Beschränktes Wachstum
mathepasst
https://www.youtube.com/watch?v=dFNSXGkt7c4

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 beschränkte wachstums und abnahme funktionen in diesem video erkläre ich dir wie eine beschränkte wachstums funktion oder eine beschränkte abnahme
0:09 funktion aufgebaut ist welche eigenschaften sie hat und wie man die parameter der funktion versteht und bestimmen kann
0:16 wir starten sofort mit einem beispiel sarah setzt nudelwasser auf das wasser hat zu beginn eine temperatur von 15 grad das wasser kocht bei 100 grad
0:26 wir wollen jetzt eine funktion aufstellen die genau diese temperaturzunahme beschreibt der startwert beträgt 15 grad der sättigung
0:35 wert also der wert den die funktion nicht übersteigen kann beträgt 100 grad dh die temperatur wächst zwischen 15 und 100 grad an
0:45 wir zeichnen diese beiden werte in ein koordinatensystem den startwert markiere ich als punkt auf der y achse und für die sättigung menge zeichne ich eine
0:55 gerade genau bei 100 grad die temperaturdifferenz zwischen dem startwert und der sättigung menge beträgt in unserem beispiel 85 grad
1:05 das markiere ich hier auch an der y achse und genau diese temperaturdifferenz die muss überwunden werden damit ich von 15 grad der hitze
1:15 auf 100 grad ich brauche also einen anstieg um 85 grad eine beschränkte wachstums funktion setzt sich zusammen aus dem sättigung
1:24 schwert und einer exponentiellen abnahme funktion die funktion könnte so aussehen n von tee ist gleich 100 - 85 x 0,7 hochtief wir prüfen ob diese funktion
1:37 tatsächlich ein startwert von 15° besitzt indem wir die zeitgleich 0 1 sätzen für c gleich null wird aus 07 hoch 0
1:47 die zahl eins also bleibt zum rechnen übrig 100 - 85 und das ist genau 15 also der staat werth ist tatsächlich 15 grad in der funktions gleichung kommt
2:00 der startwert selbst aber gar nicht vor aber die differenz zwischen startwert und sättigung menge also die 85 grad möchtest du den startwert wissen wenn du
2:09 eine funktionsgleiche gegeben hast dann musst du dir diesen startwert berechnen indem du für t0 in die funktions gleichung einsetzt der
2:18 exponentielle teil der funktion ist immer eine exponentielle abnahme das sieht man hier an der zahl 07 es muss eine abnahme funktion seien aber
2:29 wieso es ist doch eigentlich insgesamt betrachtet eine wachstums funktion die frage ist also was nimmt denn hier eigentlich exponentiell ab und die
2:38 antwort darauf ist die differenz zwischen startwert und sättigung menge die sollen mit der zeit verschwinden klein werden dass eben die temperatur
2:48 vom startwert 15 grad auf die 100 grad ansteigen kann das modell einer beschränkten wachstums funktion lautet ganz allgemein von tee
2:57 ist gleich es - wie malaria es ist immer der sättigung schwert und an dem - in der funktions gleichung erkennst du dass es sich um eine
3:08 wachstums funktion handelt denn das - bewirkt dass der startwert kleiner ist als der sättigung wert und den startwert können wir uns immer sehr leicht
3:18 ausrechnen nämlich indem wir für 10 0 1 setzten dann bleibt von der funktion übrig n von null ist gleich ssb weil eben hoch t also in dem fall hoch 0 1
3:31 ist und daran siehst du der startwert weil er sich mit es - berechnet muss kleiner sein als die zahl es wir schauen uns ein beispiel zu einer beschränkten
3:42 abnahme funktionen ein thema direkt nach dem aufgießen eine temperatur von 88 grad die raumtemperatur beträgt 20 grad
3:52 nach zehn minuten ist der tee auf angenehme 55 grad abgekühlt so dass wir ihn trinken können wir schreiben uns zuerst mal den
4:00 sättigung wert und den staat wert auf der sättigung es wert sind ganz offensichtlich 20 grad denn die temperatur vom tee kann ja niemals
4:09 kälter werden als 20 grad weil das die raumtemperatur ist der startwert beträgt 88 grad und wieder interessant ist hier welche temperatur differenz muss
4:20 überwunden werden wir berechnen also die differenz zwischen 88 und 20 und das sind 68 grad wir müssen jetzt also 68 grad an
4:30 temperatur verlieren und deshalb heißt unsere funktionen von tee ist gleich 20 + 68 mal hoch t wir haben jetzt ein plus zwischen die sättigung menge und das b
4:45 gesetzt aus dem grund weil der staat wert oberhalb von der sättigung menge liegen soll
4:51 das heißt wenn wir uns den startwert jetzt hier nochmal berechnen dann setzen wir für t0 in die funktions gleichung ein und es bleibt zum rechnen
5:00 übrig 20 + 68 und das sind genau die 88 grad die wir als staat temperatur brauchen jetzt möchten wir noch dass der tee nach zehn minuten genau 55 grad
5:11 beträgt und dazu setzt sich diese beiden werte in unserer funktionsmodell ein und erhalte die gleichung 55 ist gleich 20 + 68 mal hoch zehn ich löse diese
5:25 gleichung und bekomme für das ergebnis 0,93 gerundet raus die funktion die die abnahme jetzt richtig beschreibt lautet also in von tee ist gleich 20 + 68 mal
5:39 0,93 hoch und ihr seht wieder ist der exponentielle teil der funktion eine abnahme funktion weil die temperatur differenz von 68 grad abgebaut werden
5:50 muss damit die temperatur von 88 grad runter auf 20 grad kühlt das allgemeine funktionsmodell einer beschränkten abnahme funktion lauteten
6:01 von tee ist gleich s + b x t es ist hier wieder der sättigung wert und an dem plus in der funktions gleichung erkennst du dass es sich um
6:11 eine abnahme funktion handeln muss das plus bewirkt dass der staat wehrt größer als der sättigung wert ist den startwert kannst du dir immer ausrechnen wenn du
6:21 für t0 in die funktion einsetzt und dann bleibt übrig es + b für die berechnung vom startwert bevor wir jetzt noch zwei beispiele rechnen schauen wir uns hier
6:31 die theorie nochmal gebündelt an für eine beschränkte wachstums funktion gilt die form von tee ist gleich es - b x t und für eine beschränkte abnahme
6:42 funktion gilt n von ti ist gleich s + b x h hoch t der parameter b ist in beiden fällen die differenz zwischen startwert und
6:51 sättigung menge der parameter ist immer eine zahl zwischen null und eins weil der exponentielle teil der funktion immer eine abnahme funktion darstellen
7:01 muss den startwert kannst du dir berechnen indem du 0 einsetzt und das bedeutet bei einer wachstums funktion rechnest du n von null ist gleich es - b
7:11 und bei einer abnahme funktion rechnest du n von null ist gleich s + b du weißt ja dass man exponentielle funktionen in zwei formen darstellen kann entweder in
7:21 der darstellung hochtief oder in der darstellung i hoch lambda multi- und das bedeutet für die beschränkten funktionen gibt es auch diese beiden darstellungen
7:30 und wir starten wieder mit einem beispiel durch helena möchte himbeeren aus dem garten einfrieren die himbeeren haben eine temperatur von
7:38 16 grad und in der tiefkühltruhe herrschen eisige minus 18 grad nach vier stunden sind die ihm werden bereits gefroren mit einer temperatur
7:47 von minus drei grad unser modell heißt n von tee ist gleich s + b x h hoch wir wählen dieses modell weil es sich um eine abnahme funktion
7:58 handelt wir wollen ja schließlich die temperatur darstellen zwischen 16 grad bis runter auf minus 18 grad wir notieren uns den sättigung wert und den
8:08 startwert und rechnen uns im anschluss b der sättigung wert sind minus 18 grad der startwert sind 16 grad die differenz
8:18 zwischen startwert und sättigung mängel sind 34 grad und deswegen ist unser parameter b die 234 das funktionsmodell heißt jetzt also in von tee ist gleich -
8:30 18 + 34 mal hoch t den parameter a berechnen wir indem wir die temperatur nach vier stunden in das funktionsmodell einsetzen
8:40 wir haben nach vier stunden minus drei grad also heißt unsere gleichung -3 ist gleich - 18 + 34 mal hoch vier wir lösen diese gleichung und dann kommt für a
8:55 gerundet raus 0,8 15 unsere funktions gleichung heißt jetzt also and von tee ist gleich - 18 + 34 x 0,8 15 hochtief daniel schickt über einen messenger
9:08 dienst ein geburtstags video in seine familiengruppe in der familiengruppe sind 25 mitglieder nach 40 minuten haben bereits 20 mitglieder das video gesehen
9:20 der sättigung wert ist 25 der startwert ist eins weil wir gehen davon aus daniel ist selbst ein mitglied und hat das video auch schon gesehen die
9:30 differenz zwischen startwert und sättigung menge sind 24 also ist der parameter b die zahl 24 unser funktionsmodell heißt jetzt also en von
9:40 tee ist gleich 25 24 mal hoch t um den parameter zu berechnen setzen wir jetzt noch die information ein dass nach 40 minuten 20 mitglieder das video gesehen
9:53 haben also heißt die gleichung 20 ist gleich 25 - 24 mal hoch 40 wir lösen das ganze nach auf und
10:03 erhalten aber ist gleich 0,96 2 dann setzen wir das ganze in das funktionsmodell ein und erhalten die funktion and von tee ist gleich 25 - 24
10:14 x 0,9 62 hoch t wenn wir jetzt in die funktion 0 1 setzten dann sehen wir dass der staat wehrt auch tatsächlich eins
10:22 trägt die geschwindigkeit eines fallschirmspringers kann durch folgende funktionen beschrieben werden v von tee ist gleich 50 mal klammer auf 1 - 08 27
10:33 hoch t klammer zu das schaut irgendwie ein bisschen anders aus als die beschränkten funktionen die wir in den beispielen vorhergesehen haben
10:41 das liegt daran dass die zahl 50 sie einfach ausgeklammert wurde das können wir natürlich auch wieder rückgängig machen und hin schreiben v
10:49 von tee ist da ich 50 - 50 x 0,8 27 hoch t und jetzt sehen wir das ist genau das modell von einer beschränkten wachstums funktion der sättigung wert beträgt hier
11:02 50 und der parameter b ist ebenfalls 50 und das bedeutet die differenz zwischen startwert und sättigung menge ist 50 also muss der staat wehrt 0 sein das
11:13 kann ich mir auch einfach ausrechnen in dem ich in die funktion für t 0 1 setzte dann steht da von null ist gleich 50 50 ist gleich null
11:23 ihr seht also bei beschränkten wachstums funktionen darf der staat wehrt durchaus auch mal die zahl null sein das macht hier natürlich auch sinn weil die
11:31 geschwindigkeit des fallschirmspringers am anfang 0 ist jetzt können wir mit der funktion noch eine kleine aufgabe lösen berechnen nach wieviel sekunden der
11:39 fallschirmspringer 99 prozent seiner endgeschwindigkeit erreicht hat die endgeschwindigkeit ist hier der sättigung wert also 50 meter pro sekunde
11:48 wir setzen in die funktion ein und zwar für die geschwindigkeit 0,9 und 90 x 50 ist gleich 50 mal in klammern 10 827 hoch sie das ganze lösen wir auf nach t
12:02 und dann kommt aus 24,2 das heißt nach gerundet 24 sekunden erreicht der fallschirmspringer schon 99 prozent seiner endgeschwindigkeit so
12:14 jetzt sind wir schon fast am ende des videos angekommen und du hast dich vielleicht zwischendurch gefragt wie löst man denn die gleichungen die in den
12:21 beispielen vorgekommen und genau das zeige ich dir jetzt bleibt einfach noch kurz dran und schau dir an wie die umformungen funktionieren
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