EIG: Von den Calculi zum Abakus
Harald Selke
https://www.youtube.com/watch?v=gWzL7AVqV0w

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 Willkommen zur Einführung in die Informatik für Geisteswissenschaftler Dieses Video ist entstanden im Rahmen der gleichnamigen Veranstaltung an der Universität
0:07 Paderborn. Es soll hier um die frühen Entwicklungen des Rechnens gehen, angefangen bei den ersten
0:11 Ansätzen bis hin zum Rechnen mit dem Abakus, einem Rechenhilfsmittel, das seit der Antike bis heute genutzt wird.
0:17 Zählen und Rechnen Ähnlich wie bei der Schrift beginnt auch zumindest das Zählen, aus dem sich dann später das Rechnen entwickelt, in prähistorischer
0:23 Zeit. Zählen konnte man beispielsweise natürlich einfach mit Steinen, die man irgendwo ablegte.
0:27 Das war eine Externalisierung, die bestimmte Dinge sehr gut erlaubte, wie beispielsweise etwas hinzufügen – also zu addieren, wie wir heute sagen würden – oder etwas wegzunehmen
0:35 – also zu subtrahieren, wie wir heute sagen würden. Eine andere Externalisierung stellt ein Kerbholz dar.
0:41 In ein mehr oder weniger langes Stück Holz werden dort Kerben eingeritzt. Diese externe Repräsentation erlaubt noch recht einfach das Addieren, nicht aber das
0:48 Subtrahieren. Dafür bringt sie einen anderen wesentlichen Vorteil mit sich: die Persistenz.
0:52 Während es bei Steinen passieren kann, dass mal einer verloren geht – oder einem der Steinhaufen durch die Gegend purzelt und man nicht mehr weiß, welche Steine alle dazu
0:59 gehörten –, speichert ein Kerbholz die Zahl recht zuverlässig – man muss sich schon bewusst für eine Änderung des eingeritzten Werts entscheiden, um die dargestellte Zahl
1:08 zu verändern. Und bei größeren Zahlen könnte das Kerbholz auch leichter zu transportieren sein als ein
1:13 Haufen Steine. Nutzen kann man solche Techniken – Steine wie das Kerbholz – zunächst einmal vor
1:17 allem für einfache Zählaufgaben. Wenn man seine Schafe zählen möchte, bringt man kurzerhand für jedes Schaf eine Kerbe
1:22 an bzw. fügt einen Stein zu dem Zählhaufen hinzu. Möchte man zu einem späteren Zeitpunkt feststellen, ob noch alle Schafe da sind, lässt man diese
1:29 beispielsweise an einem Gatter vorbeilaufen und legt den Finger immer eine Kerbe weiter oder legt einen Stein auf einen anderen Haufen.
1:35 So kann man am Ende sehr leicht feststellen, ob auch wirklich alle Schafe da sind oder möglicherweise ein paar zu viele da sind.
1:41 Im Fall der Steine steht so ein Stein jeweils für ein einzelnes zu zählendes Objekt; wir könnten auch unterschiedliche Steine für unterschiedliche Objekte verwenden.
1:48 Die kleinen Kieselsteine, die man früher für diesen Zweck verwendet hat, nannten die Römer „calculi“ – und daher kommt auch heute noch unser Begriff des Kalkulierens
1:55 bzw. der Kalkulation. Wie eben schon angedeutet, bieten sie gegenüber einem Kerbholz die Möglichkeit, einfache
2:01 Rechenoperationen durchzuführen, insbesondere die Addition und die Subtraktion. Wenn ich zwei Zahlen addieren möchte, lege ich einen Haufen Steine hin, der den ersten
2:09 Summanden repräsentiert. Ein zweiter Haufen Steine repräsentiert den zweiten Summanden.
2:13 Um die Addition vorzunehmen, schmeißen wir einfach den zweiten Haufen auf den ersten und haben schon die Addition vorgenommen.
2:18 Das Zählen – also gewissermaßen das Ermitteln der Zahl, für die dieser Haufen nun steht, dauert natürlich ein bisschen länger.
2:23 Die Frage ist nur, ob und wofür einen die Zahl – falls man eine solche als Konzept überhaupt schon hat, denn das war in der Frühzeit nicht der Fall – überhaupt interessiert.
2:30 Denn das Zählen meiner Schafe – um bei dem Beispiel von eben zu bleiben – funktioniert bei der größeren Herde ja ebenso wie zuvor.
2:35 Die Subtraktion geht natürlich genauso einfach, indem man Steine wegnimmt. Über die Multiplikation muss man mal einen Moment nachdenken, aber dann sieht man recht
2:43 schnell, dass auch die gar nicht so kompliziert ist. Und für eine Division muss man noch einmal ein bisschen länger nachdenken, aber auch
2:49 da wird einem recht schnell ein Verfahren einfallen, wie man das machen kann – ein rein formales Verfahren, das man durch striktes Befolgen einfacher, eindeutiger Regeln durchführen
2:57 kann. Einen Nachteil dieser Steine hatte ich eben schon angesprochen: Es kann leicht einmal
3:01 einer verloren gehen, insbesondere wenn man diese Steine an eine andere Person übergibt oder sie über größere Entfernungen und damit auch längere Zeiträume transportiert.
3:08 Stellen wir uns beispielsweise eine Handelstransaktion vor, bei der wir irgendwo in Mesopotamien einige Säcke Getreide bestellt haben.
3:14 Der Absender übergibt diese Säcke an den „Paketboten“, also den Leiter einer Karawane zum Beispiel.
3:20 Nach einiger Zeit trifft diese Karawane nun bei uns ein und wir erhalten unser Getreide. Wenn die Anzahl der Säcke nun nicht mit der bestellten Anzahl übereinstimmt, möchten
3:27 wir natürlich wissen, bei wem wir uns zu beschweren haben: Hat der Karawanenleiter ein paar Säcke abgezweigt?
3:31 Oder hat der Absender weniger geschickt als vereinbart war? An dieser Stelle können Lieferscheine oder Warenbegleitbriefe helfen.
3:38 Einen solchen sehen wir hier abgebildet. Der Absender nimmt eine Anzahl Steine – eben so viele, wie er Getreidesäcke verschickt
3:44 – und packt diese in eine Tonkugel. Diese lässt man in der Sonne aushärten oder brennt sie, so dass man sie anschließend
3:50 nicht mehr öffnen kann, ohne sie zu zerstören. Wir als Empfänger erhalten diese Kugel dann unversehrt – ansonsten steht der Karawanenleiter
3:56 zumindest schon mal im Verdacht einer Manipulation. Wir schlagen die Kugel auf und können nun nachsehen, ob die Zahl der Steine mit der
4:02 Zahl der Getreidesäcke übereinstimmt. Wenn das der Fall ist, ist alles gut; anderenfalls hat entweder der Karawanenleiter uns betrogen
4:09 oder der Absender den Karawanenleiter. Man kann sich nun Verfahren überlegen, wie man letzteres ausschließen kann (beispielsweise,
4:15 indem der Karawanenleiter dabei ist, wenn der Absender die Tonkugel anfertigt) und man kann sich weitere Verfahren überlegen, wie man verhindern kann, dass der Karawanenleiter
4:23 eine neue Tonkugel anfertigt und diese als das Original des Absenders ausgibt – das wollen wir hier aber nicht vertiefen, weil das noch einmal ein ganz anderes Thema ist:
4:31 das der abgesicherten und authentischen Kommunikation. Uns geht es hier im Augenblick aber nur um das Zählen und Rechnen.
4:37 Die ersten Ziffernsysteme Eine Variante, die man hier auch anwenden konnte, um die beiden gerade genannten Ziele zu erreichen, möchte ich dennoch ansprechen,
4:42 weil sie den nächsten Entwicklungsschritt darstellt. Wir können zusätzlich oder auch anstelle der Steine in einer Kugel auch Schriftzeichen
4:48 verwenden, die sich nur schwer fälschen lassen – so etwas kann man beispielsweise durch ein Siegel erreichen – und wir können Zahlzeichen verwenden, die außen auf der Kugel angebracht
4:55 sind. Wenn wir solche Zahlzeichen haben, können wir dann auch ganz auf die Kugel mit den eingeschlossenen
5:00 Steinen verzichten und die Zahl ist für jeden, der des Lesens dieser Zahlen mächtig ist, einfach ablesbar.
5:05 Aber dafür brauchen wir eben solche Zahlzeichen – und genau die gab es anfangs eben noch nicht.
5:10 Mit den ersten logographischen Schriften kommen dann aber um 3000 vor Christus auch die ersten Zahlzeichen auf.
5:15 Zunächst einmal sind das einfache Kerben oder Markierungen in Tonkugeln oder auch Tontafeln, die mit einem einfachen Griffel angebracht wurden.
5:22 Mit der Keilschrift kommt dann aber auch ein neues Werkzeug auf, das das Schreiben in dieser Schrift besser ermöglicht und vereinfacht.
5:27 Wir hatten schon in dem Video zur Schrift darüber gesprochen, dass für das Einritzen von Keilschrift in Tontafeln ein neuartiges Schreibwerkzeug benutzt wurde – und in
5:35 der Tat waren auf dieser Tontafel neben Schriftzeichen auch Zahlzeichen zu sehen. Die Technik des Eindrückens von Zeichen in Ton wurde beibehalten, anstelle des einfachen
5:44 Griffels aber nun ein Schilfrohr oder ein Stäbchen aus Knochen oder Elfenbein verwendet, das an der einen Seite rund war – damit wurden Schriftzeichen angebracht –, auf
5:52 der anderen Seite zu einem geraden Strich zugespitzt. Damit ließen sich dann sehr einfach Linien quasi in den Ton „stempeln“, statt sie
5:59 mit dem Griffel zeichnen zu müssen. Dies ermöglichte dann sehr einfach die Erstellung von eckigen Formen mit spitzen Winkeln – weshalb
6:07 wir diese Schrift heute Keilschrift nennen. Eine äußerst bedeutsame Erfindung ist dabei ein Ziffernsystem, das die Sumerer als eine
6:13 der ersten ersonnen haben. Statt eine Zahl mit einer entsprechenden Anzahl von Elementen – also eine 137 beispielsweise
6:19 durch 137 Steine – zu repräsentieren, verwendeten sie ein System, bei dem Zahlen aus Ziffern gebildet werden – genau wie wir Worte in den alphabetischen Schriften aus Buchstaben
6:29 bilden. Die Zahl 137 besteht also aus drei Ziffern 1, 3 und 7, wobei die Reihenfolge wichtig
6:37 ist; die Zahl 371 ist ebenfalls eine gültige Zahl, steht aber natürlich für einen ganz anderen Wert.
6:42 Bei den Sumerern sieht das noch ein wenig anders aus, wie wir uns jetzt ansehen wollen. Für die Ziffern werden letztlich lediglich zwei verschiedene Grundzeichen verwendet,
6:50 aber diese jeweils in einer bestimmten Art bzw. Kombination zu einem komplexeren Zeichen zusammengesetzt.
6:55 Die Grundzeichen sind ein sogenannter Nagel, den wir hier bei der 1 sehen sowie bei der 60.
7:01 Die 60 ist dabei ein größerer Nagel, die 1 ein kleinerer – das wären also die beiden Arten, einen solchen Nagel zu schreiben.
7:07 Es gibt als zweites Zeichen einen Winkel, den wir bei der 10 sehen. Dieser wird durch eine andere Haltung des Stifts erzeugt.
7:13 Das sind die beiden Grundzeichen, die wir zur Verfügung haben – oder genauer: die die Sumerer zur Verfügung hatten.
7:17 Die 600, die 3600 und die 36.000 werden nun durch Kombinationen dieser Grundzeichen geschrieben. Durch stärkeren Druck wird das Zeichen größer – aus der 1 also eine 60 – und durch Kombination
7:29 entstehen die weiteren Zahlzeichen, beispielsweise indem wir an das Zeichen für eine 60 rechts das Zeichen für eine 10 anflanschen und so das Zeichen für 600 erhalten.
7:37 Wenn wir uns jetzt die 3600 angucken, erkennen wir, dass dort vier Nägel in einem Viereck angebracht sind.
7:43 Die 36.000 wiederum sind nun die vier Nägel von der 3600 mit einer 10 in der Mitte innerhalb dieses Vierecks.
7:50 Der Winkel der 10 multipliziert also sozusagen immer den oder die Nägel: Die 60 mit der 10 ist die 600, die 3600 mit der 10 ist die 36.000.
8:00 Damit kriegt man dann schon ordentlich große Zahlen hin, was mit Kieselsteinen etwas schwieriger ist.
8:05 54.492 Kieselsteine möchte kein Mensch zählen oder 54.492 kleine Kerben in eine Tonkugel eindrücken ebenfalls nicht – das wird dann schon so aufwändig, dass es zwar im Prinzip
8:15 machbar ist, de facto aber nicht und daher wohl auch nicht praktiziert wurde. Wenn also die Zahlen größer werden, braucht man eben auch schon solche Mechanismen, wie
8:22 man sie sich hier mit diesem ersten Ziffernsystem ausgedacht hat. Dieses System ist ein sogenanntes Sexagesimalsystem, das die Basis 60 verwendet – wie wir das
8:30 heute noch bei der Uhr nutzen, wo eine Stunde 60 Minuten, eine Minute 60 Sekunden hat. Hier wurde das ein wenig modifiziert und wir haben nun gewissermaßen ein Mischsystem mit
8:39 alternierenden Basen 10 und 6: Die beiden wechseln sich immer ab, nämlich 1, 10, 60, 600 – also 10 mal die 60 –, 6 mal die 600 ist die 3600 und 10 mal 3600 schließlich
8:49 die 36.000. Unterhalb der einzelnen Ziffern sehen wir dann einmal eine Zahl, wie sie aus diesen
8:55 Ziffern gebildet werden kann. Dort steht zunächst einmal das Zeichen für die 36.000 – man schreibt hier so, dass
9:00 das größte dieser Zeichen ganz links steht und die Zahlzeichen dann von links nach rechts in absteigender Reihenfolge notiert werden.
9:06 Das ist ein Prinzip, das uns später noch wieder begegnen wird. Vorne steht also als allererstes die 36.000 als die größte Zahl, die wir hier haben;
9:13 diese ist einmal vorhanden. Dann haben wir das Symbol für die 3600, das wir hier insgesamt fünf mal sehen.
9:18 Dann folgt acht mal das Symbol für die 60, einmal das Symbol für die Zehn und schließlich zweimal das Symbol für die 1.
9:23 Die Zahl, die hier notiert ist, ist also 36.000 plus 3600 mal 5 plus 60 mal 8 plus 10 plus 2 – und wenn wir das jetzt ausrechnen, das könnt Ihr mir glauben oder selber einmal
9:34 nachrechnen, ob das auch tatsächlich stimmt –, dann kommt da die Zahl 54.492 heraus. Eine solche Zahl kann man also mit diesem sumerischen Zahlensystem relativ gut ausdrücken
9:44 und wir sehen hier, wie wir eine solche Zahl in moderner Form aufschreiben würden, aber auch wie die Sumerer sie damals aufgeschrieben haben und wie wir die Umrechnung zwischen
9:52 den beiden Systemen vornehmen können – übrigens wieder einmal rein auf formale Art und Weise, wie ich das im Video zu symbolischen Maschinen schon angesprochen habe.
10:00 Die Ziffern sind wie gesagt absteigend sortiert, das heißt man beginnt mit der größten Ziffer und notiert dann die immer kleiner werdenden Ziffern.
10:07 An dieser Stelle kommen nun die Babylonier ins Spiel. Die babylonische Kultur folgte in Mesopotamien auf die sumerische und entwickelte unter anderem
10:13 deren Zahlensystem weiter. Entwickelt wurde es vermutlich zu Beginn des 2. Jahrtausends vor Christus von babylonischen
10:19 Gelehrten. Hier haben wir nun erstmals ein System, das im Grunde unseren modernen Zahlschriften entspricht.
10:24 Nur ist die Basis des Zahlensystems eine andere – denn die 60 wird als Basis von den Sumerern übernommen – und die Art der Ziffern unterscheidet sich.
10:31 Nun könnte man meinen, dass man dafür 60 verschiedene Ziffern benötigt – wie wir, die wir zur Basis 10 rechnen, 10 Ziffern, nämlich die von 0 bis 9, benötigen.
10:38 Aber man beschränkte sich einfach auf zwei – nämlich den uns (und auch den Babyloniern) schon bekannten Nagel und den Winkel.
10:44 Der Nagel stand weiterhin für die 1, der Winkel für die 10. Unten auf der Folie sehen wir, wie Zahlen dann geschrieben werden konnten.
10:50 Die einzelnen Ziffern sind jeweils durch Abstände von einander abgesetzt. Die erste Ziffer, die wir hier sehen, ist einfach eine 1.
10:56 Darauf folgt dann eine etwas aufwändiger zusammengesetzte Ziffer, nämlich die 57: Wir haben hier fünf Zehner und sieben Einer.
11:03 Dies ist eine einzelne Ziffer – die im Prinzip aufgebaut ist, wie bei den Sumerern zuvor eine Zahl.
11:08 Nur verwenden die Babylonier nun keine größeren Ziffern mehr als 59, sondern bauen größere Zahlen dann über das Stellenwertsystem zusammen.
11:15 Die nächste Ziffer, die wir sehen, besteht aus drei Zehnern und sechs Einern – ist also die 36.
11:21 Und schließlich haben wir eine Ziffer aus einem Zehner und fünf Einern, also die 15. Unsere Ziffern im Sexagesimalsystem sind also – in dieser Reihenfolge – 1, 57, 36, 15.
11:31 Aber welcher Zahl entspricht das nun? Schauen wir uns einmal an, wie das in unserem System aussieht: Wenn wir die Ziffern 3, 9,
11:38 6, 2 in dieser Reihenfolge haben, steht die 3 für die Tausender, die 9 für die Hunderter, die 6 für die Zehner und die 2 für die Einer.
11:45 Oder anders gesagt: Die Zahl, die mit diesen Ziffern repräsentiert wird, ist 3 mal 1000 plus 9 mal 100 plus 6 mal 10 plus 2 mal 1.
11:54 Dabei sind 1, 10, 100 und 1000 die Potenzen der Basis, die unserem Dezimalsystem – dem Zehnersystem – zugrunde liegen: 10 hoch 0, 10 hoch 1, 10 hoch 2 und 10 hoch 3.
12:04 Noch anders als eben gesagt ist die von den Ziffern 3, 9, 6 und 2 dargestellte Zahl also 3 mal 10 hoch 3 plus 9 mal 10 hoch 2 plus 6 mal 10 hoch 1 plus 2 mal 10 hoch null.
12:15 Im Sexagesimalsystem der Babylonier haben wir – das sagt ja der Name und haben wir eben schon gesehen – die Basis 60.
12:22 Die Zahl hier auf der Folie ist also 1 mal 60 hoch 3 plus 57 mal 60 hoch 2 plus 36 mal 60 hoch 1 plus 15 mal 60 hoch 0.
12:31 Und wenn man das ausrechnet, ergibt sich der Wert 423.375. Dieses System hat also zwar einige Unterschiede zu dem von uns heute verwendeten, im Kern
12:41 ist es dem unseren aber sehr ähnlich. Wenn wir uns diese Notation noch einmal genauer ansehen, stellen wir allerdings auch schon
12:47 einen gravierenden Nachteil dieses Systems fest: Wenn man beispielsweise die Abstände nicht vernünftig setzt, sondern vielleicht etwas schlampig schreibt, kann aus der Ziffernfolge
12:54 10, 15 auch leicht die Ziffernfolge 25 oder 10, 10, 5 werden – was natürlich jeweils ganz andere Zahlen sind.
13:02 Als Abhilfe wurde daher manchmal ein spezielles Trennzeichen zwischen die Ziffern geschrieben. Aber noch ein anderer wichtiger Punkt fällt uns, die wir mit unserem modernen Zahlensystem
13:09 groß geworden sind, auf: Wir haben eine Null, die die Babylonier noch nicht hatten. Sie ließen dann einfach ein Stück Platz, also einen Leerraum.
13:16 Der musste aber groß genug sein, damit man das später – oder wenn jemand anderer die Zeichen interpretieren wollte – auch bemerkte und nicht versehentlich eine 21.609 für eine
13:25 369 hielt. Schreibt letztere – also die 369 einmal im babylonischen System auf – das ist ja
13:31 einfach 6 mal 60 plus 9. Fügt dann einmal einen Leerraum zwischen die beiden Ziffern ein – dann habt Ihr dort gewissermaßen die Ziffern 6, 0 und 9 stehen.
13:40 Die so repräsentierte Zahl ist dann aber 6 mal 60 hoch 2 plus 0 mal 60 plus 9. Versucht ruhig, das einmal nachzuvollziehen.
13:46 Auch hier möchte ich wieder einen Literaturtipp geben, falls das jemanden genauer interessiert: In diesem Buch von Georges Ifrah mit dem Titel „Universalgeschichte der Zahlen“ kann
13:55 man sehr gut nachlesen, wie sich die Zahlen von den einfachsten Anfängen ausgehend zu unseren heutigen Zahlensystemen entwickelt haben, wie sich auch das Rechnen und zum Teil
14:03 auch die Rechenmittel entwickelt haben, die im Lauf der Jahrtausende verwendet wurden. Wie schon im letzten Video der Warnhinweis: Das ist eher etwas für Spaß und Allgemeinbildung
14:11 und nichts, was man für diese Vorlesung benötigt. Rechnen mit römischen Ziffern Springen wir nun einmal ein ganzes Stück
14:15 weiter in der Geschichte und zwar zum römischen Zahlensystem. Hier sollen uns nun weniger die Ursprünge interessieren als vielmehr die Art und Weise,
14:21 wie hier Zahlen aufgeschrieben, und vor allem auch, wie mit ihnen gerechnet wurde. Dieses Zahlensystem ist für uns hier in Europa lange das dominierende gewesen.
14:28 Die Römer hatten ähnlich wie die Sumerer unterschiedliche Zahlzeichen und damit Ziffern, hatten aber kein Stellenwertsystem wie die Babylonier.
14:35 Mit sieben Ziffern – M für 1000, D für 500, C für 100, L für 50, X für 10, V für fünf und I für 1 – wurden die üblichen Zahlen geschrieben.
14:44 Es gab auch Zeichen für größere Zahlen, die aber wohl selten in Gebrauch waren. Wie bei den Sumerern werden die Zeichen in absteigender Reihenfolge notiert – mit einem
14:51 kleinen Twist: Statt IIII für vier, schrieb man zu späteren Zeiten IV. Da mensch sich schwer tut, eine größere Zahl gleichartiger Gebilde zu überblicken
14:59 und schnell zu zählen, hat man also anstelle von vier gleichen Zeichen einfach nur einmal dieses Zeichen vor das nächst größere gestellt.
15:05 Wir lassen diese kleine Besonderheit einmal außer acht und betrachten das System, wie es ursprünglich war, als man also VIIII für 9 schrieb anstelle von IX.
15:14 Dann haben wir also immer eine absteigende Reihenfolge der Zahlzeichen, also zunächst das M – falls benötigt –, dann das D usw. bis zum I.
15:22 Die Zahl MDCCCCLXVIII ist – so können wir rein formal ohne jegliches weiteres Verständnis feststellen – eine korrekt gebildete römische Zahl.
15:31 Da sind wir nun wieder bei den Formalismen, die ich in dem Video zu symbolischen Maschinen schon angesprochen hatte.
15:36 Und ebenso formal können wir feststellen, dass CMMLXVIII keine gültige römische Zahl ist, da hier die Reihenfolge nicht passt: Mit dem C steht ein kleinerer Wert vor einem
15:46 größeren, nämlich dem M. Das alleine ist wie gesagt in der späteren Variante, die wir hier gerade nicht betrachten, durchaus erlaubt; dennoch wäre diese Zahl als Ganzes
15:53 auch in der späteren Variante keine gültige Zahl. Warum?
15:57 Schaut selber einmal, ob Ihr es bemerkt. Die Position eines Zeichens spielt im Grunde gar keine Rolle – man könnte die Zeichen
16:01 genauso gut durcheinander gewirbelt aufschreiben, denn jedes Zeichen steht hier ja genau für einen Zahlenwert, unabhängig davon, wo es sich befindet: Das M ist immer 1000, das D
16:09 immer 500 usw. Wir haben es mit einem additiven Zahlensystem zu tun, bei dem wir einfach nur die Zahlen
16:14 hernehmen müssen, die dem jeweiligen Zeichen entsprechen und diese zu einander addieren – so erhalten wir den Wert der dargestellten Zahl.
16:19 Bei der ersten Zahl hier also: M für 1000 plus D für 500 und 4 mal C für je 100, insgesamt also 400, plus L für 50 plus X für 10 plus V für 5 plus III für jeweils 1, also insgesamt
16:33 drei. Als Summe erhalten wir damit 1968.
16:36 Damit eignet sich dieses System ähnlich gut wie auch andere Systeme dafür, Zahlen damit aufzuschreiben.
16:41 Größere Zahlen sind in additiven Systemen immer etwas problematisch, deshalb dachte man sich für diese dann weitere Zeichen aus, die aber wie gesagt nicht so verbreitet waren,
16:49 weil man häufig eben durchaus mit Zahlen bis in den Tausenderbereich auskam. Die Frage, die ich hier aber anschließen möchte, ist, wie man mit diesen Zahlen denn
16:56 rechnen kann, zumindest eine Addition ausführen. Schauen wir uns einmal diese Rechnung an, die wir hier oben auf der rechten Seite der
17:02 Folie sehen. Wir wollen also DCCLXVIII und CCCXIII zueinander addieren.
17:09 Das ist dann erst einmal gar nicht so einfach. Heutzutage würden wir die Zahlen vermutlich in unser System überführen, dann die Addition
17:15 – im Kopf oder mit einem Hilfsmittel – ausführen und dann wieder zurück umwandeln, um sie als römische Zahl wieder aufzuschreiben.
17:20 Wie aber machte das der gemeine Römer? Nun, eine Möglichkeit bestand natürlich in der Verwendung der Calculi, der Rechensteine.
17:26 Da müssten wir dann nun für das D 500 Steine abzählen, dann für die beiden C noch einmal 200 usw. bis wir 768 Steine zusammen haben – denn das ist die Zahl, die hier aufgeschrieben
17:36 steht. Dann legen wir die 313 Steine für die zweite Zahl auf einen zweiten Haufen.
17:41 Sicherheitshalber können wir noch einmal nachzählen, ob so weit alles stimmt – oder bitten jemand anderen, das zu tun, bevor wir dann die Addition ganz einfach durchführen
17:49 können, indem wir die Haufen zusammenschieben. Und dann geht es ans große Zählen – da kommt der Erbsenzähler, der nun die ersten
17:54 Tausend Steine zählt, ein M notiert, dann die nächsten 50 und ein L notiert, dann noch einmal 30 für die nächsten drei X und schließlich noch ein einsames I: MLXXXI.
18:03 Und dabei hat er sich hoffentlich nicht verzählt, sonst geht der Spaß von vorne los. Aber zum Glück gibt es Alternativen.
18:10 Man könnte beispielsweise verschiedenfarbige Steine verwenden, sagen wir einen dunkelgrünen für das M, einen hellgrünen für das D, einen blauen für das C usw.
18:17 Wenn wir dann nach der Addition fünf blaue Steine haben, ersetzen wir diese durch einen hellgrünen; haben wir zwei hellgrüne, ersetzen wir diese durch einen dunkelgrünen für das
18:24 M. So bleibt die Angelegenheit schon deutlich übersichtlicher und die Rechnung ist leichter zu überprüfen – auch durch eine andere Person, die uns beim Rechnen zusieht.
18:31 Eine weitere Möglichkeit – und diese war in Mitteleuropa bis ins 16. Jahrhundert hinein die vorherrschende Art, solche Rechnungen durchzuführen – ist die Verwendung eines
18:40 so genannten Rechentischs, wie wir ihn hier auf der rechten Seite der Folie schematisch abgebildet sehen.
18:44 In einem separaten Video werde ich für diejenigen, die das interessiert, einmal zeigen, wie man damit rechnet – und das auch wieder auf eine ganz formale Weise, die weder ein Verständnis
18:53 des Prozesses noch eine Interpretation der Steine auf dem Tisch erfordert. Der Tisch ist mit etlichen Linien versehen.
18:59 Da wäre zunächst einmal eine vertikale Linie. Links von dieser steht die eine Zahl, der erste Summand, rechts der Linie steht der
19:05 zweite Summand. Die Zahlen werden hier nun wieder mit Steinen repräsentiert, wobei dieses Mal aber keine
19:10 verschieden farbigen oder unterschiedlich geformte Steine verwendet werden – Farbe und Form sind vollkommen egal hier –, sondern ausschließlich die Position der Steine wichtig
19:17 ist für die Darstellung der Zahlen sowie den Rechenprozess. Wir können also beispielsweise irgendwelche Kiesel nehmen oder alte Münzen wie beispielsweise
19:24 D-Marks oder Spielsteine. Die waagerechten Linien definieren nun die einzelnen Werte.
19:29 Von oben beginnend sind das also M für 1000, C für 100, X für 10 und I für 1 – also einige unserer römischen Ziffern.
19:37 Die Zwischenräume zwischen den Linien stehen für die übrigen Ziffern, also von oben kommend D für 500, dann L für 50 und schließlich V für 5.
19:44 Nun legen wir die Steine entsprechend der Zahl, die unserem ersten Summanden entspricht, auf der linken Seite ab.
19:49 Für das D kommt ein Stein in den obersten Zwischenraum, für die beiden C zwei Steine auf die C-Linie, für L, X und V je ein Stein auf die entsprechende Linie bzw. in die entsprechenden
19:59 Zwischenräume und schließlich für die drei I drei Steine auf die unterste Linie. Entsprechend legen wir die Steine für den zweiten Summanden auf die rechte Seite: Für
20:08 die drei C drei Steine auf die C-Linie, für das X einen auf die X-Linie und für die drei I wieder drei auf die unterste, die I-Linie.
20:15 So haben wir jetzt jede Ziffer, die in einer unserer beiden Zahlen enthalten ist, auf dem Rechentisch durch eine Münze an einer bestimmten Stelle repräsentiert.
20:21 Wir haben gewissermaßen eine Umcodierung vorgenommen von einem Zeichensystem – den Buchstaben, die für die römischen Ziffern stehen – in ein anderes Zeichensystem – nämlich
20:29 Steine an Positionen. Beide Repräsentationen sind gleichermaßen gültig, beide können – entsprechende Kenntnis
20:35 des Betrachters vorausgesetzt – interpretiert werden, beide sind äquivalent in dem Sinn, dass wir sie auf eindeutige Weise von der einen Repräsentation in die andere umformen
20:44 können. Die Addition können wir nun ganz einfach ausführen, indem wir die Steine von der rechten
20:48 Seite auf die linke hinüberschieben. Leider können wir das Ergebnis dann noch nicht immer unmittelbar so wieder in unsere
20:53 Buchstabenfolge zurück umwandeln – und so das Ergebnis wieder in römischen Ziffern notieren.
20:58 Oft, und das ist auch bei diesen beiden Zahlen der Fall, müssen wir noch etwas Nacharbeit leisten – auch diese weiteren Schritte können wir ganz formal und mechanisch wie eine Maschine
21:06 ausführen. Das möchte ich aber hier nicht zeigen, sondern in einem separaten Video einmal komplett vorführen.
21:10 Wenn Euch das nicht näher interessiert, müsst Ihr mir an dieser Stelle einfach glauben, dass das funktioniert.
21:14 Neben der Addition kann man auch eine Subtraktion relativ leicht durchführen. Wie aber sieht das aus, wenn wir multiplizieren wollen?
21:20 Da wird es schon ganz schön kompliziert und da liefert der Rechentisch nicht so ganz die optimale Unterstützung.
21:25 Rechnen mit dem Abakus Auch dafür gibt es aber zum Glück eine Lösung, und auch die war schon den Römern bekannt.
21:29 Man könnte es in konzeptionellem Sinn als eine Weiterentwicklung des Rechentischs bezeichnen. Ob das auch historisch so gesagt werden kann?
21:35 Da wäre ich eher vorsichtig und da müssten wir mal die Historiker befragen. Der Abakus, wie wir ihn hier sehen, hat eine starke Ähnlichkeit mit dem Rechentisch, impliziert
21:43 aber in gewisser Weise schon ein Stellenwertsystem. Die Römer hatten eigentlich kein solches, wie wir gesehen haben, aber die Zahldarstellung
21:50 im Abakus – wieder eine Umcodierung der römischen Zahlen, nur dieses Mal in noch einmal anderer Form als eben beim Rechentisch gesehen – erscheint uns mit unserem heutigen
21:58 Wissen zumindest schon wie eine Darstellung in einem Stellenwertsystem. Aber das ist wie gesagt ein Blick, den wir von heute aus auf den Abakus werfen, und das
22:05 heißt nicht, dass man das früher ebenfalls schon so wahrgenommen hat. Vom Abakus gibt es zahlreiche unterschiedliche Varianten und er war – und ist teilweise
22:12 immer noch – in verschiedenen Kulturräumen der Welt verbreitet. Hier handelt es sich um einen Suanpan, die chinesische Version.
22:18 Der japanische Soroban sieht ein wenig anders aus, funktioniert vom Prinzip her aber in gleicher Weise.
22:23 Ähnlich wie beim Rechentisch haben wir wieder nur eine Art von Steinen und die Position der Steine legt den codierten Wert fest.
22:29 Zum Rechnen legt man den Abakus wie auf dieser Folie zu sehen vor sich hin. Der waagerechte hölzerne Steg, der den Abakus auf zwei Drittel der Höhe in zwei Teile teilt,
22:37 ist dabei ebenfalls von Bedeutung. Senkrecht verläuft eine Reihe von Stäben, auf denen die Steine oder Kugeln aufgespießt
22:43 sind – was den kleinen Vorteil hat, dass man die Kugeln nicht verlieren kann. Wenn man nun eine Addition durchführen will, stellt man üblicherweise den ersten Summanden
22:50 rechts ein und den zweiten Summanden links – wichtig ist aber eigentlich nur, dass man etwas Platz zwischen den beiden hat, damit man sie auseinanderhalten kann.
22:56 Ich will hier nur einmal zeigen, wie man eine einzelne Zahl einstellt. Wie dann eine Addition durchgeführt wird, zeige ich wieder in einem separaten Video
23:03 für diejenigen, die das interessiert – alle anderen mögen mir bitte wieder einfach glauben, dass man eine solche Operation durchführen kann.
23:10 Schauen wir den Abakus einmal von rechts beginnend an und betrachten wir ihn mit unserem Wissen um Stellenwertsysteme.
23:15 Dann repräsentiert das rechteste Stäbchen die Einerstelle unserer Zahl, die wir einstellen wollen, das Stäbchen links daneben die Zehnerstelle, das dritte Stäbchen die Hunderterstelle,
23:23 das vierte die Tausenderstelle und so weiter. Wir sehen also, dass wir hiermit ganz ordentlich große Zahlen darstellen können.
23:29 Aber wie stellen wir nun die einzelnen Ziffern dar? Es zählen immer die Kugeln, die an dem waagerechten Steg anliegen – die linken neun Ziffern
23:36 sind hier also alles Nullen, denn wir haben hier nur eine vierstellige Zahl eingestellt. Die Kugeln im unteren Bereich zählen jeweils 1 – jede Kugel dort entspricht also einem
23:44 Stein auf einer der Linien des Rechentischs. Die Kugeln im oberen Bereich zählen jeweils 5, entsprechen also jeweils einem Stein in
23:50 einem der Zwischenräume des Rechentischs. Ganz rechts liegen bei der hier dargestellten Zahl vier Kugeln an dem Steg an; wir haben
23:57 hier also die Ziffer 4. Links daneben liegen drei Kugeln am Steg, also haben wir hier die Ziffer 3.
24:03 Auf dem dritten Stäbchen sind keine Kugeln am Steg, also ist dies eine 0. Auf dem vierten Stäbchen schließlich haben wir unten vier Kugeln, das wäre eine 4, aber
24:12 auch oben liegt eine Kugel an, die wie gesagt 5 zählt, so dass an diesem Stäbchen also die Ziffer 9 eingestellt ist.
24:18 Insgesamt haben wir – jetzt von links gelesen – also die Ziffernfolge 9, 0, 3, 4 eingestellt, das heißt die Zahl 9034.
24:26 Für uns mit unserem indisch-arabischen Stellenwertsystem ist das gut ablesbar, die Römer haben eine etwas andere Variante genutzt, die für ihr Zahlensystem besser geeignet war.
24:34 Jetzt stellt sich die Frage, wie man damit nun rechnen kann. Die Addition werde ich wie gesagt in einem separaten Video zeigen.
24:39 Man kann mit dem Abakus natürlich auch subtrahieren, aber tatsächlich sogar multiplizieren, dividieren und die Wurzel ziehen.
24:44 Das sind dann aber recht komplexe Verfahren, die zwar wieder rein formal sind und die man daher mechanisch wie eine Maschine ausführen kann – aber ich beherrsche sie nicht und
24:51 kann sie daher auch nicht zeigen. Für alle diese Verfahren könnten wir aber die genauen Regeln aufschreiben, die uns sagen,
24:57 was man mit den Kugeln unter welchen Bedingungen machen soll. Würden wir dann einfach diese Regeln befolgen, könnten wir eine Berechnung durchführen,
25:03 ohne dass wir verstanden haben, was wir da tun – im Grunde: ohne dass wir überhaupt bemerkt haben, dass wir rechnen.
25:08 Normalerweise wissen die Leute, die mit diesen Rechenhilfsmitteln umgehen, natürlich schon, was sie da tun und dass sie rechnen, aber notwendig ist das nicht.
25:15 Das ist genau das, was ich im Video zu den symbolischen Maschinen schon angesprochen habe: Man kann ohne Sinn und Verstand einfach den Regeln folgen und dabei dennoch etwas
25:22 sinnvolles tun. Und dabei haben wir lediglich Regeln befolgt, die sich ausschließlich auf die Anordnung
25:28 der Zeichen – hier also der Kugeln – beziehen. Ein solcher Prozess lässt sich vom Prinzip her – und das ist der Grund, warum wir uns
25:33 das hier angesehen haben – an eine Maschine delegieren, wenn wir denn eine Maschine hätten, die zum einen die Zahlen hier am Abakus einstellen kann und die zum zweiten dann insbesondere
25:42 die Kugeln nach gegebenen Regeln bewegt. Dafür bräuchte man dann so etwas wie einen kleinen Roboter.
25:46 Den hatten die Römer natürlich damals noch nicht und, als sie den Abakus erfunden haben, hatten auch die Chinesen einen solchen noch nicht.
25:51 Soweit soll uns das als kleiner Einblick in die Geschichte der Zahlen und des Rechnens in der Frühzeit, das heißt von den Anfängen bis in das 16. Jahrhundert hinein, genügen.
25:58 Das war’s also für den Moment. Tschüss bis zum nächsten Video.