Zusammenhang Binomialverteilung und Normalverteilung – Stochastik
Mathe - simpleclub
https://www.youtube.com/watch?v=gP-Xx26p_kc

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 Wahrscheinlichkeitsrechnung. Was soll überhaupt der Unterschied zwischen den beiden Verteilungen sein? Oder was sind die überhaupt? Könnte es mal vielleicht
0:07 jemand erklären? [Musik] Zuerst mal, damit hier jeder weiß, worum es geht. Wir gucken uns heute mal an,
0:18 was der Unterschied zwischen der Normal und Binomialverteilung ist. Ganz wichtig, was die beiden überhaupt sind, haben wir schon erklärt. Zieht euch
0:26 unbedingt vorher die Videos rein, wenn ihr es nicht mehr wisst. Links die Videoreihe zur Binomialverteilung, was die ist und so, rechts das Video zur
0:34 Normalverteilung, auch was die ist und so. Das Wissen braucht ihr jetzt unbedingt als Grundlage. Wir wollen jetzt nämlich klären, hängen die
0:43 irgendwie zusammen und wenn ja, wie? Wieder mal ein Beispiel aus dem Alltag, das euch alle betrifft. Nicht übrigens das gleiche Beispiel wie auch im Video
0:52 zur Binomialverteilung. Ihr kauft für eure Wohnung Lampen bei einer Lampenfirma, die logischerweise Lampen baut.
1:00 nur funktionieren die nicht alle. Immerhin 20% haben einen Defekt. Dafür sind sie schon billig. Ihr wisst das und kauft extra mehr. Ihr nehmt erstmal 20
1:09 Glühbirnen und probiert die. Also ist n = 20, weil ihr eben 20 Stück kauft. Und P ist die Wahrscheinlichkeit für eine kaputte Lampe, also 20%. 0,2.
1:21 Das Ganze ist ein Bernuli Experiment. Es gibt genau zwei Möglichkeiten, was Probierne sein kann. Entweder sie geht oder landet im Müll. So, ihr könnt jetzt
1:31 z.B. berechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit wäre, dass acht Lampen defekt sind, haben wir im Video zur Benuli Formel erklärt. Auf die
1:39 gleiche Art könnt ihr z.B. auch Wahrscheinlichkeiten für 0, eine 7, 12 oder maximal 20 kaputte Birnen ausrechnen. Von 20 Birnen können ja
1:49 nicht weniger wie keine Leuchte im Bob sein und mehr wie 20 kaputte werdet ihr auch nicht finden. Dazwischen ist alles möglich. Natürlich mit einer bestimmten
1:58 Wahrscheinlichkeit. Wenn ihr die ganzen Wahrscheinlichkeiten ausrechnen würdet und die in ein Diagramm einzeichnet, kämt das Bild hier raus. Das liebe
2:07 Kinder, ist eine Binomialverteilung. Darauf sieht man schön. Am wahrscheinlichsten ist es, dass vier Lampen kaputt sind. Dafür ist ziemlich
2:16 unwahrscheinlich, dass mehr als zehn nicht gehen. Was hat das Ganze mit einer Normalverteilung zu tun? So ganz grob hat das Ding ja die Form von so einer
2:25 Gauskurve. Also Normalverteilung, wir haben mal das Bestmögliche eingezeichnet. Das trifft ja echt nur ganz grob. Mal steht da Balken drüber
2:34 raus, dann wieder ist eine Lücke drunter. Nicht sonderlich geil. Aber stellt euch mal vor, ihr kauft 200 Birnen und macht wieder das gleiche. Wie
2:42 wahrscheinlich ist denn, dass eine kaputt ist oder zwei oder 30 und zeichnet wieder alles auf? Dann sieht die Binomialverteilung diesmal so aus.
2:52 Es sind jetzt viel mehr einzelne Balken, weil es ja bei 200 Lampen viel mehr Möglichkeiten gibt, wie viele Birnen nicht mehr so ganz helleuchten. Immerhin
3:00 kann diesmal alles zwischen 0 und 200 Birnen kaputt sein. Warum zeigen wir das aber, wie es mit mehr Birnen aussieht? Diesmal kann man auch wieder versuchen,
3:09 eine Gauskurve reinzulegen. Sieht dann im Optimalfall so aus. Ihr müsst schon zugeben, sieht deutlich besser aus als vorhin. Eine Frage bleibt jetzt. Was
3:19 muss man machen, damit die Gauskurve so gut passt? So Leute, das hier ist die Formel für die Normalverteilung. Nicht erschrecken. Sieht scheiße aus. Ist echt
3:27 scheiße. Gibt's jetzt eine Möglichkeit, dass wir aus so einer Binomialverteilungsfunktion einen Normalverteilungsfunktion machen?
3:34 Wenn ja, wie? Versuchen wir einfach mal alles, was wir rechts in der Formel nicht haben, herauszufinden. Für die Binomialverteilung habt ihr ja eine
3:43 Wahrscheinlichkeit p und eine Anzahl N. Und da könnt ihr ja auch einen Erwartungswert ausrechnen. N* P. Und der Erwartungswert ist ja einfach my.
3:52 Perfekt. Also kann man das my schon mal rechts einsetzen. Brauchen wir nur noch das Sigma, dann hat man alles, was rechts noch fehlt. Das geht aber auch.
4:02 Zuerst rechnet ihr wieder n mal p und dann noch mal 1- p, also mal die Gegenwahrscheinlichkeit und am Ende noch die Wurzel ziehen, dann habt ihr Sigma.
4:12 Das heißt jetzt also, wenn ihr eine Binomialverteilung gegeben habt mit einer Wahrscheinlichkeit p und Anzahl n, dann könnt ihr zuerst my ausrechnen und
4:22 dann noch Sigma und das in die Normalverteilungsformel einsetzen. Und am Ende bekommt ihr eine gute Annäherung eurer Binomialverteilung als Funktion.
4:32 Jetzt die Frage, geht das jetzt immer? Kann ich immer einfach aus meiner Binomialverteilung eine Normalverteilung machen? Nein, die Begründung dafür mag
4:41 blöd klingen, weil das zwei verschiedene Funktionen sind. Der große Unterschied ist folgender. In der Binomialverteilung könnt ihr nur
4:50 Zahlen ohne Komma und über 0 und unter n einsetzen. 1 2 3 und so weiter. Deswegen werden die auch immer mit so Balken gemalt. Man kann nichts zwischen den
5:00 Zahlen einsetzen. Bei einer Normalverteilung geht das aber schon. Da könnt ihr jede Zahl einsetzen, die ihr wollt. Ihr könnt auch Kommazahlen in die
5:08 Funktion einsetzen und bekommt einen Wert raus. Deshalb hat die auch so eine Linie wie andere Grafen, die ihr kennt und keine so Balken. Genau dieser
5:17 Unterschied ist wichtig, weil die so unterschiedlich sind, liegt die Kurve halt nicht immer ganz so bombig an die Bolken an. So wie bei unserem ersten
5:25 Beispiel. Da sind noch ziemlich viele Lücken. Jetzt die Frage, ab wann kann man aber sagen, okay, jetzt passt die Gauskurve ganz gut über die Balken der
5:35 Binomialverteilung. Eine oder eigentlich zwei Bedingungen gibt's, die ihr auch ganz leicht selber nachprüfen könnt. Sigma könnt ihr ja
5:43 ausrechnen. Wenn Sigma größer als 3 ist, dann sieht eure Gauskurve praktisch so aus wie die Funktion mit den Balken. Im ersten Bild mit nur 20 Glühbirnen war es
5:52 noch nicht so. Da war die Wurzel aus n* p* 1 - p noch deutlich unter 3. Beim zweiten Bild hat die Bedingung aber gepasst. Sieht man auch das ist Qualität
6:03 zumindest grob. Wenn die Bedingung übrigens nicht hinhaut, könnt ihr stattdessen zwei andere testen. Ist der Mittelwert also n* p über 4 und ist auch
6:12 n* 1 - p über 4. Wenn beides stimmt, dann passt die Gauskurve auch. Ah, noch zum Schluss. Manchmal steht bei den Bedingungen statt dem Größerzeichen
6:23 auch ein größer Gleich. Manche sagen so, manche so. Wichtig ist für euch eigentlich nur, Sigma sollte möglichst deutlich größer sein als 3. Je größer,
6:32 desto besser lässt sich die Binomialverteilung durch die Gauskurve annähern. Und jetzt wirklich letzte Frage, warum, warum will man eine
6:41 Binomialverteilung mit einer Gauskurve annähren? Wenn ihr das wissen wollt, schreibt es uns mal in die Kommentare mit dem # wieso weshalb warum oder so.
6:50 Wenn ihr es nicht wollt, dann schaut's halt nicht. Okay, wieder im Ernst, hier rechts findet ihr jetzt noch mal unser Video
6:58 zur Normalverteilung. Zieht's euch rein, wenn ihr komplizierte Formel von vor noch raffen wollt. In dem Sinne, cheers Auge auf und weiter ge.