Gleichung einer TANGENTE bestimmen – Tangentengleichung aufstellen in einem Punkt
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=fxz3Hdx4XpM

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hallo ihr Lieben sehr schön dass ihr wieder mit dabei seid heute möchte ich euch zeigen wie man eine tangentengleichung aufstellen kann wenn
0:07 man eine Funktion bekommt und eine Stelle in der man diese Tangente eben aufstellen soll und bevor wir an die Rechnung gehen schauen wir uns das mal
0:14 ganz kurz noch anschaulich an was das überhaupt zu bedeuten hat hier habe ich mal die Funktion gezeichnet die wir gegeben bekommen haben und das ganze
0:23 soll jetzt an der Stelle x = 2 passieren also hier gehen wir mal an den Grafen und sollen hier die Tangente einzeichnen was ist eine Tangente überhaupt das ist
0:33 eine spezielle gerade also letztendlich ist es einfach eine gerade die sich aber an dieser Stelle an den Grafen anschmiegt also ihr schaut wie der Graf
0:44 hier verläuft und dann holt ihr euer Lineal und zeichnet dann die gerade die sich hier so schön anschmiegt ja sieht eigentlich ganz gut aus was ich hier
0:51 gemacht habe ich habe das noch mal schön hier zeichnen lassen hier sieht man schön an der Stelle 2 haben wir hier diese gerade und das ist unsere gesuchte
1:00 Tangente eine geraden Gleichung an sich sieht ja immer so aus y = M* X + B das kennt ihr mit Sicherheit und unsere Aufgabe ist es jetzt m und B zu finden
1:12 und wenn wir das haben dann haben wir die tangentengleichung gefunden ist also kein Hexenwerk und man kann auch immer gleich Vorgehen also hier ist eine
1:19 Übersicht falls ihr eure tangentengleichung aufstellen sollt könnt ihr in diesen drei Punkten Vorgehen als allererstes berechnen wir
1:26 mal überhaupt den Punkt in dem die Tangente aufgestellt werden soll ab und zu ist der gegeben ab und zu ist nur der x-Wert von diesem Punkt gegeben so wie
1:35 hier jetzt wir wussten die ganze Zeit schon X soll 2 sein aber was ist denn mein ywerert in diesem Punkt und wenn ihr das nicht gezeichnet habt dann
1:45 müssen wir den ausrechnen ist ja aber ganz easy so wie ihr immer y Werte dann ausrechnet ihr setzt die 2 in die Funktion ein also berechnet F von 2
1:56 einfach 2 ho 3 - 6 x 2 ho 2 + 9 x 2 reingesetzt ausgerechnet kommt jetzt zufälligerweise wieder 2 raus wie wir hier auch sehen 2 2 ist unser Punkt hier
2:08 den haben wir jetzt ausgerechnet ab und zu habt ihr den Punkt auch schon in der Aufgabenstellung gegeben deswegen Haken dran Nummer ein erledigt Teil 2 m
2:19 berechnen jetzt geht's darum von unserer geraden Gleichung das M herauszufinden und das M in so einer Geraden Gleichung steht ja für die Steigung der Geraden in
2:32 unserer Funktion gibt's ja auch eine Steigung die man berechnen kann und das ist macht man ja normalerweise dann über die erste Ableitung also die erste
2:41 Ableitung gibt uns die Steigung an die Tangente ist ja jetzt genauso eingezeichnet dass Sie genau die Steigung in diesem Punkt hat weil wir
2:52 haben die ja perfekt so dranelegt dass sie sich hier so perfekt anschmiegt also muss meine gerade die ich hier angelegt habe dieselbe Steigung haben wie die
3:04 Funktion in diesem Punkt also rechne ich die Steigung dieser Funktion in dem Punkt einfach aus mit der ersten Ableitung bilden wir überhaupt mal die
3:14 erste Ableitung die haben wir ja noch gar nicht ableiten bedeutet die Hochzahl kommt nach vorne also 3x und die Hochzahl wird eins kleiner zu 2 hier
3:25 wird die Hochzahl mit dem da vorne dran auch noch verrechnet also z mal -6 sind -12 x wird ein kleiner die Hochzahl und hier fällt das X einfach weg beim
3:37 Ableiten und die neun bleibt übrig das wäre jetzt überhaupt mal die erste Ableitung und wir interessieren uns jetzt für welche Ableitung die erste
3:46 Ableitung in welchem Punkt na ja natürlich in dem Punkt der uns hier interessiert nämlich bei der 2 weil das soll ja oder unsere gerade soll ja genau
3:54 die Steigung haben wie die Funktion in diesem Punkt also packen wir die zwei da rein und rechnen das hier in der ersten Ableitung aus für jedes x die Z rein
4:05 wenn ihr das ausrechnet kommt man auf -3 das wäre jetzt die Steigung an der Stelle 2 und damit auch die Steigung von unserer geraden oder unserer Tangenten
4:19 also m wäre -3 und das können wir jetzt hier in unserer geraden Gleichung auf jeden Fall schon mal ersetzen dass wir hier sagen
4:28 -3 mal X + B wäre schon mal eine Weiterentwicklung von unserer tangentengleichung okay das M hätten wir damit gefunden dann kommen wir jetzt zum
4:39 letzten Schritt das B berechnen und das ist jetzt auch nicht mehr so schlimm wir haben ja schon ein Teil von unserer tangentengleichung das M haben wir schon
4:47 gefunden jetzt nur noch das B und was haben wir noch nicht benutzt na ja wir wissen dass der Punkt dieser 22 Punkt da wo wir die Tangente eben
4:59 reingelegt haben dieser Punkt der muss ja auch auf unserer Tangenten liegen muss weil da haben wir se ja reingelegt deswegen können wir einfach sagen okay
5:10 der x-Wert können wir hier ersetzen den y Wert können wir hier ersetzen und dann das B einfach ausrechnen also einfach den Punkt einsetzen für x und y schön
5:20 auf die Reihenfolge achten also X ist ja die erste Koordinate y ist die zweite Koordinate einsetzen und B ausrechnen was hätten da stehen
5:31 2 = -3 x 2 und + das B da steht also -6 + B und wenn wir jetzt noch + 6 rechnen steht das B alleine 2 + 6 sind 8 t unser B haben wir gefunden und damit sieht
5:51 unsere tangentengleichung folgendermaßen aus -3 war m dann kommt das X und dann kommt das B hinten dran mit der + acht das ist sie also immer diese Schritte
6:02 zuerst den Punkt ausrechnen dann die Steigung ausrechnen dann den Punkt einfach nur noch einsetzen den wir gefunden hatten dann hoffe ich dass es
6:09 euch geholfen hat ihr eure Tangenten jetzt aufstellen könnt und wir uns bei einem nächsten Video sehen macht's gut