das plus das mal das plus wie lange auch immer die Tabelle sein mag. Ich hätte sie ja noch weiter unterteilen
3:40 können. Also, um an den Erwartungswert zu kommen, übersetzt ganz einfach immer die entsprechenden Werte oben und unten multiplizieren oder wenn ihr die Tabelle
3:50 eventuell untereinander geschrieben habt, dann links und rechts. Ich finde so ein bisschen übersichtlicher. Also kommen wir auf den Erwartungswert, den
3:58 zu erwartenden Gewinn. In diesem Falle 0,25* 15 x erster Wert mal die Wahrscheinlichkeit
4:08 umgedreht, aber ist ja egal. Plus wegen wir müssen aufsummieren 0,75 x -2 mehr haben wir nicht kommt raus 2,25 das wäre dann
4:20 mein zu erwartener Gewinn, wenn ich dieses Spiel immer und immer wieder spielen würde. Könnte natürlich sagen jetzt vom Verständnis her wieder, was
4:26 ist, wenn ich jetzt zeh mal hintereinander 20 € ähm ausbezahlt bekomme und deshalb immer wieder 15 € Gewinn hab. Da könnt ihr ja noch mal ein
4:35 bisschen tiefer drüber nachdenken. Das ist das Gesetz einfach in der Wahrscheinlichkeit, wenn ich es endlos lange machen würde, irgendwann hält es
4:42 sich die Wagschal und wir kommen langfristig auf einen zu erwartenen Gewinn von 2,25 €. Was für uns aber positiv ist, denn wenn ich das Spiel auf
4:50 Dauer mache, auch wenn ich vielleicht mal ab und zu negativen Gewinn habe, werde ich auf Dauer auf jeden Fall Geld gewinnen. Das Spiel ist also nicht fair
4:57 aus unserer Sicht vielleicht schon, aber nicht für den Spieler. Und deshalb hier eine ganz wichtige Vokabel. Ein Spiel ist nur fair, wenn der Erwartungswert
5:05 gleich null ist. Das wird wichtig sein, wenn ich die Aufgabe so abändere und etwas schwieriger mache und sage, wandeln Sie das Spiel so ab, dass das
5:14 Spiel fair ist. Wo auch immer, es kann ein bisschen besser definiert sein. Z.B. wandeln Sie die Auszahlung für 1 so ab, dass das Spiel fair ist. Darauf gehe ich
5:25 dann in den nächsten Videos ein.