Integration durch Substitution - unbestimmte und bestimmte Integrale berechnen
Kochrezepte für Mathematik
https://www.youtube.com/watch?v=bsbZW4uCr5k

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 in diesem tutorial werden wir uns anschauen wie man mit hilfe der substitution komplexere unbestimmte beziehungsweise bestimmte integrale
0:09 ausrechnen kann oder vereinfacht gesagt wie man die stamm funktion für eine verkettete funktion aufstellen kann
0:17 in erster reihe sollte man wissen dass nicht jeder verkettete funktion dieser relativ komplizierte regel benötigt deshalb habe ich hier an dieser stelle
0:26 zwei funktionen ausgewählt beides im parkett als verkettung bedeutet einfach es gibt eine innere ohne äußere funktion bei der ersten funktion glaube ich ganz
0:37 guter kämpfer hier an dieser stelle die das passieren klammer steht das ist die innere funktion und bei der zweite funktion beziehen wir uns auf die
0:47 funktion dass hier oben eine hochzeit werde die innere funktion so was ist der unterschied ganz einfach bei der linken funktion ist
0:56 die innere funktion eine lineare funktion das bedeutet einen geraden gleichung in diesem fall brauchen wir nicht das substitution verfahren sondern
1:04 nur das sogenannte lineares substitution verfahren also in diesem fall wenn die innere funktion linear ist oder eine gerade braucht man nur lineares
1:14 substitution bei der zweiten funktion erkennt man ganz einfach dass die in der funktion nicht mehr linear ist dass es in diesem fall eine quadratische
1:22 funktion und aus diesem grund brauchen wir hier das tatsächliche substitution verfahren die lineare substitution ist ein relativ einfaches verfahren und es
1:32 ist nicht teil dieses tutorials wenn ihr bedarf dafür habt entweder oben rechts unter den i-punkt oder im abspann findet ihr das passt der video dazu in diesem
1:42 tutorial werden wir uns nur um die tatsächliche substitution kümmern bevor wir zu dem beispiel aufgaben gehen ist das natürlich hilfreich wenn wir zuerst
1:50 die formel kennenlernen ich habe sie hier links abgebildete also wir haben eine verkettete funktion wobei f die äußere funktion ist und gehe die
1:59 grüne die innere funktion ist um dieses unbestimmte integral auszurechnen bzw die stamm funktion von f zu bestimmen
2:07 müssen wir wie bereits erwähnt substituieren was wird denn substituierte oder ersetzen natürlich in erster reihe dieser innere funktion g
2:15 von iks die substituieren wir jetzt setzen wir jetzt mit u dann wird auf beiden seiten bei dieser substitution abgeleitet also ich leite
2:27 die linke seite ab das bedeutet die allgemeine ableitung von ge von xs natürlich gestrich von xo nicht leute auch die rechte seite abgeleitet ist 1
2:38 entsprechend steht dann hinten dx und eu das wird differenziert nach ickx und differenzial nach der nächste schritt ist eigentlich sehr einfach
2:48 wir werden einfach nach dieser dx und formen dafür teilung wir natürlich durch die ableitung also durch g strich von iks und dann ergibt sich für tricks
3:00 folgende formel und zwar 1 durch den stich von iks und die eu damit können wir in unser anfangs funktion zwei sachen substituieren oder setzen einmal
3:11 setzen wir das g von ex durch das und einmal setzen wir das dx mit diesen term was wir jetzt gerade heraus bekommen haben
3:20 das sind dann sieht das ganze wie folgt aus also statt gmx habe ich hier an dieser stelle new und stadt dx habe ich halte diesen termin hinten dann haben
3:34 wir eine funktion nur in abhängigkeit von u das meiste kürze hier sowieso raus also wenn man das richtig einstellt dann
3:41 kürzlich fast alles raus und dann bleibt nur eine funktion abhängigkeit von die man jetzt auf leiten kann die passende stamm funktion dazu sieht
3:51 dann so aus also wir haben jetzt bereits das im unbestimmten grades gelöst oder die stamm funktion allerdings haben wir einen stamm funktionen abhängigkeit von
4:00 oben und wir wollen natürlich eine stamm funktion abhängigkeit von iks aus diesem grund müssen wir wieder erreicht substituieren also die resolution
4:09 bedeutet wir setzen jetzt das oben natürlich mit unser ursprünglicher substitution also an dieser stelle steht dann ist
4:18 gleich die phonix was wir hier links stehen haben und dann setzen wir einfach mal dieses wieder mit ge von iks am ende sieht das ganze so aus also wir haben
4:29 jetzt tatsächlich eine stamm funktion in abhängigkeit von iks für den fall dass sie an dieser stelle denkt was ist das für eine große hässliche formel ja das
4:38 stimmt mich zu dass es sich allerdings es geht noch schlimmer und zwar wenn man kein unbestimmter sondern ein bestimmter hinter grad hat
4:46 also nicht gerade mit grenzen dann muss man natürlich dieser grenze mit substituieren das macht er selbstverständlich überhaupt nicht
4:53 einfacher deshalb werde ich jetzt diese andere form und ignoriert und euch gleich im ersten beispiel zeiten wie ihr ein bestimmter inter grad ausrechnen
5:02 könnte ohne dass diese grenzen nicht substituiert werden keine sorge dass das anders wir werden jetzt in diesen ersten beispiel aufgabe
5:12 aussehen ihr müsst euch selbstverständlich die formel die vorher gezeigt habe mich ausfindig merken gottes wieder sondern es sind wirklich
5:19 zwei drei schritte die man sich so merken muss die man immer machen muss und damit ist die sache schon erledigt und los geht's es ist ja genau die
5:28 aufgabe die wir ganz am anfang zu übersicht angeschaut haben deshalb glaube ich es ist ja schon klar was ich hier substituieren werde und zwar dieser
5:37 x2 da oben also ich sage dann hier an der seite schubste x2 zum beispiel dann haben wir gesagt wir leiten auf beide seiten ab ich noch
5:52 zwei abgeleitet sind 2x und wir haben nachwuchs abgeleitetes hdx hinten und abgeleitet ist 1 abgeleitet nach deshalb steht hier der eu dann teilen wir durch
6:05 2x so dass der ex alleine steht auf der linken seite und dann kriegen wir für dx11 durch 2x und die eu und das hier damit setzen wir das dx hier oben uns
6:20 hinter graf formen integral von 2x mal jetzt statt hoch xk draht haben wir wie hoch das war unser substitution oben und statt der iks haben wir mal 1 durch
6:37 zwei xd und jetzt die gute nachricht es kürzlich fast alles weg also dieser 2x und dieser tracks sind dann weg und das einzige was noch übrig bleibt hier an
6:50 dieser stelle ist dann integral von der eu und jetzt was ist denn euro auf geleitet natürlich hoch das bedeutet die stamm funktion in abhängigkeit von u
7:04 ich bezeichne sie jetzt mal mit großer von ist einfach hoch und dann meinetwegen + c aber das wollen wir so nicht haben wir brauchen natürlich die
7:16 stamm funktion nach billigkeit von iks deshalb tun wir an dieser stelle noch restituieren ich das mal so rips und das bedeutet großer phönix oder das
7:30 unbestimmte integral hat ja das ergebnis die hochs quadrat also ich versetze wiederum mit ursprünglich ist auch zwei und dann plus sie bei der formel
7:43 erklärung habe ich versprochen ich zeigt beim ersten beispiel auch wie man mit hilfe dieser formel 1 bestimmter integrale ausrechnen kann
7:52 und jetzt ist der richtige moment dazu also wir haben die gleiche funktion oben nur dass das integrale jetzt bestimmt ist also wir haben zwei grenzen
8:00 untergrenze 0 obergrenze 2 und wir haben vereinbart wir werden die grenzen nicht mit substituieren sondern zuerst sowie oben gerade rechner die stamm funktionen
8:10 bilden die handels- und natürlich können wir jetzt einfach den hauptsatz den tegra rechnung nutzen dann habe ich jetzt noch mal zur erinnerung hier
8:17 rechts eingeblendet und die stadt funktion haben wir das ziel brauchen wir nicht in diesem fall beim integralrechnung spielt das keine rolle
8:25 nun bei der stadt funktions bildung also anhand des absatzes können wir jetzt einfach mal unser stamm funktion hier in eckigen klammern hinschreiben und dann
8:36 werden natürlich die grenzen hier rechts an den klang angeschrieben zuerst wird die obere grenze eingesetzt dann die untere entsprechend haben und
8:44 wir dann eh hoch zwei hoch zwei wie hoch nun hoch zwei und wenn wir das ganze zusammenfassen die hochzeitsreise natürlich hoch 4 zweimal 2004 und nun
8:57 hoch 200 bis 1 unser ergebnis für das bestimmte integral lautet eho 4 - 1 so einfach wie es in der nächsten beispiele werde ich nur das unbestimmte integral
9:10 ausrechnen einfach um nicht das video unnötig in die länge zu ziehen ich hoffe anhand des ersten bei spiels war jetzt klar wie man mit hilfe von
9:19 unbestimmter integrale dann am ende ein bestimmter integral ausrechnen kann und los gehts mit der zweiten beispiel aufgabe wir schauen unser funktionsteam
9:29 an und die erste frage die sich stellt ist was substituieren wir hier unter wasser setzen wir hier natürlich die innere funktion hier bei der wurzel
9:37 also das ist dieser mix quadrat +1 das werde ich dann substituieren und zwar mal wieder mit ruhm also ex quadrat +1 sind dann uu dann
9:50 wieder auf beide seiten ableiten das bedeutet links habe ich zwei xd iks und auf der rechten seite habe ich 1 d und dann fahren wir wieder nach dx um
10:01 auch in diesem fall peile ich durch 2x und dann habe ich der iks ist gleich 1 durch 2x die eu jetzt setzen wir ein und kriegen wir hier integral 2x durch naja
10:18 das hat mich mit uhr setzt deshalb habe ich unter dem bruch strich woods im buch stehen mal statt dx haben wir dann 1 durch zwei
10:28 x-mal der eu und jetzt wieder die gute nachricht 2x kürzlich weg das bedeutet das einzige was hier noch übrig bleibt aus dem ganzen ist 1 durch puzzle die eu
10:44 und das ist jetzt eigentlich kein großes problem mit ein paar elementar regel kriegt man das schon gebacken ich nehme jetzt die funktion kurz hier an der
10:51 seite sagt dass es kleine von u und formen sie erst mal um wir erinnern uns die wurzel kann man als hoch zahl um scheiben und zwar es ist dann hoch ein
11:03 halb damit wir es leichter auf leitern können können wir natürlich dass dieses buch innerhalb nach oben ziehen dann haben wir 1 x hoch - ein halb und das
11:14 ist jetzt die funktionen die wir auf leiten wollen also die neue hochzeit wenn ich eins das war dir ist natürlich plus ein halb und dieser neue hochzeit
11:24 kommt den kehrt nach vorne der wert von eineinhalb bis natürlich 2 und das kann man sogar noch schöner scheiben als zweieinhalb ist ja wohl zu
11:35 und das ist jetzt sozusagen unser start funktion abhängigkeit von u also große von u noch mal sauber dargestellt hier ist dann 20 u + c
11:50 und an dieser stelle natürlich direkt substitution also nach unserer substitution ist nichts anderes als quadrat +1 haben wir
12:01 hier oben stehen und das setzen wir wieder für ein damit kriegen wir große von iks ist gleich zwei wurzel aus quadrath +1 und
12:16 das ganze noch + c das war's und zum schluss noch ein paar hinweise es gibt natürlich noch andere sehr wichtige auf leitungs regel für grundstudium unter
12:30 anderem integration durch den johannes substitution was sie schon am anfang gesagt habe das werde ich hier in diesem tutorial nicht behandeln dann
12:38 integration mit hilfe der lernfunktion basierte integration sowie integration durch partiell durch zerlegung wenn ihr noch bedarf auch tutorials zu dieser
12:51 anderen regel habt die findet ihr gleich im abspann