Stetige Zufallsgrößen und die Dichtefunktion
Mathehoch13
https://www.youtube.com/watch?v=g9acHn8zSr8

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hallo dies ist das einführungsvideo über stetige zufalls größen und hier wenn wir erst mal aber sprechen was stetige zufalls größen sind und welche bedeutung
0:09 die wahrscheinlichkeit dichte funktion für die beschreibung stetiger zufalls größen hat um zu erklären was stetige zufalls größen sind möchte ich zunächst
0:18 noch mal vor eben mit welchem typ von zufalls größe beziehungsweise zufalls variable wie es bislang zu tun hatten und das waren die sogenannten diskreten
0:27 zufalls größen und das und zufalls größen die nur ganz bestimmte isolierte zahlenwerte annehmen können zum beispiel die augenzahl summe bei zweimaligen
0:38 würfeln wo die zufalls variabler iks nur ganz eilige werte von zwei bis zwölf annehmen kann ein weiteres beispiel ist die
0:51 trefferzahl bei einer plakette wo wir es hier mit einer genial verteilten zufalls größe zu tun haben steht die ba nur die kette aus vier schritten und sol y die
1:01 anzahl der treffer darstellen dann kann es entweder nur 0 1 2 3 oder 4 treffer geben und hier siehst du dass es keine zwischen werte geben kann sondern
1:15 dass unsere zufalls größe nur bestimmte isolierte zahlenwerte annehmen kann im folgenden betrachten wir stetige zufalls größen das sind zufalls größen
1:26 die innerhalb eines bestimmten intervalls jeden beliebigen reellen zahlen wert annehmen können beispiele dafür sind zum beispiel
1:35 körpergrößen das gewicht von brötchen die wir beim bäcker kaufen wartezeiten und so weiter all diese größen können im prinzip beliebige zahlenwerte mit
1:46 beliebig vielen nachkommastellen annehmen und weil im prinzip jeder zwischen wert erreicht werden kann spricht man von
1:53 stetigen zufalls größen ok auf dem wir jetzt die unterschied zwischen diskreten und stetigen zufalls größen herausgearbeitet haben wenn wir uns
2:02 jetzt anschauen wie man wahrscheinlichkeiten für stetige zufalls größen berechnet bei diskreten zufalls größen hatten wir gesehen dass wir eine
2:12 wahrscheinlichkeit verteilung aufstellen können wo wir jedem wert der zufalls größe die entsprechende wahrscheinlichkeit
2:19 zuordnen können bei dem beispiel wo wir zwei mal würfeln und die zufalls größe die augen summe der beiden würfel darstellt haben wir
2:28 hier die einzelnen werte unserer zufalls größe und hier die entsprechende wahrscheinlichkeit die summe über alle wahrscheinlichkeiten ist 1 und diese
2:39 wahrscheinlichkeit verteilung kann man auch grafisch darstellen wobei wir dieses balkendiagramme erhalten und auch für das beispiel der benno die kette
2:47 können wir eine verteilungs diagramm aufstellen und in dem fall handelt es sich um eine genial verteilung aber wie sieht die sache jetzt bei stetigen
2:56 zufalls größen aus nehmen wir noch mal das beispiel der körpergröße in deutschland ist der ausgewachsene man durchschnittlich 1 meter 80 groß
3:06 ich habe das jetzt mal als 180 zentimeter wenn wir jetzt anfangen zu überlegen wie wir jetzt eine aussage über die wahrscheinlichkeit dieser
3:15 stetigen zufalls größer machen können dann würden wir in einem ersten impuls wahrscheinlich ein solches diagramm zeichnen wollen und würden im
3:25 hintergrund an einer häufigkeit verteilung denken wo wir uns zum beispiel vorstellen dass wir 100 zufällig ausgewählte männer haben und
3:33 davon haben die meisten eine körpergröße um 1 meter 80 und die anzahl der männer mit wesentlich kleinerer körpergröße oder wesentlich größerer körpergröße
3:42 nimmt dann zu den extremen hinab aber ist diese kurve wirklich eine funktion die die wahrscheinlichkeit p in abhängigkeit vom wird unserer zufalls
3:53 variablen ausgibt und die auf den ersten blick überraschende antwort ist nein die kurve gibt keine wahrscheinlichkeit von p e von iks leicht kann warum ist das so
4:03 stellen wir uns doch mal die frage wie groß die wahrscheinlichkeit ist dass ein mann genau 1 meter 70 groß ist und wenn ich sage genau 1 meter 70 dann meine ich
4:13 nicht 170,0 zentimeter sondern ich meine 170,00 0 und unendlich viele nachkommastellen null zentimeter und die wahrscheinlichkeit
4:26 eine körpergröße von 1 meter 70 mit absoluter präzision zu treffen ist daher 0 und das gilt natürlich genauso für jeden
4:36 anderen wert der zufalls variablen diese kurve war hält jedoch bedeutung wenn wir nicht einen einzelnen wert unserer stetigen zufalls größe betrachten
4:46 sondern ein intervall nehmen wir zum beispiel das intervall der körpergröße zwischen 1 meter 70 und 1 meter 80 hier ist die mit der x-achse 1
4:54 geschlossene fläche tatsächlich ein maß für die wahrscheinlichkeit dass unsere stetige zufalls größe ein wert aus diesem intervall annimmt wir müssen also
5:04 erst über diese kurve integrieren um eine wahrscheinlichkeit angabe zu erhalten und deswegen nennt man diese kurve die
5:13 wahrscheinlichkeit dichte funktion unserer stetigen zufalls größe es salopp gesprochen kann man sagen die fläche gibt an wie viel wahrscheinlichkeit in
5:23 diesem intervall drinsteckt und je größer die funktions werte unserer wahrscheinlichkeit dichte desto mehr wahrscheinlichkeit steckt in einem an
5:31 dieser stelle aufgespannten intervall drin ich hoffe damit konnte ich das ein bisschen erklären wo der ausdruck dichte
5:37 her kommt ok fast manchmal allgemein zusammen eine über einem intervall von a nach b definierte funktion es heißt wahrscheinlichkeit dichter oder dichte
5:48 funktion wenn folgendes gilt erstens dass alle funktions werte unserer funktion größer gleich null sind für alle iks werte aus diesem intervall von
5:59 a bis b es darf also keine negativen funktions werte geben und zweitens muss ja die gesamt wahrscheinlichkeit dafür dass
6:08 unsere zufalls variable werte zwischen a und b an nimmt gleich eins sein das heißt ja neben blick auf unser diagramm dass die fläche unserer dichte
6:18 funktion auf dem intervall von a nach b 1 sein muss und so würden wir das sehr mit hilfe eines bestimmten integrales ausdrücken
6:27 also noch mal richtig zum festhalten a und b sind die grenzen des intervalls wo unsere stetige zufalls größe definiert ist
6:36 wenn wir jetzt die wahrscheinlichkeit für ein zwischen r&s ausrechnen wollen wobei natürlich er und es innerhalb des
6:46 äußeren intervalls von a- und b-ligen muss also wenn wir diese wahrscheinlichkeit bestimmen wollen wobei ist übrigens ganz egal ist ob wir
6:55 eher kleiner ex kleines schreiben oder auch eher kleiner gleich ex kleiner gleich es bei der der einzelne wert eher oder es die wahrscheinlichkeit 0 hat wie
7:04 wir oben gesagt hatten wenn wir diese wahrscheinlichkeit für dieses intervall ausrechnen wollen dann müssen wir unsere dichte funktion in den grenzen r&s
7:19 integrieren ok ich hoffe mit diesem ersten video über stetige zufalls größen ist dir jetzt der unterschied zur diskreten
7:28 zufalls größen nochmal klar geworden und welche bedeutung die wahrscheinlichkeit dichter beziehungsweise dichte funktion hierbei hat in weiteren videos werden
7:36 wir noch mit beispielen näher darauf eingehen und später auch eine ganz wichtige stetige dichte funktion kennen lernen nämlich die gaußsche glockenkurve
7:46 oder sogenannten normalverteilung bevor du jetzt aussteigt gibt dem video fit und hoch ganz dir geholfen hat und falls noch nicht geschehen
7:54 abonniere man kanal und schlägt auf die glocke damit auch in zukunft keine videos mehr verpasst und sein stil holzschlag dann unterstützt und einen
8:00 kanal zum viele nicht bei den mitschülern und lehrern weiter gestaltet diesen kanal mit trichtern feedback wie die wünsche anregungen und nach einem
8:08 kommentare bei instagram und vorfand 13 vorbei wir wollen auch dort ansonsten noch viel spaß mit fortschreitender werden wir
8:16 sehen stattdessen videos bis dahin tschüss