DETERMINANTE 3x3 Matrix berechnen – Regel von Sarrus, Matrizen, Beispiele
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=dJ7d9wwC2sw

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 Hallo ihr Lieben, heute möchte ich zusammen mit euch Determinanten berechnen und zwar Determinanten von dreikreuz dreim Matrizen. Das sehen wir
0:08 hier schon eine quadratische Matrix, drei Spalten und drei Zeilen. Und wir werden dafür die Regel von Sarus benutzen. So sprechen wir sie zumindest
0:17 aus oder Sarus. Aber eigentlich ist er Franzose, habe ich gerade eben gelesen und er heißt Sarü. Aber ihr könnt einfach Sarus sagen oder ihr wisst,
0:27 welche Regel ihr anwendet, dann ist ja alles gut. So und zwar funktioniert das folgendermaßen. Die gilt aber nur bei
0:33 dreikreuz drei Matrizen. Wir schreiben, damit wir gleich eine bessere Übersicht haben, die ersten zwei Spalten einfach noch mal hier hinter die Matrix. Das hat
0:42 keine Bedeutung für die Matrix an sich, also die gehört jetzt nicht dazu, aber zum veranschaulichen, was wir hier machen, ist es ein super gutes Prinzip.
0:51 Also die ersten beiden Spalten einfach hinter die Matrix schreiben und dann werden Diagonalen entstehen, nämlich die hier, also von ganz vorne einmal so
1:00 durch, dann vom zweiten Element durch und vom dritten Element durch. Das sind Diagonalen und die werden wir jetzt also auf der Diagonalen, die Zahlen werden
1:11 miteinander multipliziert. Vielleicht starten wir damit erstmal. Dann hätten wir 1* -1* 4. Das sammeln wir. Also 1* -1* 4, dann kommt ein plus.
1:26 Dann die zweite Diagonale 2* 1* 3. Also auf der Diagonalen wird multipliziert, dann kommt noch mal ein Plus. Und jetzt die dritte Diagonale. 3* 2* 2. Jetzt
1:40 sind wir aber noch nicht fertig. Das war nur die erste Zeile davon. Es sind nämlich noch andere Diagonalen entstanden und zwar wenn man jetzt von
1:48 unten losläuft, hier die Diagonale, also vom ersten Element aufwärts, vom zweiten Element aufwärts und vom dritten Element
1:58 aufwärts. Und die werden jetzt mit einem Minus verbunden. Also jetzt kommt kein Plus mehr, sondern ein minus. Jetzt werden die Diagonalen aber auch
2:09 multipliziert. Also 3* -1* 3. Dann die nächste auch wieder mit einem Minus verbinden. 2* 1* 1 und auch jetzt hier wieder ein -4* 2* 2.
2:28 So, je mehr Nullen noch Matrix drin sind, desto angenehmer ist es. Hier ist jetzt keine einzige Null, aber gut. Wir haben noch andere Beispiele. Da werden
2:35 wir es dann sehen, was da dann passiert. Das heißt, jetzt sind wir fertig und jetzt wird das Ding nur noch ausgerechnet. Ich würde euch empfehlen,
2:42 bevor ihr das in den Taschenrechner eintippt, so ein bisschen die Sachen zu vereinfachen. Also hier jeden Teil einzeln auszurechnen. Meistens sind die
2:49 Zahlen so einfach, dass man das gut machen kann. Also hier vorne hätten wir -4, dann 6 und 12. Mit dem Vorzeichen natürlich aufpassen.
3:00 Minus und minus wird hier wieder + 9. -2 und das letzte -16. Und dann tippt ihr das in Taschenrechner ein und wenn ihr das macht, kommt da
3:12 insgesamt fünf raus. Beim Determinanten ausrechnen, also wenn man das hier so mit der Regel macht, verrechnet man sich so gut wie immer. Von daher würde ich
3:22 euch echt raten, rechnet das zweimal durch zumindest oder rechnet es einmal und dann vielleicht noch so einer Schnellform
3:29 ähm, dass ihr guckt, dass ihr zweimal dasselbe Ergebnis raus habt und dann könnt ihr eich auch relativ sicher sein, dass das richtig ist. Ähm, es ist nicht
3:37 so unnormal, dass bei zwei Durchgängen tatsächlich zwei unterschiedliche Ergebnisse rauskommen. Das passiert dann doch relativ schnell. Aber das war's
3:45 schon. Das ist die Regel von Saros oder Sar. Genau. Und jetzt schauen wir das einfach an anderen Beispielen und zwar hier
3:55 gerade eben gerade noch von der Schreibweise, dass hier sind jetzt so senkrechte Striche. Das steht auch für die Determinante. Also, es gibt ja
4:02 unterschiedliche Varianten. Entweder steht da de von dieser Matrix, dann weiß man, man hat die Determinante zu berechnen. Oder da steht kein DE, aber
4:11 dafür senkrechte Striche, also nicht so gebogene Klammern, wie die Matrix immer geschrieben wird, sondern so senkrechte Striche. Das steht dann auch für die
4:19 Determinante. Also hier sollen wir jetzt die Determinante berechnen. Was machen wir? Genau wie eben wird jetzt die Diagonalen
4:29 äh miteinander multipliziert. Auch hier, wenn ihr jetzt direkt anfangen würdet, seht ihr, dass die zweite Diagonale hier jetzt endet. Deswegen schreibt
4:35 zuallererst die ersten beiden Spalten hinten dran, damit ihr es leichter habt von euren Diagonalen. Also, das machen wir jetzt. Dann werden
4:45 die Diagonalen markiert erstmal und dann gehen wir ans multiplizieren null mal. Dann braucht ihr gar nicht weiterzum machen. Diese
4:55 Eintrag wird null. Also die erste Diagonale wird schon mal null. Ihr könnt sie hinschreiben, wenn ihr wollt oder sie einfach ignorieren. Dann die zweite
5:03 einmal einmal 1. Okay, ist auch gut. Also mit einem Plus verbinden 1 noch mal mit einem Plus verbinden und die letzte heißt 2 x 3* 1, das sind sechs. Also ihr
5:12 müsst gucken, wie ihr es hinschreiben müsst, ob ihr wirklich 0 x 2* 0 hinschreiben müsst oder ob ihr zumindest mal die Sachen schon ausrechnen könnt,
5:21 vereinfachen könnt. Dann müsst ihr nicht mehr so viel schreiben, dann ist man auch um einiges schneller fertig. Das hier war jetzt also die obere und
5:29 dann hätten wir noch die unteren Diagonalen und auch da sehen wir schon ein paar Nullen drin. Also das ist eigentlich ganz angenehm. Wir verbinden
5:39 das mit einem Minus. Jetzt wird unten gerechnet. 1* 2* 2 sind 4 - 1 einmal 0. Könnt ihr ignorieren ist 0 - 0 mal. Okay, egal was hinten dran kommt, das
5:51 Ding ist 0, bleibt dann auch 0. Und wenn man das jetzt ausrechnet, kommt man auf 3. Also hier hätten wir die Determinante von 3. Also ihr habt das
6:02 Prinzip verstanden. Hier als letztes Beispiel jetzt noch eine mit vielen Minussen, wenn man da gerne und keinen Nullen. Also hier die ist voll besetzt
6:10 ähm und viele negative Werte. Natürlich gibt's auch die Matrizen mit Brüchen und so Zeugs. Also lasst euch davon nicht verwirren. Das Prinzip bleibt dasselbe.
6:21 Also schreibe ich jetzt mal viele Zahlen hier hinten noch mal dran. Also, die ersten zwei Spalten 1 - 2 und es wird mit den Diagonalen
6:34 multipliziert. Am Anfang, um das ein bisschen in das System zu kommen, markiert euch die Sachen ruhig, dass ihr oben mit Plus rechnet und dass ihr unten
6:44 mit Minus rechnet, bis ihr eure Struktur im Kopf habt und dann auch ein bisschen schneller durch die Aufgaben durchgehen könnt, weil das muss man ja ziemlich
6:55 häufig machen, Determinanten berechnen und dann ist es ganz gut, wenn man da flott drin ist und sicher vor allem. Also 3* -2*
7:04 4. Ich schreib es erstmal noch mal hin, dass wir es Schritt für Schritt durchgehen. Dann kommt ein Plus, weil wir noch oben sind. 1*
7:12 -2* -1 ein + und die dritte 2 x 1* 2. Gut, jetzt gehen wir wieder nach unten mit einem US
7:25 -1* -2* 2, das sind die Einträge. Dort ein Minus hinmachen, weil wir unten sind. 2* -2* 3
7:39 relativ viele Zahlen unterwegs, noch mal ein minus und die letzte Diagonale, wo ist sie hier 4 1 und auch hier würde ich euch sagen,
7:48 rechnet zuerst mal ein bisschen was aus. 3, also -6 und 4, also mal 4 sind -24. -2* -1 sind 2 x 2 sind 4.
8:04 Hier haben wir vom Vorzeichen auf jeden Fall ein Minus und 2* 2 sind 4. Dann haben wir hier ein Plus vom Vorzeichen. 4 x 3 sind 12 und hinten noch mal eine
8:16 4. Und wenn ihr das dann ausrechnet, kommt ihr auf -14. Genau, das ist die Regel von Sarus oder die sarussische Regel, die Regel von
8:25 Sarus oder die Regel von Sarü. Also viele Namen, also eigentlich sind ist es immer derselbe Name, aber verschiedene Aussprachen für diese Regel. Ich hoffe,
8:34 dass ihr jetzt wisst, wie sie geht, aber falls ihr trotzdem noch Fragen habt, dann meldet euch einfach wie immer in den Kommentaren. Macht's gut.