"Aufleiten" / Stammfunktion
Mathe - simpleclub
https://www.youtube.com/watch?v=byME15d9oTE

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 so das ist Jan jan hat absolut kein Dunst von Stammfunktion deswegen heute in einem Video alle Grundlagen
0:10 [Musik] sicher habt ihr schon mal was von ableiten gehört wenn nicht dann klickt
0:17 noch mal rein und schaut euch an da habt ihr gelernt wie man von der Funktion die Ableitung bildet kurzes Beispiel die Ableitung von der Funktion FX = 3x hoch
0:27 2 war dann f- von X = 6x Regel Hochzahl nach vorne Hochzahl -1 in Mathe gilt häufig zu irgendeiner Rechenoperation gibt's auch eine Umkehrung klar die
0:38 Umkehrung von Plus ist Minus von mal ist geteilt vom Wurzelziehen ist das potenzieren und von der Ableitung richtig von der Ableitung ist die
0:47 Umkehrung die Stammfunktion das wird durch dieses Schaubild nochmal deutlich klein FX ist die eigentliche Funktion groß FX die Stammfunktion von FX und F
0:58 Strich von X die Ableitung außerdem seht ihr wenn ihr iPhone x ableitet und von dieser Ableitung dann die Stammfunktion bildet erhaltet ihr wieder FXX ist ja
1:08 alles schön und gut aber wie bilde dir jetzt so eine Stammfunktion die Stammfunktion zu beten oder anders gedrückt zu integrieren kann ziemlich
1:15 einfach sein kann aber auch richtig anpissen manchmal gibt sogar gar keine Stammfunktion und manchmal rechnet man ewig um eine zu bekommen aber mal ganz
1:24 langsam fangen wir mal mit einfachen Funktionen an übrigens manche sagen zum Stammfunktion bilden oder integrieren auch umgangssprachlich aufleiten und
1:34 weil wir Umgangssprache mögen sagen wir das auch so genug allgemeines Geschwafel bilden wir mal ganz konkret die Stammfunktion von dieser Funktion her FX
1:43 gleich 3x - 4 das erste was euch bei der Funktion dann klar werden muss ist dass an dem X eigentlich noch ein Hoch eins und hinter der minus vier ein x hoch 0
1:54 steht so die allgemeine Regel sagt jetzt folgendes zuerst wird die hochzahlung um 1 erhöht danach teilt er durch die neue Hochzahl okay machen wir das hochzahlung
2:04 als erhöhen gibt dann drei x hoch 1 + 1 und -4x^0 + 1 jetzt müsst ihr noch durch die neue Hochzeit Teilen vorne ist die neue Hochzahl 1 + 1 also 2 das heißt ihr
2:17 teilt vorne noch durch zwei hinten bei -4x ist die neue Hochzahl 0 + 1 also 1 das heißt ihr teilt vorne dran noch durch eins durch 1 Teilen ändert aber
2:27 natürlich nichts so das war schon fast das könnt ihr noch bisschen vereinfachen hinten kommt jetzt noch die konstante K oder C oder wie auch immer ihr sie
2:36 nennen wollte dazu hinten immer noch plus K rechnen bei der Stammfunktion okay warum aber warum plus
2:45 K ganz einfach nehmen wir als Beispiel die Funktion FX = 2x drückt jetzt mal Pause und bildet die Stammfunktion so wie es gerade gelernt hat mit Hochzahl
2:54 eins erhöhen und durch neue Hochzeit Teilen na seid ihr auf ein Ergebnis gekommen ihr müsst einfach aus dem X ein x hoch 2 machen und dann durch zwei
3:02 teilen also bekommt ihr FX gleich x hoch 2 plus euer kann natürlich dass das K Sinn macht seht ihr wenn ihr euch mal die Funktion und die Stammfunktion
3:12 skizziert weiß ist die Funktion FX = 2x und rot die Stammfunktion x Quadrat die blaue Funktion x hoch 2 + 2 ist jedoch auch eine Stammfunktion von FXX klar
3:24 wenn er die ableitet kommt auch FX raus die blaue Funktion ist ja eigentlich genau die rote Funktion nur eben um zwei nach oben verschoben die haben also die
3:34 selber Ableitung also gibt es zu der Funktion FX mehrer Stammfunktion um genau zu sein sogar unendlich viele denn euer K kann dabei jede beliebige Zahl
3:45 sein nochmal kurz und knackig zum Mitschreiben ihr müsst einfach die Hochzahlen bei den Xen um eins erhöhen und dann durch die neuen Hochzahlen
3:54 Teilen vergesst außerdem das K hinten nicht kleiner Tipp um zu überprüfen ob die Stammfunktion auch stimmt könnt ihr sie einfach noch mal ableiten kommt dann
4:02 die ursprüngliche Funktion raus passt alles klar soweit dann berechnet doch mal die Stammfunktion von FX als Übung drück Pause und versuchte selbst habt
4:11 ihr was aus als Ergebnis müsste dir auf F von X = 3/4x^4 - 2/3 x hoch 3 + 1/2 x^2 - 2x + K gekommen sein wie gesagt einfach alle Hochzahlen um eins erhöhen
4:25 und dann durch die neuen Hochzahlen dividieren und am Schluss dann noch ein Plus K ans Ende klatschen gut läuft bei euch machen wir das ganze mal ein
4:33 bisschen anspruchsvoller zum Beispiel mit der Funktion FX = 5 mal Wurzel von x um von der die Stammfunktion zu bilden schreibt ihr erstmal Wurzel x in x hoch
4:43 0,5 um das ist der entscheidende Schritt eine normale Wurzel könnt ihr in x^1/2 bzw x hoch 0,5 umschreiben dann habt ihr die Funktion FX = 5x hoch 0,5 jetzt
4:56 könnt ihr genauso wie eben Vorgehen den Exponenten erhöht ihr um 1 also 0,5 + 1 = 1,5 und teilt dann durch die neue Hochzahl 1,5 geteilt durch 1,5 ist das
5:08 gleiche wie zwei Drittel zusammen kommt ihr dann auf F von X = 10/3 x hoch 1,5 + K also merken Wurzel aus X ist das gleiche wie x hoch 0,5 und das könnt ihr
5:20 ganz einfach aufleiten steht ein X im Nenner so wie bei dieser Funktion FX = 2 durch 3x hoch 2 schreibt ihr auch zuerst die Funktion um ihr bekommt zwei Drittel
5:31 x hoch -2 klar das X aus dem Keller äh Nenner holen harten Minus in den Exponenten dann könnt ihr wieder einfach Exponenten um 1 erhöhen sprich -2 + 1
5:42 = -1 ist euer neuer Exponent und dann durch den Teilen das bringt euch zu groß FX = -2/3 x hoch -1 + K also hier merken
5:53 steht ein X unter dem Bruchstrich könnt ihr das hochholen indem ihr das Vorzeichen vom Exponenten umdreht kleine Besonderheit schon mal an dieser Stelle
6:01 im Nenner steht ein x^1 das würde ja integriert x hoch 0 ergeben dann müsstet ihr durch 0 teilen und durch 0 Teilen ist voll also gibt's da eine extra Regel
6:12 und zwar gilt die Stammfunktion von 1 durch X ist der natürliche Logarithmus geschrieben LN von X + K was auch Sinn macht da die Ableitung vom Ellen von x 1
6:23 durch XS macht um das X noch betragstriche Rum da der Ellen nur für positive Zahlen existiert LN von der minuszahl ist genauso voll wie durch 0
6:32 teilen unsere alten Kollegen Sinus und Cosinus kann man natürlich auch integrieren merkt euch dazu am besten diesen Kreis
6:40 hier den könnt ihr euch bei den Klassenarbeiten auch ruhig erstmal irgendwo aufs blattgrenzen dann sind der Sinus und kosinusser mich Ruck Zug
6:47 integriert so ist zum Beispiel die Stammfunktion vom Sinus der minus Kosinus natürlich auch da immer noch + K ableiten geht dann genau andersrum im
6:57 Kreis so alles locker machbar bis jetzt aber hier kommt die schlechte Nachricht es gibt auch noch eine Kettenregel und die erinnert verdammt an die Kettenregel
7:06 vom ableiten beim Ableiten rechnet ihr ja mal die innere Ableitung beim Integrieren ist die Regel jetzt geteilt durch die innere Ableitung auch hier
7:15 wieder ein kurzes Beispiel ihr sollt die Stammfunktion von der Funktion FX = 2x + 3 hoch 2 bilden dann betrachtet ihr zuerst die äußere Funktion und erhöht
7:25 den Exponenten 2 um 1 auf 3 dann teilt ihr durch diesen neuen Exponenten also durch 3 jetzt müsst ihr wie gesagt noch durch die innere Ableitung teilen also
7:35 durch die Ableitung von 2x + 3 das abgeleitet ergibt 2 also teilt ihr alles noch durch 2 und natürlich noch pluscard zusammen kommt ihr dann auf ein
7:46 Sechstel mal 2x + 3^3 + K wenn einer fragt warum nicht als erstes die klammer auflösen klar könnt ihr machen ist in diesem Fall wegen den hoch zwei auch
7:55 recht einfach aber bei der Funktion hier FX = 2x + 3 hoch 47.650 würde dir dann erstmal ein bisschen rechnen bis ihr die Klammer
8:06 aufgelöst hat während ihr mit der Kettenregel ziemlich schnell auf dieses Ergebnis kommt 1 durch 47.650 * 2x + 3 hoch
8:16 47.650 * 1/2 + K macht also durchaus Sinn auch die auf dem Schirm zu haben was bei der Kette Regel wichtig ist ihr müsst als innere Funktion unbedingt eine
8:27 lineare Funktion haben also zum Beispiel wie im Beispiel 2x + 3 oder 5x 6x - 9 oder irgendwas in der Art wenn das nicht der Fall ist könnt ihr die Regel so
8:38 nicht anwenden meistens eigentlich fast immer bekommt ihr in der Schule aber eine Funktion bei der die innere Funktion linear ist das bringt uns zur
8:46 Königsdisziplin die Kettenregel bei z.B im Sinus oder Kosinus nehmen wir hier als Beispiel mal die Funktion FX = 2 Cosinus von 3x wieder müsst ihr als
8:57 erstes die äußere Funktion also zweimal den Cosinus integrieren das ist dann zweimal der Sinus dann müsst ihr noch durch die innere Ableitung teilen die
9:06 innere Ableitung ist die Ableitung von 3x also einfach drei durch die Teilen ist dasselbe wie einfach mal ein Drittel und hinten noch + K dementsprechend
9:16 bekommt ihr als Stammfunktion zwei Drittel mal Sinus von 3x + k.ich ging also gar nicht so schwer ihr müsst euch also einfach merken die Stammfunktion
9:25 bilden oder integrieren entspricht der Umkehrung vom ableiten die Stammfunktion von ganzrationalen Funktion bildet ihr einfach indem ihr die Hochzahl um eins
9:34 erhöht und dann durch die neuen Hochzeit vergesst außerdem plus K hinten nicht steht euer x unter einer Wurzel oder einem Nenner von einem Bruch schreibt
9:43 ihr eure Funktion zuerst um die Quadratwurzel ist dabei dasselbe wie hoch 0,5 und wenn es x und Männer steht könnt ihr das hochholen wenn ihr den
9:53 Minus in den Exponenten klatscht bei Sinus und Kosinus müsst ihr euch diesen geilen Kreisel merken und bei der Kettenregel einfach dass ihr noch durch
10:00 die innere Ableitung Teilen müsst wofür ihr den ganzen Spaß jetzt überhaupt braucht erfahrt ihr im nächsten Video zum integral also einfach hier klicken
10:07 und denk dran ihr seid bestimmt nicht die einzigen die in unsere Videos was bringen würden deswegen wenn euch das Video geholfen hat dann empfiehlt uns
10:13 gerne weiter ansonsten bis dann haut rein ich bin raus und ciao