Potenzfunktionen - Überblick | MatheMind
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Transkript (automatisch erstellt)

0:00 In diesem Video gibt's eine Übersicht zu Potenzfunktion. Wir schauen uns an, was sie sind, wie sie aussehen und welche Eigenschaften sie haben. Viel Spaß.
0:11 Potenzfunktionen haben immer diese Form hier. f(x) = a* x hoch n. A ist dabei einfach ein Vorfaktor, also irgendeine Zahl, die als Faktor davor steht. -2,
0:20 -5, 2 oder auch 2,5. Da kann alles eingesetzt werden. Das x, na, das bleibt so stehen, das kennt ihr von Funktion. Und das n ist eine ganze Zahl, also kann
0:29 1 2 3 4 5 und so weiter sein, kann aber auch -1, -2, -3 und so weiter sein. Potenzfunktion kennt ihr auch schon als lineare Funktion, das hier, oder als
0:38 quadratische Funktion, das kennt ihr auch. Was aber neu ist, ist, dass es auch so hier stehen kann. -2 x hoch 5, das hoch 5, das hat ihr wahrscheinlich
0:46 noch nicht. Es ist aber auch ganz einfach. Warum heißt eine Potenzfunktion Potenzfunktion? Weil wir hier eine Funktion mit einer Potenz haben, dass x
0:54 wird mit irgendeiner Zahl hochgenommen und dieses ganze Gebilde x wird mit der Zahl hochgenommen, das nennt man immer Potenz oder ganz allgemein eine Zahl
1:01 wird mit der anderen Zahl hochgenommen, das ist dann eine Potenz und ihr kennt auch schon ein paar Potenzfunktionen. 3 x ist eine, also eine lineare Funktion
1:08 -x² wäre eine. Kennt ihr auch als quadratische Funktion, aber das ist jetzt wahrscheinlich neu für euch. -2* x hoch 5 ist auch eine Potenzfunktion.
1:16 Also hier oben stehen jetzt andere Zahlen als nur eine zwei. Oder Moment, jetzt denkt ihr euch wahrscheinlich, warum ist das denn eine Potenzfunktion?
1:23 Hier steht ja gar nicht x hoch irgendwas. Man kann 3 x x, also wenn einfach nur ein x da steht, kann man das auch schreiben als 3 x x hoch 1. Und
1:30 dann sieht das wieder genauso aus und ist eben eine Potenzfunktion. Zuerst schauen wir uns jetzt Potenzfunktion an, die einen geraden Exponenten haben. Ich
1:38 mache das jetzt mal am Beispiel von x hoch 2 und x hoch 4 bzw. Also - x hoch2 und - x hoch 4. Das geht dann ganz ähnlich für x hoch 6, x hoch 8, x hoch
1:47 10 und immer so weiter. Wie sieht x hoch2 aus? Das wisst ihr alle. Das hat eine Parabelform. Ich zeichne das jetzt noch so ungefähr. Ihr könnt das bei euch
1:57 natürlich im Heftern schöner machen. Wie sieht denn -x hoch 2 aus? Zeichne ich jetzt mal in grün ein. So wie x hoch 2, also auch Parabelform, nur einmal an der
2:06 X-Achse gespiegelt, also so auf den Kopf gedreht. So sieht das Ganze aus. Okay, jetzt zeichnen wir mal X hoch 4 und dann gucken wir, was die beiden ähnlich
2:14 haben. X hoch 4 könnt ihr auch mal bei euch im Taschenrechner zeichnen lassen. Ist ganz ähnlich wie X hoch 2. Ist auch so eine Parabelform, ist nur
2:21 gestreckter, also geht schneller nach oben und ist dann hier unten flacher. Sieht also mehr wie so ein U aus, als das nach einem U aussieht. Also
2:31 ein bisschen mehr so. Ja, man sieht's ja ganz gut, wie es eben aussieht. - XO 4, genau das gleiche wie hier auch. Das ganze dann nach unten geöffnet, aber
2:38 auch hier sehr steil. Hier wird's dann sehr flach und hier wird's dann nach unten hin wieder steil. X hoch 6 wä dann noch steiler und unten noch flacher. X
2:47 hoch8 entsprechend noch so weiter und so weiter. Die zeichne ich jetzt alle nicht. Wichtig ist für euch, dass ihr hier seht, wie das Ganze aussieht. Euch
2:54 merkt, okay, mit geradem Exponenten hat es immer eine Parabelform und dass ihr euch auch merkt, okay, wenn der Exponent gerade ist, dann ist das Ganze
3:05 achsensymmetrisch zu Y-Achse. Seht ihr hier ganz gut. Man könnte hier so ein Spiegel auf die Y-Achse legen und dann wird links genau das gleiche stehen wie
3:12 rechts auch. Und wie sieht's bei ungeraden Exponenten aus? Übrigens, ihr kriegt am Ende noch eine super Übersicht, wo das alles noch mal
3:19 zusammengefasst ist. Also bei x hoch 3 oder x hoch5 oder x hoch7 oder x hoch9 und so weiter, hat es auch immer eine ganz ähnliche Form. x hoch 3, vielleicht
3:29 wisst ihr das vielleicht aber auch noch nicht. Lasst euch das auch mal im Taschenrechner zeichnen. Sieht ungefähr so aus. Wir kommen von hier unten links,
3:36 gehen dann hier zur Mitte hin und gehen dann nach oben rechts. Sieht aus wie so eine Art, ja, ich sag mal, sieht aus wie so eine Art Liege. Kann man sich so ganz
3:42 gut vorstellen. X hoch 5, nee, wir machen erst -x hoch 3. Hier geht dann genau das gleiche, wie auch bei der Parabel. Man spiegelt alles an der
3:50 Y-Achse. Wenn man das Ganze spiegelt, zeichne ich jetzt auch wieder in grün ein. Was passiert dann? Dann wird das hier nach oben geklappt. Wir kommen also
3:58 von hier nach da und das hier wird dann nach unten geklappt. Und das ganze sieht dann so aus, also auch wie so eine Lige. Okay, x hoch 5
4:07 sieht, werdet ihr jetzt auch sehen, auch aus wie so eine Liege, aber ist ähnlich wie vorhin auch bei x hoch4, also bei immer höheren Potenzen steiler und ist
4:16 dann hier wieder sehr flach, deutlich flacher als die andere Funktion. Oh, jetzt habe ich hier ein bisschen was mitgezeich. Das ma wir eben schnell
4:23 wieder weg. Also, ihr seht, das hier ist deutlich steiler und hier in dem Bereich so von ungefähr -1 bis 1 ist das ganze sieht man ganz gut viel flacher als es
4:33 hier der Fall ist. Und bei x hoch 7 wäre das dann noch steiler und hier noch flacher. Und auch hier, wenn wir ein Minus davor setzen, einmal alles an der
4:42 X-Achse spiegeln, sieht dann ungefähr so aus. Okay, perfekt. Jetzt habt ihr hier auch eine gute Übersicht davon, wie
4:52 Funktionen mit einem ungeraden Exponenten aussehen. Kleine Ergänzung noch, wir hatten vorhin bei dem geraden Exponenten gesagt, dass das Ganze
4:58 achsensymmetrisch zur y-Achse ist. Diese Funktionen sind vielleicht seht ihr das auch alle punktsymmetrisch zum Ursprung. Das heißt, ihr merkt euch hier, wenn wir
5:07 wenn ihr eine Potenzfunktion mit ungeraden Exponenten habt, dann ist das Ganze mal punktsymmetrisch zum Ursprung. Was ist denn jetzt, wenn der Exponent,
5:16 egal ob jetzt ungerade oder gerade ist und dann Minus davor steht, also der negative Werte hat, dann ist erstmal wichtig, dass ihr die Potenzgesetze
5:24 kennt und wisst, dass ihr das auch umschreiben könnt als 1 dur x und das könnt ihr schreiben als 1 dur x². Also noch mal ein ganz kurz, immer dann, wenn
5:35 ihr oben in der Potenz eine negative Zahl habt, dann könnt ihr das so umschreiben als 1 durch x hoch diese Potenz, die auch da steht, nur das Minus
5:42 kommt dann weg. Und jetzt könnt ihr, wenn ihr wollt, mal eine Wertetabelle machen und dann das Ganze einzeichnen. Und dann werdet ihr sehen, dass bei 1
5:50 dur x so ein Graf hier rauskommt und bei 1 dur x²
6:01 so ein Graf. Und jetzt fragt man sich vielleicht, warum kommen dann solche Grafen aus? Die sehen ja irgendwie relativ komisch aus. Sehen die? Und zwar
6:09 seht ihr hier super, dass die sich hier links hin immer weiter Richtung Y-Achse bewegen und hier unten auch immer weiter Richtung Y-Achse. Aber und das sieht man
6:18 jetzt hier nicht unbedingt direkt, die werden die Y-Achse nie berühren oder schneiden. Woran liegt das? Schaut euch mal die Funktion an. Wir haben hier
6:26 stehen 1 durch x, also 1 durch irgendwas. Und wir dürfen hier unten auf keinen Fall 0 einsetzen für das x, weil man darf in der Mathematik nicht durch 0
6:36 teilen, dann kommt kein Ergebnis raus. Und genau deswegen hat die Funktion bei x = 0, also wenn man hier x, wenn man 0 für x einsetzen würde, hat die keinen
6:46 Wert. Also die Funktion, die schneidet hier den Wert bei x = 0 nie, weil man darf es da oben nicht einsetzen. Und hier genau das gleiche Prinzip. Der
6:54 einzige Unterschied zwischen den beiden Funktionen, das seht ihr auch ganz schnell. Hier ist es so, wenn man Zahlen ein positive Zahlen einsetzt, kommt auch
7:00 was positives raus. Wenn man negative einsetzt, kommt ja auch was Negatives raus. Auf der rechten Seite ist es so, egal ob wir negative oder positive
7:07 einsetzen, es kommt immer was positives raus, dadurch dass wir hier ein x hoch 2 haben, das ganze also quadrieren. Übrigens, wenn ihr jetzt x hoch -3 oder
7:15 -5 oder -7 bzw. also x hoch 4 oder 6, also gerade oder ungerade Exponenten hättet, dann würden die Funktionen genauso verlaufen wie hier auch. Die
7:24 werden nur wie vorher auch ein bisschen steiler insgesamt, aber die kommen in der Schule super selten vor. Deswegen habe ich euch jetzt einfach nur diese
7:30 beiden hier gezeigt. Und jetzt wie anfangs versprochen noch einmal die Übersicht und da glaubt mir, heftet euch die gut ab, macht ein Screenshot,
7:37 speichert die irgendwo, die werdet ihr immer wieder gebrauchen können, auch in der Oberstufe, da müsst ihr die ganz oft anwenden. Also super, super hilfreich,
7:44 das Ganze zu wissen. Es geht um Potenzfunktion der Form a mal X hoch n. Wir haben hier stehen, ob unser Vorfaktor, das a positiv oder negativ
7:53 ist und wir haben hier stehen, ob unser Exponent n gerade oder ungerade ist. Hier ein wichtiger Hinweis. Das was hier eingezeichnet ist gilt nur für positive
8:02 Exponenten, also für natürliches n, für eine natürliche Zahl, also 1 2 3 4 5 und so weiter, nicht für negative. Ja, und dann seht ihr eigentlich schon ganz
8:10 schnell, ihr könnt in dieser Tabelle mal nachgucken. Wenn ihr x hoch 3 habt, wisst ihr, okay, x hoch 3 hat einen positiven Vorfaktor, hat ein ungraden
8:17 Exponenten. Sieht also ungefähr so aus. Hier seht ihr das Ganze, wenn es negativen hätte. Und hier mit geraden Exponenten x hoch 2 x hoch4 sieht immer
8:25 so aus. - x hoch 2 - x4 sieht immer so aus. Super Übersicht. Da wisst ihr auf einen Blick, okay, wie sieht das Ganze aus, wenn ihr die Funktion da habt? Wenn
8:33 euch dieses Video weitergeholfen hat, dann würden wir uns echt über ein Like und Abo von euch freuen. Und wenn ihr auf der Suche nach richtig guter
8:38 hilfreicher Nachhilfe, die echt was bringt, seid, dann guckt mal auf unserer Website vorbei, da gibt's nämlich welche. Wir sehen uns dann im nächsten
8:44 Video. Mathe kann jeder, wir wollen es beweisen.