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Nur wer Mathe wirklich versteht, kann die cm-Anzahl berechnen! | Dreieck Umfang
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 78 Zeilen
- Halt, stopp, ich muss mal deine Gedanken kurz lesen. Okay, ich sehe sie. In deinen Gedanken steht folgender Satz: Ich kann den Umfang von dem Dreieck
- nicht berechnen, denn ich kenne mit 6 cm nur eine Seite von dem Dreieck. Das funktioniert nicht. Und ich sage dir, doch, es funktioniert. Und wie nun, das
- erkläre ich dir in diesem Video. Aber schauen wir uns die Aufgabe einmal an. Wir haben ein Dreieck mit einem rechten Winkel in der linken unteren Ecke. Die
- Seite links ist 6 cm lang. Die beiden anderen Seiten, also die Kathete unten mit B und die Hypotenuse mit C kennen wir nicht. Das heißt, wir wissen von der
- Seite links 6 cm und die anderen beiden kennen wir nicht. Wie können wir jetzt den Umfang ausrechnen? Eine Sache habe ich allerdings noch
- nicht erwähnt. Schau mal hier in schwarz. Hier steht B und C sind natürliche Zahlen. Das heißt, ich muss hier für B und C eine natürliche Zahl
- einsetzen. Was sind natürliche Zahlen? 1 2 3 4 5 6 und so weiter. Das sind natürliche Zahlen. Hilft dir das bei der Lösung der Aufgabe?
- Zunächst einmal wir haben ein rechtwinkliges Dreieck. Welche Formeln gelten hier? Also zunächst einmal Umfang. Der Umfang
- ist die Summe der Seiten. A + B + C. Das A hier, das sind unsere 6 cm, die schreibe ich einmal hier oben hin. Was haben wir noch? Nun, Satz des
- Pythagoras a² + b² = c².
- Das wissen wir. Im ersten Schritt setzen wir a = 6 cm in a² + b² = c² ein. Also 6 cm müssen wir quadrieren. Bitte Klammer setzen um 6 und cm, damit die Zentimeter
- mit quadriert werden. So, 6 cm quadriert ergibt 36cm
- + b² = c². Wir subtrahieren B² und erhalten 36²
- = C² - B². Und jetzt schau einmal, wir haben hier unten doch c² - B².
- Erinnert dich das an irgendetwas? Vielleicht die binomischen Formeln. So, die lauteten, ich lass das Ganze mal in oder ich schreibe das Ganze mal in
- blau. Also allgemein x² - y² = x - y in Klammern mal x + y in Klammern. Das übertragen wir auf unserer Aufgabe
- hier links. Also unser X ist C bzw. X² ist dann c²- hier unten hatten wir b²,
- also y² ist dann b² = x ist unser C, y ist unser B. Also erste Klammer C - B mal zweite Klammer X + Y wird dann zu C + B.
- Auch hier bitte immer an die Klammern denken. Und wie groß ist das Ganze? Na ja, das hatten wir gerade eben ja ausgerechnet.
- Also das hier, das sind 36zm, steht ja hier links unten, aber das hier müssen logischerweise dann ebenfalls
- 36zm sein. Das heißt, wir können uns jetzt folgendes aufschreiben hier auf der rechten Seite C - B in Klammern mal C +
- B in Klammern. Das ergibt 36zm. So, und jetzt bitte wirklich mitdenken. Also müssen für B und C müssen wir etwas
- einsetzen, damit am Ende 36zm dabei rauskommt. Was wissen wir über C und B? Nun, das was hier in der Aufgabenstellung gegeben ist, dass B
- eine natürliche Zahl ist und das C ebenfalls eine natürliche Zahl ist. Und noch etwas wissen wir, C ist die Hypotenuse des Dreiecks und die
- Hypotenuse muss länger sein als die Katheten. Also mit anderen Worten, wir wissen auch C muss größer sein als B. Es gibt jetzt zwei Möglichkeiten
- weiterzumachen, zumindest zwei, die mir eingefallen sind. Wir fangen einmal mit der mathematischen Variante an. Das heißt, wir sagen C - B,
- das hier wäre D und C + B, das ist E, würde bedeuten
- D* E = 36 cm. Und jetzt ist es ja so, wir hatten gesagt, B und C sind natürliche Zahlen.
- Wenn ich jetzt C - B rechne, also eine natürliche Zahl minus eine andere natürlichen Zahl oder C + B, also eine natürliche Zahl plus eine andere
- natürliche Zahl, kommt auch wieder eine natürliche Zahl dabei raus. Das heißt, mit anderen Worten, D und E müssen ebenfalls natürliche Zahlen sein, bzw.
- natürliche Zahlen mit Zentimeter als Einheit dann dahinter. Und jetzt ist es so, 36 ist eine gerade Zahl. Gerade ungrade Zahlen. Was war das
- noch einmal? Also gerade Zahlen sind durch zwei teilbar, ungeradezahlen nicht. Also einfache Regel ist, dass gerade Zahlen auf 0 2 4 6 oder 8 enden
- und gerade Zahlen auf 1 3 5 7 oder 9. Das heißt mit anderen Worten, die 36 hier, das ist eine gerade Zahl.
- So, also 36 ist ja eine gerade Zahl. Wie komme ich bei einer Multiplikation, also jetzt d mal e, auf eine gerade Zahl? Dazu mal eine kleine Tabelle. Also, wenn
- die erste Zahl gerade ist, d gerade und die zweite Zahl also e gerade ist, dann wäre das Ergebnis auch gerade. Gerade mal ungerade ergibt wieder gerade.
- Ungade mal gerade ergibt wieder gerade und ungerade mal ungrade ergibt ungerade. Das heißt, die letzte Variante fällt schon einmal raus, weil wir wollen
- ja auf 36 kommen, das ist eine gerade Zahl. Was hilft uns noch, um das Ganze ein bisschen einzugrenzen? Na ja, wir können
- E - D rechnen. E - D = So, also E ist ja C + B - D, also E - D und D ist C - B.
- Also E - D rechnen wir. E ist C + B in Klammern und D ist C - B. Rechnen wir aus. Also hier bleibt stehen C + B. Da können
- wir die Klammer einfach weglassen. Und hier haben wir ein Minus vor der zweiten Klamme. Bedeutet alle Vorzeichen umdrehen. Aus + C wird -C und aus - b +
- b. So und E - D ist dann c - C fällt nämlich raus und B + B= 2B. Also e - d = 2b.
- Zur Erinnerung, wir hatten gesagt, E und D sind natürliche Zahlen. Also eine natürliche Zahl minus eine andere natürlichen Zahl = 2* B. Das heißt, die
- rechte Seite, weil wir das 2 haben, muss immer gerade sein. Warum? Wenn b z.B. 1 ist, dann ist die rechte Seite 2. Also gerade. Wenn b 5 wäre, na ja, 2 x 5= 10.
- 10 ist auch wieder gerade. So, das heißt mit anderen Worten, es muss für E und für d etwas eingesetzt werden, damit die rechte Seite der Gleichung, also das 2b
- gerade ist. So, mit anderen Worten, ich bekomme die rechte Seite auch nur dann gerade, wenn E und D ebenfalls gerade Zahlen sind.
- Weil sonst ist das Ergebnis auf der rechten Seite eben nicht gerade. Das heißt, mit anderen Worten, es bleibt hier oben nur dieser Fall übrig.
- Also sowohl die erste Zahl als auch die zweite Zahl müssen gerade sein. Oder mit anderen Worten d mal E, da muss sowohl D gerade sein als auch E.
- Das heißt, wenn wir uns jetzt mal eine kleine Tabelle machen, D und E, was können wir einsetzen für D und E, damit wir auf 36 bzw. 36z kommen.
- Zentimeter lasse ich jetzt einmal weg. Also, wenn D1 wäre, müsste E ja 36 sein. 1* 36 = 36 oder mit 2* 18 komme ich ja auch auf 36.
- 3* 12 würde klappen. 4* 9 4 x 9 ist auch 36. So, 5. Ja, das da kommen wir nicht mit einer
- natürlichen Zahl multipliziert auf 36 und 6 würde noch funktionieren. 6 x 6 und natürlich D und E könntest du
- vertauschen, aber wir können ja etwas rausstreichen, denn wir oben hatten wir ja gesagt gehabt, gerade und gerade die ein ist
- nicht gerade raus. 2 und 18 sind gerade. Okay, das wäre ein Kandidat. 3 und 12, die 3 ist ungerade raus. 4 und 9, die 9 ist ungerade raus. Dann 6 und 6 sind
- gerade. Das würde noch als Kandidat in Frage kommen. Aber schau mal, hier unten hatten wir E - D = 2B.
- Wenn jetzt E6 wäre und D6 wäre, hätten wir 6 - 6 = 0 und dann wäre b0, aber b darf nicht 0 sein, weil sonst hätten wir ja kein Dreieck. Das heißt, 66 fällt
- ebenfalls raus. Was bleibt also übrig? Und das schreibe ich hier oben einmal hin.
- D = 2 E = 18 oder umgekehrt D18
- E2. Von unseren beiden Möglichkeiten hier oben können wir allerdings noch eine
- weitere Variante streichen. Warum? Nun, schau mal, wir hatten noch E - D = 2B. wäre jetzt e = 2 und d = 18, na, dann hätten wir 2 - 18, das wäre negativ und
- das B auf der anderen Seite müsste ja auch negativ sein, aber es macht ja keinen Sinn bei dem Dreieck, wenn B negativ wäre. Das heißt, mit anderen
- Worten, das hier fällt ebenfalls raus und es bleibt nur d = 2 und E = 18 übrig. Was haben wir also jetzt? Schauen mal
- hier auf die linke Seite. C - B = D hatten wir gesagt und D = 2 steht ja hier oben und C + B= E.
- E steht hier oben mit 18. Das heißt mit anderen Worten C - B = 2 und C + B = 18.
- Subtahieren wir jetzt also hier mal ein Minuszeichen davor. C - C fällt weg. - B - B ist dann -2b = 2 - 18 ergibt -16.
- So, mit -1 multipliziert 2b = 16 und damit b = 8. Und wenn du weißt B = 8, na ja, dann gehst du hierhin. C + B = 18. Wenn B 8
- ist, muss C dann 10 sein. So, wir kennen jetzt B und C. Ich rechne die Aufgabe auch gleich noch fertig. Hat
- allerdings gesagt gehabt, na ja, im Prinzip gibt's auch noch eine zweite Möglichkeit. Und die zweite Möglichkeit ist, wenn du das hier auf der linken
- Seite hier oben hast oder in der Mitte, dann kannst du auch einfach mal ganz stumpf durchrechnen, also wirklich alle Möglichkeiten ausprobieren und das Ganze
- über eine Tabelle machen. Ist halt jetzt nicht so mathematisch schön und wird vor allem dann zum Problem, wenn die Zahlen noch viel viel viel viel größer werden,
- dann müssen noch mehr Varianten durchgerechnet werden. So, wie auch immer, zurück zur Aufgabe und wir wollten doch eigentlich noch den Umfang
- haben. So, wir erkennen also jetzt B und C. Ich mache mal in einer anderen Farbe jetzt hier noch die Zentimeter dahinter.
- So, weil das ist eigentlich in Zentimeter. Wir hatten es allerdings oben der Einfachheit halber ohne gerechnet gehabt. So, der Umfang, na ja,
- da ist A + B + C. Also 6 cm war A. B hatten wir eben mit 8 cm ausgerechnet und C waren dann 10 cm. So, 6 + 8 ergibt 14.
- + 10 sind dann 24 cm für den Umfang von diesem Dreieck. So, jetzt bitte ich um Feedback. Also, ich habe das Ganze jetzt ja mal
- vorgerechnet gehabt mathematisch und habe dann als Ergänzung noch diese Ausprobiervariante geliefert. Findest du das gut auf diese Art und Weise oder
- hätte ich das Ganze anders darstellen sollen? schreib mir gerne dein Feedback unten in die Kommentare. Ich versuche möglichst viel zu lesen. Allerdings
- aufgrund der absoluten Masse an Kommentaren, die ich auf alle Videos in Zwischenzeit reinbekomme, ist es mir vollkommen unmöglich, auf alle
- Kommentare auch zu antworten. Aber wie gesagt, ich versuche so viel wie möglich zu lesen. Daher schreibt mir gerne unten in die Kommentare.