Hauptsatz der Differential und Integralrechnung | Integrale berechnen (einfach erklärt)
Herr Locher
https://www.youtube.com/watch?v=bkSRmaxU58o

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 einen schönen guten tag in diesem video erkläre ich dir das thema der hauptsatz der differenzial und integralrechnung worum geht es da wir haben zwei themen
0:09 die differenzial rechnung das war die sache mit dem ableiten und die integralrechnung das wurde in den letzten beiden videos in dieser play ist
0:15 schon ein bisschen vorgestellt und wie hängt jetzt diese integralrechnung und die differenzial rechnung zusammen davon handelt der hauptsatz 40 schon so
0:24 wichtig an der hauptsatz der differenzial und integralrechnung wir beginnen hier mit so einem diagramm auf der x-achse die zeit tm stunden also ihr
0:34 vergehen 0,1 0,2 0,3 stunden und so weiter und auf der y-achse haben wir eine geschwindigkeit von kilometer pro stunde stell dir vor das ist vielleicht
0:46 so ein bummelzug der viert hier ganz langsam an beschleunigt auf etwa 10 km h hält diese geschwindigkeit eine weile wird dann wieder schneller und hier
0:54 hatte ungefähr 25 km h wir wollen jetzt vielleicht aber gar nichts direkt über die geschwindigkeit wissen das können wir hier ja ablesen
1:03 sondern wir wollen etwas über die zurückgelegte strecke wissen und zwar zwischen stunde 0,2 und stunde 0,4 also zwischen 0,20 vier stunden wie
1:16 kommt man jetzt von der geschwindigkeit auf die zurückgelegte strecke wir haben hier noch mal so hin v von t also eine funktionsgleiche für die
1:26 geschwindigkeit bzw der graf dieser funktions gleichung ist ja aufgemalt und wir suchen informationen über die zurückgelegte strecke erstrecke ich
1:36 nenne das man es von t wenn wir diese funktions gleichung hätten dann könnten wir das einfach ablesen aber die haben wir hier nicht wenn man aber die hier
1:44 ableiten würde dann würde sich die geschwindigkeit hier ergeben das wurde wie gesagt in den letzten videos schon ein bisschen angesprochen
1:53 und was wir jetzt hier machen könnten wir könnten diese ganzen geschwindigkeiten zwischen diesen beiden zeitpunkten addieren und
2:01 schlussendlich wollen wir eben ja den flächen inhalt dieses bereiches hier berechnen also den flächen inhalt von diesem intervall 0 2
2:13 4 unter dem funktions grafen wie würden wir das als er mit der integral schreibweise auch schreiben die hast ja auch kennengelernt
2:22 das integral von 0,2 bis 0,4 von dieser funktion von t und jetzt eben nicht dick sondern dt weil hier benutzt wird und das ja bisher
2:37 haben das mit kästchen zellen versucht irgendwie ungefähr anzunähern jetzt können wir uns aber gedanken machen geht das auch genauer geht das rechnerisch
2:46 hätten wir diese funktion es von t dann wäre es einfach dann könnten wir sagen gut die zurückgelegte strecke von 0 2 bis 0 4 ist eben die differenz also es
2:57 von 0,4 minus von 0,2 schreibe es einfach mal hier hin das ist ja das was wir suchen also es vom 04 also die strecke beim zeitpunkt 04 - die
3:10 zurückgelegte strecke beim zeitpunkt 0,2 und diese differenz das wäre gerade die zurückgelegte strecke zwischen diesen beiden zeitpunkten
3:19 wir könnten dieses integral also damit ausrechnen und das was wir hier sehen an einem beispiel ist hier geht schon in die richtung des hauptsitzes wir
3:31 brauchen noch eine vokabel dafür und zwar das wort stamm funktion was ist eine stamm funktion
3:43 hier oben könnten wir sagen vvt i ist die ableitung von es von t umgekehrt könnten wir sagen es von t ist die stammen funktion von v ventil also
3:54 eine stamm funktion ist eine funktion die wir ableiten und dann kommt eine andere funktion raus genauer gesagt die stamm funktion nimmt
4:03 man oft ein großes f von einer funktion f ist die funktion die abgeleitete ergibt also wenn ich dieses große pizza pleite verstrich von ex dann ergibt sich
4:17 fnx und wenn das für alle iks in den betrachteten intervall funktioniert dann nennt man dieses große f4 eben stamm funktionen von diesem kleine
4:28 damit könnten wir versuchen in diesem zusammenhang den wir hier entdeckt haben allgemein aufzuschreiben also nicht mit 0,2 0,4 als intervall grenzen sondern
4:36 ganz allgemein das integral von a nach b bei einer funktion f von iks jetzt auch wieder dx ist daneben die differenz
4:50 der stamm funktion von w und der stamm funktion von ah ja noch mal zum vergleich hier oben das integral hier haben wir geschrieben als
5:01 es von 0,4 minus von 0,2 und jetzt eben große von basf von a manchmal erweitert man diese schreibweise noch ein bisschen ich mir
5:14 noch mal an das integral von a nach b unter der funktion fnx also hier das ist auch ein f nichts mit er strich so ein bisschen so aus
5:24 von ex dx ist gleich und jetzt schaut man hier oft davor noch mit folgender schreibweise in eckigen klammern f von iks also große von ixia diese stamm
5:36 funktion und schreibt die intervall grenzen hier hinten ran und macht dann erst mit dieser schreibweise weiter von bfv
5:48 und dieser zusammenhang beziehungsweise dieser zusammenhang das ist der hauptsatz der differenzial und integralrechnung so hängen also diese
5:58 integrale und die differenzial rechnung zusammen weil wenn du dieses große ableitet ergibt sich ja dieses kleine fnx
6:07 testen wir das ganze mal an ein paar beispielen und du wirst sehen zu kompliziert wie es klingt es ist gar nicht zum beispiel angenommen wir hätten
6:17 die funktion kleine f von iks ist 4x hoch drei und wir wollen das integral im bereich von 1 bis 2 berechnen
6:33 in diesem intervall wollen wir den flächen inhalt unter dem funktions grafen dieser funktion berechnen und ja wie können wir das aufschreiben wir
6:41 können zunächst einmal die funktionen den rechten term hier einsetzen also 4x hoch 3cx einfach für das f von xp eingesetzt und jetzt können wir diese
6:53 schreibweise hier oben benutzen wir wollen also irgendeine stamm funktion hier haben und dann die grenzen her von 1 nach zwei was
7:04 ist die stamm funktion dieser funktion hier wir suchen eine funktion die abgeleitet 4x hoch 3 ergibt ich schreibe sie für
7:14 ein anfang war hin vielleicht wird es auch schon selbst drauf gekommen das wäre fnx gleich x4 weil wenn wir das ableiten 64 abgeleitet wäre 4x hoch drei
7:25 dann genau kommt genau diese funktion raus das heißt hier drin steht die stamm funktion iks hoch 4 und jetzt können wir diese grenzen hier
7:34 einsetzen also eher von bfh wir sitzen also für das ixs die 2 1 dann haben wir zwei hoch 4 - je 1 1 gesetzte also -1 hof wir und das wäre ja 24 16 - einst
7:50 hoch vier dann sind wir bei 15 das ist also unser erstes wirklich berechnet dass integrales integral ja was sie hier aufgeschrieben haben machen
8:00 wir noch ein zweites beispiel dann wird es vielleicht noch ein bisschen klarer neue funktionen nehmen wir von iks gleiche quadrat und überlegen direkt wie
8:13 müsste die stammen funktion aussehen wir suchen also eine funktion die abgeleitet von xx quadrat ergibt wir können zunächst mal überlegen wenn
8:24 hier ein quadrat sein soll dann müsste es ja irgendwas mit hoch drei sein weil wenn wir das hier ableiten ja das würde 3x quadrat ergeben sind wir also schon
8:36 ganz in der nähe hiervon aber diese drei stört uns noch wie bekommen wir die weg indem wir davor zum beispiel hier ein drittel schreiben ein drittel x iks hoch
8:48 drei dann hätten wir 3 3 x iks quadrat als ableitung und drei drittel sind 1 ja also drei drittel und damit fällt das hier eben weg und damit haben wir hier
9:00 die stamm funktion gefunden von fx gleiche quadrat das muss man man am anfang ein bisschen üben weil bisher hatten uns ja immer nur in die eine
9:08 richtung gemacht also das ableiten manche sagen zur anderen richtung auch auf leiten wobei das jetzt nicht wirklich ein mathematischer begriff ist
9:16 und das muss man eben ein bisschen üben hier so rückwärts zu denken weil jetzt können wir dann auch integrale berechnungen sagen wir mal von 0 bis 2
9:24 dieser funktion kleine von xd xd schreiben wir das mit der funktion eingesetzt das integral von 0 bis 2 dann ex quadrat dx und jetzt wieder mit der
9:36 schreibweise mit den eckigen klammern in denen die stamm funktion steht also ein drittel iks hoch drei und hier die grenzen 0 bis 2 und dann setzen wir die
9:47 grenzen ein also einmal die zwei eingesetzt - und dann einmal die null eingesetzt also ein drittel mal zwei hoch 3 - ein drittel x 0 hoch drei und
10:00 da ergibt sich am ende aber ergeben sich acht drittel so viel zum thema hauptsatz der differenzial und integralrechnung wie
10:10 gesagt man braucht vor allem ein bisschen übung und ja als erste übung hier schon mal die lern fragen