Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung - Beweis ohne Stetigkeit
Mathematik mit Thomas Blankenheim
https://www.youtube.com/watch?v=c4spQZ3UF2I

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 grüß Gott ich gebe zu in letzter Zeit habe ich mich auf meinem Kanal mit eher abgehobenen Themen beschäftigt das liegt vor allem auch an den Ferien nächste
0:08 Woche wenn die Schulzeit wieder losgeht dann werde ich mich wieder mehr auf schulspezifische Themen konzentrieren heute soll es um den Hauptsatz der
0:17 Differential und Integralrechnung gehen dazu gibt es auf diesem Kanal bereits eine Videos ich habe euch diesen Satz bereits vorgestellt ich habe euch auch
0:26 gezeigt an mehreren Beispielen wie man diesen Satz anwenden kann um integrale zu berechnen die zugehören Videos sind unten verlinkt wir schauen uns erst noch
0:36 mal an was der Hauptsatz Aussag dann sage ich noch einige Worte dazu und dann steigen wir in den Beweis ein Hauptsatz der Differential und
0:47 Integralrechnung sei klein f ran integrierbar auf einem geschlossenen interval ab und sei groß F eine Stammfunktion von klein f dann GT
0:57 integral von A bis B von klein f von X DX x= gr F von B- grß F von A es kann sein dass ihr den Hauptsatz bisher in einer anderen Form gesehen
1:09 habt denn häufig wird in der Literatur und auch im Netz bei der Formulierung des Hauptsatzes für die Funktion klein f die stetischkeit vorausgesetzt das hat
1:20 zur Konsequenz dass man die rimanintegrierbarkeit und die Existenz einer Stammfunktion nicht explizit voraussetzen muss beides aus der
1:31 stätischkeit folgt das führt dann dazu dass wenn man die stätischkeit voraussetzt die Aussage des Satzes sich ein klein wenig ändert und es führt auch
1:42 dazu dass der Beweis etwas vereinfacht wird denn man hat mehr Eigenschaften für die Funktion klein f zur Verfügung die man benutzen kann das vereinfacht dann
1:54 in der Tat den Beweis die Variante ohne stätigkeit hat den Vorteil dass man sie auch formulieren kann wenn das Publikum den Begriff stätigkeit noch nicht kennt
2:06 das ist z.B in der Schule der Fall der Begriff steätigkeit wird heute im Matheunterricht im Gegensatz zu meiner Schulzeit damals nicht mehr thematisiert
2:14 und so habe ich dann aber trotzdem die Möglichkeit den Hauptsatz zu formulieren auch wenn der Begriff stätigkeit nicht bekannt ist wie gesagt der Beweis wird
2:23 dadurch ein bisschen trickreicher und er ist deutlich schwerer im Netz und in der Literatur zu finden weil meistens wie gesagt die Stetigkeit vorausgesetzt wird
2:34 insofern habe ich gute Hoffnungen dass ich euch mit diesem Video etwas präsentieren kann was ihr noch nicht kennt und was an anderer Stelle nur sehr
2:43 schwer finden können werdet bevor wir in den Beweis einsteigen möchte ich euch ans Herz legen schaut euch noch mal den Film über die Einführung des
2:51 rieanintegrats für den Leistungskurs an achtet dabei insbesondere auch auf die Sätze die ich unter das Video geschrieben habe ich habe doch
2:59 geschrieben ben dass wenn über den teilintervallen die Funktion kein Maximum und kein Minimum besitzt dass man dann Supremum und Infimum benutzen
3:10 muss das wird jetzt gleich eine Rolle spielen denn wenn wir auf die stetiskeit verzichten können wir von der Existenz von Maximum und Minimum eben nicht mehr
3:18 ausgehen und falls ihr nicht mehr wisst was der Mittelwertsatz der Differentialrechnung aussagt schaut euch bitte dazu auch die zuhören Videos an
3:27 denn auch diesen Satz werden wir gleich benutzen und alle diese Filme die ich gerade erwähnt habe sind unten verlinkt genug der Vorrede jetzt steigen wir
3:38 endlich in den Beweis ein viel Spaß wir werden jetzt gleich wie folgt vorgehen wir werden diesen Term soweit umformen bis wir sehen können dass er gleich dem
3:48 zugehörigen integral ist dazu werf einen Blick auf diese Zeichnung ihr seht hier den Grafen einer Funktion f ich habe den Grafen jetzt stetig gezeichnet aber wir
3:58 werden einer Stelle des Beweises die steätigkeit wirklich verwenden und ich habe das Intervall ab eingeteilt in mehrere gleichgoße
4:09 Teilintervalle die zugehören x-Werte der Randpunkte habe ich bezeichnet mit x0 x1 x2 X3 X4 und X5 im Allgemeinen werden wir aber gleich einteilen betrachten
4:26 nicht nur mit 5 sondern mit n Teil in Intervallen ich benutze jetzt diese Einteilung um diesen Term wie folgt zu schreiben das sieht zwar zuerst nach
4:37 einer Verkomplizierung aus wird die Sache aber gleich zu einer Lösung führen ich subtrahiere groß F von xn - 1 und addiere es direkt wieder und ich
4:50 subtrahiere groß F von xn- 2 und addiere es direkt wieder außerdem schreibe ich statt B xn und statt a x0 diesen Ausdruck werde ich jetzt im nächsten
5:03 Schritt mit dem Summenzeichen schreiben das sieht dann so aus kommen wir zur nächsten Umformung ich habe einfach jeden Summanden mit diesem Ausdruck
5:14 multipliziert dann muss ich natürlich auch durch diesen Ausdruck dividieren damit der Gesamtwert gleich bleibt und jetzt seht ihr hoffentlich dass wir auf
5:25 diesen Teilterm den Mittelwertsatz der differentialrech anwenden können denn nach dem Mittelwertsatz kann ich zwischen diesen
5:36 beiden Stellen hier ein PSI finden sodass diese Gleichung hier gilt das ist genau die Aussage des mittelwertsatzes und statt groß F von PS
5:52 hier ist auch noch der Index e um die verschiedenen PSS zu unterscheiden ist dann gleich klein f von pS I ich habe nun diesen Ausdruck durch F
6:06 von PSI ersetzt und statt dieses Ausdrucks habe ich Delta x geschrieben das kann ich ja machen weil jedes Teilintervall ja gleich lang ist sodass
6:19 der Wert dieses terms unabhängig von i ist er ist die Länge des teilintervalls und da das Intervall ab in nteil Intervalle aufgeteilt worden ist beträgt
6:31 diese Länge B - a durch n und was diese Gleichung hier anschaulich bedeutet das machen wir uns mit dieser Zeichnung klar in jedem Teilintervall gibt es dieses PS
6:47 mit dem zugehören Index das muss nicht unbedingt in der Mitte der Randstellen sein ihr seht manchmal ist das auch versetzt dieses Produkt hier ist nichts
6:57 anderes als der Flächeninhalt des zugehörigen Rechtecks schauen wir uns z.B mal PS3 an F von PS3 ist die Höhe dieses Rechtecks hier das heißt F von
7:12 PS3 mal Delta X ist nicht anderses als der Flächeninhalt dieses Rechtecks und da alle diese Flächeninhalte addiert werden bedeutet das das groß F von B-
7:24 groß F von A nichts anderes ist als der Flächeninhalt dieser gelb gefärbten Figur man muss ein bisschen vorsichtig sein es könnte auch sein dass der Graf
7:35 unterhb der x-Achse verläuft dann wäre das Produkt hier nicht mehr ein Flächeninhalt denn das Produkt wäre ja negativ daher dürfen wir auch an keiner
7:46 Stelle des Beweises wirklich benutzen dass diese Differenz hier ein Flächeninhalt ist denn wie gesagt das muss im Allgemeinen nicht der Fall sein
7:57 trotzdem hat man jetzt schon im Gefühl wie es weitergeht dass dieser Ausdruck hier gleich diesem Flächeninhalt ist gilt ja unabhängig davon wie fein ich
8:07 die Einteilung mache wenn ich sie immer feiner und feiner und feiner werden lasse dann stellt man fest dass diese treppenfigur immer mehr in das
8:17 zugehörige integral übergeht sass sich letztendlich ergibt dass diese Differenz gleich dem Integral ist das war jetzt natürlich anschaulich argumentiert wir
8:27 müssen das jetzt wirklich noch sauber zu Ende beweisen und das machen wir auch wir können F von pcii abschätzen durch das Supremum der Funktion über diesem
8:41 Intervall denn dieses Supremum ist ja die kleinste Zahl die Größe oder gleich allen Funktionswerten in diesem Intervall ist nach unten können wir f
8:52 von pS I durch das zugehörige Infimum abschätzen das heißt wenn ich f von PS e durch das Supremum ersetze dann wird der Ausdruck größer oder bleibt gleich so
9:05 kommt dieses kleiner gleich zustande wenn ich f von P durch das Infimum ersetze wird der Ausdruck kleiner oder bleibt gleich so kommt dieses kleiner
9:14 gleich zustande so dass ich also groß F von B- groß F von A in dieser Weise einschachteln kann ja und jetzt schaut euch mal an was hier und hier steht seht
9:24 ihr was das ist ja das ist die untersum mit dem Index n und das ist die obersumme mit dem Index n wir sind auf der Zielgrade im nächsten Schritt nutzen
9:39 wir die rianintegrierbarkeit von klein f über dem Intervall ab aus wegen der Rian intetegrierbarkeit ist klar dass un und
9:48 on für n gegen Unendlich gegen das Integral konvergieren aus diesem kleiner gleich folgt dann dass dieses Integral kleiner
9:59 GLE groß F von B- gro F von A ist und aus diesem kleiner gleich folgt dass diese Differenz kleiner gleich dem Integral ist ja und wenn etwas kleiner
10:11 gleich etwas ist und außerdem größer gleich demselben ist ja dann kommt letztendlich nur noch die Gleichheit in Frage und daraus ergibt sich integral
10:23 von A bis B von F vonx DX = groß F von B - groß F von A und das war zu zeigen der Beweis ist erbracht
10:37 yippi so ich hoffe das hat euch Spaß gemacht und hat euren Horizont erweitert und ihr bleibt mir hoffentlich gewogen bis dann weiterin noch schöne Ferien
10:48 ciao