Abstand Punkt - Ebene über HNF (Hesse'sche Normalform)
Mathe - simpleclub
https://www.youtube.com/watch?v=crt26Zv6uCE

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 das ist Jan im letzten Video ging es über die armstandsberechnung von einem Punkt zu einer Ebene das hatten wir damals mit einer lot gerade gelöst Jan
0:09 findet den alten Weg viel zu lang aber freut euch denn es geht auch einfacher wie genau erfahrtte in diesem Video [Musik]
0:37 dieser alte Knacker links ist Ludwig Otto Hesse ich verrate euch schon mal so viel ihr könnt ihm ziemlich dankbar sein irgendwann zwischen seiner Geburt und
0:46 seinem Tod hat er nämlich die hässische Normalenform definiert sie ist eigentlich wie die normale Normalenform nur dass der normalen Vektor n bei der
0:55 hässischen Form genau die Länge eins hat dann bezeichnen man den Vektor n als normalen Einheitsvektor weil er eben genau eine Einheit nämlich eins lange
1:05 ist nimt man diese ebenenform alss grrundlage so ist die Abstandsberechnung zwischen Punkt und Ebene im Raum viel leichter und das freut nicht nur
1:16 uns wir nehmen also die hässische normalen Form als Grundlage weil es immer doof ist in der normalen Form zu rechnen schreiben wir sie mal um zur
1:25 Koordinatenform das ist die ganz gewöhnliche Koordinatenform allgemein aus gedrückt um sie jetzt aber zur hässischen Koordinatenform zu machen
1:33 müssen wir noch durch den Betrag des Normalenvektors teilen wir verzichten hier jetzt mal auf eine genauere Herleitung oder Erläuterung aber grob
1:41 kann man es sich so vorstellen bei der hässischen normalen Form ist der normalen Vektor n ja genau ein lang und deshalb müssen wir auch die
1:49 Koordinatenform auf die Einheit ein Kürzen deshalb teilen wir durch die Länge des alten
1:57 Normalenvektors na ja egal merkt euch einfach dass diese Form die hässische Koordinatenform ist weil ihr jetzt bestimmt noch nicht wisst was mit dem
2:04 Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene zu tun hat machen wir mal ein Beispiel das geile ist nämlich dass diese ebenenform den Abstand eines
2:12 Punktes zur entsprechenden Ebene angibt die Beispielaufgabe lautet bestimme den Abstand des Punktes p9- 41 von der Ebene E die Ebene E ist 3x1 -
2:24 4x3 = -7 um jetzt den Abstand auf einfachem Weg zu berechnen müssen wir zunächst die Ebenengleichung in die hässische
2:32 Koordinatenform umwandeln dazu hauen wir die -7 erstmal auf die andere Seite das ist nämlich ganz ganz wichtig -7 auf der anderen Seite wird dann also zu +
2:45 7 bevor ihr also eine Ebene umformt zur hässischen Form schreibt ihr erstmal alle Zahlen und XE auf eine Seite sod dass irgendwas = 0 dar
2:55 steht wichtig später ist dann auch nur der Teil irgendwas wie aus der Formel ersichtlich brauchen wir noch den Betrag des normalvektors
3:05 damit wir die Ebenengleichung durch diesen Teilen können um den Betrag eines Vektors zu bilden brauchen wir wie immer die
3:12 wurzelformel 3 Z Quadrat 9 und + 4 zum Quadrat ist dann gesamt 25 und die Wurzel aus 25 ist 5 der Normalvektor hat also die länge 5 so damit haben wir
3:26 alles was wir brauchen um die hässische Form aufzustellen wie aus der Formel ersichtlich steht oben der irgendwas Teil der
3:34 Ebenengleichung also 3x1 - 4x3 + 7 dann ist geteilt durch den Betrag des Normalenvektors den haben wir gerade ausgerechnet also geeilt durch 5 D ist
3:47 der Abstand des Punktes P von der Ebene und das absolut geniale an der häsischen Koordinatenform ist jetzt dass wir einfach nur den Punkt in die Form
3:55 einsetzen müssen und dann bekommen wir den Abstand die 9 also für X1 denn die 9 ist ja die X1 Koordinate des Punktes X2
4:05 gibt's nicht und die1 setzen wir für X3 ein das gibt dann 3* 9 - 4* 1 + 7 dur 5 was nichts anderes ist wie 27 - 4 + 7 dur 5 27 - 4 sind 23 + 7 s 30 und 30 dur
4:27 5 S 6 der Abstand des Punktes P von der Ebene beträgt also sechs Längen einhalten formt man also eine Ebene in die hässische Form um und setzt einen
4:37 Punkt ein so erhält man einfach den Abstand des Punktes von der Ebene das ist weitaus einfacher als über die loadgade so jetzt noch eine
4:47 Beispielaufgabe die uns unser Matthe Lehrer ständig erklärt hat Bo Animation welche Punkte p00 K haben den Abstand 3 von der x1 x2 Ebene wenn man das so
5:03 liest kann man sich kaum vorstellen W halt man verdammt wenn man das so liest kann man sich jetzt scheiße läuft echt nicht W man das so liest kann man sich
5:13 das kaum vorstellen deshalb machen wir eine Skizze da NS egal so das orangene ist die x1 x2 Ebene und die Punkte P in Abhängigkeit von K liegen irgendwo auf
5:25 der x3achse also hier hier hier oder auch hier die orangene Ebene hat die Koordinatengleichung X3 = 0 weil jeder Punkt in der Ebene die Eigenschaft hat
5:38 dass die X3 Koordinate ull ist im Folgenden werden wir jetzt wieder die hässische Form aufstellen weil die ja den Abstand eines Punktes von der Ebene
5:47 angibt dafür brauchen wir den Betrag des Normalenvektors der ist ganz einfach 1 weil die Wurzel aus 1 ist 1 damit ist
5:59 die hässische Koordinatenform X3 dur 1 und das entspricht dem Abstand d wir wissen dass der Abstand 3 sein muss deshalb haben wir ganz einfach X3 =
6:12 3 jetzt ganz wichtig ganz ganz ganz ganz ganz der Abstand ist ja immer positiv deshalb müssen wir hier X3 = Betrag von 3 schreiben würde nämlich mal -3
6:26 rauskommen so würde jeder normale Mensch sagen der Abstand sei 3 und nicht -3 also hier wichtig Betrag so jetzt setzen wir den
6:35 allgemeinpunkt 00 K in die hässische Form ein und haben dann K = Betrag von 3 will man eine betragsgleichung lösen und das hier ist jetzt eine betragsgleichung
6:46 so muss man einen fallunterschied machen Fall 1 ist dass K 3 sein muss Fall 2 ist dass K-3 sein muss denn K soll ja Betrag von 3 sein und Betrag von 3 ist entweder
6:59 3 oder 3 ihr merkt euch also hiermit rechnet ihr den Abstand mit der hässischen Form aus so vergesst niemals nie nie nie den
7:10 Betrag es sind oft Aufgaben gefragt wie z.B selbst bei uns im Abi dass man Punkte bestimmen soll die einen bestimmten Abstand zu einer Ebene haben
7:19 dann kann man das sehr leicht mit der hsischen Koordinatenform lösen muss dann aber darauf achten dass man einen Fallunterscheidung macht beim Lösen der
7:27 betragsgleichung es gibt dann nämlich zwei Lösungen so das war's mit unserem Video merkt euch einfach dass man die
7:36 hässische Koordinatenform erhält wenn man die komplette normale Koordinatenform durch den Betrag des normalenvekektors teilt und die
7:43 hässische Koordinatenform gibt dann den Abstand eines Punktes zur Ebene an auf unserer Website findest du passende Übungsaufgaben und eine Zusammenfassung
7:52 zu diesem Thema als Download wir sind the simple mats und wünschen dir viel Erfolg in der Schule und vor allem wchmthematik wenn du keine
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8:25 um Mathe und uns viel Spaß [Musik] [Applaus]