VOLLSTÄNDIGE INDUKTION Schritt für Schritt – Beweis Summenformel
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=bRR7tOdjOt4

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 Hallo ihr Lieben, in diesem Video möchte ich zusammen mit euch folgende Aussage beweisen und zwar mit Hilfe der vollständigen Induktionen. Wir sollen
0:09 zeigen, dass für alle n größer = 1 folgender Zusammenhang gilt. Und dabei gehen wir jetzt die Schritte durch, die man für eine vollständige Induktion
0:20 braucht. Als allererstes wäre das der Induktionsanfang. Den kürze ich jetzt einfach mal mit IA ab. Und da sollen wir für das allererste
0:30 n, das überhaupt möglich ist, da muss man immer gucken, was gegeben ist. Wir sollen ja zeigen, dass für alle n größer gleich 1 folgendes gilt und unsere
0:39 unterste oder das kleinste n, was vorkommen kann, wäre dann also n = 1. Das wäre die unterste Grenze für die oder ab der soll die Aussage ja gelten
0:47 und wir schnappen uns diese unterste Grenze und zeigen jetzt, dass es für n = 1 überhaupt gilt. Das heißt, wir setzen mal für n dann 1
0:58 ein, also k = 1. Und für das n, also für jedes n, das ihr jetzt in diesem Ausdruck hier findet, müsst ihr 1 einsetzen. Unsere Summe würde dann also
1:05 von k = 1 bis 1 laufen über die k. Und das rechnen wir mal aus. Wir, wenn wir k = 1setzen, steht da ja ein und das war's schon, weil die Summe
1:18 läuft ja nur bis 1. Also viel weiter geht das Ganze gar nicht. Also unser Ausdruck wäre schon mal 1. Und jetzt rechnen wir noch das andere hier aus.
1:26 Wenn wir dafür n = 1setzen, hätten wir 1* 1 + 1 und dann noch durch 2. Und wenn wir das ausrechnen, haben wir 1 x 2. Das
1:39 sind 2 und das sind 1. Also unser Induktionsanfang, da kommt jetzt beide Male dasselbe raus. Auf der linken Seite kommt eins raus und auf der rechten
1:48 Seite und unser Induktionsanfang ist fertig damit. Da muss auch dasselbe rauskommen. Wenn ihr euch irgendwie, wenn da was falsches rauskommt, dann
1:54 habt ihr euch verrechnet. Also oder ihr seid beim falschen N. Also da guckt, dass ihr schön an der unteren Grenze dann seid. Und dann kommt die
2:03 Induktionsvoraussetzung. Da müsst ihr jetzt einfach nur noch hinschreiben, dass ihr ein n gefunden habt, für das Ganze halt eben gilt. Also
2:11 ihr müsst da wirklich einfach immer nur hinschreiben, es existiert ein n aus den natürlichen Zahlen, so dass und jetzt kommt dieser ganze Ausdruck da einmal
2:20 hin. Also, das kommt einem immer ein bisschen blöd vor, aber tatsächlich einfach das immer hinschreiben, dass es eben ein n gibt, für das der Ausdruck
2:30 stimmt. Ihr habt ja im Induktionsanfang einen gefunden. Und jetzt als dritten Schritt kommt der Induktionsschritt. Jetzt schließen wir von dem n, das wir
2:40 gefunden haben, oder von einem n auf das Folglied n + 1. Also das sind immer die Schritte, aber das hier wird jetzt der Hauptschritt. Also, der erste ist der
2:49 Induktionsanfang, der zweite die Induktionsvoraussetzung und der dritte ist der Induktionsschritt. Diese drei Schritte
2:56 müsst ihr immer ablaufen. Was passiert jetzt im Induktionsschritt? Jetzt kommt der eigentliche Beweis, denn jetzt sollen wir oder wollen wir zeigen,
3:06 dass dieser Ausdruck nicht nur für n gilt, sondern auch für n + 1. Also für jedes n, dass wir jetzt hier finden können, setzen wir mal n + 1 ein und
3:16 gucken überhaupt mal, was wir zeigen wollen. Wir schnappen uns diese Summe k = 1 bis k. Alles was nicht n heißt wird genauso hingeschrieben. Aber da wo ein n
3:26 steht kommt jetzt ein n + 1 hin. Das ist ja das was hier steht. Aus einem n wollen wir jetzt auf n + 1 folgern. Und das soll dann auch hier auf der rechten
3:37 Seite überall wo ein n steht, setzen wir n + 1 ein. Also für das erste n kommt ein n + 1 hin und auch für das n. Dann haben wir da n + 1 in dieser Klammer.
3:51 n + 1 und dann noch mal diese + 1 hinten dran. Also für jedes n, dass ihr finden könnt in eurem Ausdruck muss wirklich ein n + 1 hingeschrieben werden und alle
4:02 anderen Sachen, die bleiben einfach so stehen. Das ist also jetzt das, was wir zeigen wollen. Wir fangen auf der linken Seite an und machen dann Umformungen und
4:11 hoffen, dass wir dann mit unseren ganzen Umformungen irgendwann so ein Ausdruck da stehen haben, ähm der eben so aussieht. Also, ich habe das jetzt noch
4:20 mal auf die andere Seite geschrieben, was äh wir zeigen wollen. Dabei habe ich hier dieses n + 1 + 1, das ist ja n + 2 einfach zusammengefasst. Also hier steht
4:30 jetzt gleich n + 1* n + 2. Das seht ihr jetzt auf der nächsten Seite, dass da noch mal zu zeigen steht. Hier der Ausdruck mit dem n + 1 da oben und hier
4:42 dieses n + 1* n + 2 halbe. Okay, dann legen wir mal los. Wir starten immer auf der linken Seite und formen das jetzt so um, bis wir auf der rechten Seite
4:53 hoffentlich ankommen. Was haben wir da? Immer wenn ihr eine Summe habt, die läuft dann meistens eben bis n + 1, dann können wir diese
5:02 Summanten auseinanderziehen. Also, wir können die Summe ja auch erstmal ähm nur also von k = 1, klar loslaufen lassen und dann aber nur bis n laufen lassen.
5:14 Wir müssen ja nicht bis n + 1 gehen und dann hinten dran dieses n + Summen Glied einfach hinten dran schreiben. Also hier statt dem k kä k kä
5:28 käme dann ein n + 1 hin. Noch mal. Diese Summe schreiben wir jetzt einfach als Summe bis n. Also wir laufen nur bis n. Und dann müsst ihr aber noch das n +
5:42 Summenlied hinten dran schreiben. Also je nachdem, wie euer Ausdruck hier aussieht, müsst ihr da dann n + 1 für das k einsetzen und das mit einem Plus
5:51 hinten dran schreiben. Wir ziehen sozusagen die Summanten auseinander. Und jetzt ist es so, kommt euch das hier bekannt vor. Das hier ist jetzt die
6:01 Summe von k = 1 bis n über k. Ich gehe mal ganz kurz noch mal zurück. Das ist das, was wir oder auch in der Induktionsvoraussetzung schon gegeben
6:13 haben, dass wir das so schreiben können. Also ihr geht dann immer zurück in Induktionsvoraussetzung und guckt, ah, dafür haben wir doch schon ein Ausdruck.
6:23 Also statt diesen Teil bis n können wir das jetzt ersetzen durch n* n + 1 halbe. Also statt dem Teil da kommt jetzt die Induktionsvoraussetzung rein, dass wir
6:33 wissen, dass wir den Teil schon mal so schreiben können. Und hinten dran dieses n + 1, das muss natürlich noch dazu. Und jetzt sieht es schon echt gut aus,
6:45 weil jetzt ist diese ganze Summe weg und alles. Jetzt müssen wir nur noch gucken, dass wir eine kompakte Schreibweise für das da bekommen, weil wir wollen ja
6:53 schon zu dem da hingehen. Ähm, das heißt, wir müssen da Einbruch draus machen und das Ganze auf Einbruch schreiben. Wir hätten also einen
7:03 Hauptnenner von zwei sozusagen. Ähm, den hätten wir hier natürlich auch und müssen dann oben auch mit zwei erweitern, damit wir eben nichts
7:13 verändern an dem ganzen. Wenn wir jetzt das wieder kürzen würden, würde da wieder n + 1 stehen, ne? Also, wir haben nichts geändert. Wir haben nur einen
7:20 Bruch draus gemacht. Und jetzt würden wir das Ganze gerne zu einem Bruch zusammenfassen. Das können wir ja machen. Wir haben den gleichen
7:27 Nenner und oben steht jetzt n x* n + 1 + 2 x n + 1. Immer gucken, wo wir hin wollen. Da ist sind schon n + 1 drin. Also, da darf
7:44 aber nur eine n + 1 stehen. Da sind jetzt irgendwie mehrere. Aber wir können ja, also in jedem Teil hier ist ja ein n + 1 drin, das können wir ausklammern.
7:52 Also dieses n + 1, was hier drin ist und hier drin ist, klammern wir einfach aus. Und was bleibt dann übrig? Von dem Teil bleibt das n übrig. Und hier hinten bei
8:04 dem Teil, wenn wir das n + 1 ausklammern, bleibt die zwei übrig. Und jetzt, tada, sind wir schon fertig. Das war's. Da könnt ihr euer Kästchen
8:16 hinmachen am Schluss, ähm, dass wir es jetzt gezeigt haben, dass wir diese Summe, die bis n + 1 läuft, eben durch diesen Ausdruck hier schreiben konnten
8:25 mit Hilfe der Induktionsvoraussetzung. Also, die muss immer irgendwo in dem Beweis angewendet werden, ähm weil die euch eben diese Summe jetzt hier in dem
8:33 Fall komplett wegmacht oder sonst irgendwas. Also, die vereinfacht die Ausdrücke dann immer enorm. Ähm, ohne die Induktionsvoraussetzung habt ihr da
8:40 gar keine Chance. die muss da wirklich immer irgendwo rein und dann immer gucken, wo ihr hin müsst. Also habt das immer im Auge, wie der Ausdruck
8:48 aussieht, den ihr zeigen äh müsst, weil ab und zu je nachdem, wie groß das Ganze ist, weiß man nicht mehr, wo man hin will. Aber da kann man auch tatsächlich
8:56 auch mal von hinten dann starten oder so. Also das kann auch sein, dass man dann aus verschiedenen Richtungen einfach aufeinander zugeht. Aber ja, das
9:03 war die Beweisführung der vollständigen Induktion und immer schön an die drei Steps denken und dann kriegt ihr das hoffentlich hin. Falls ihr aber trotzdem
9:13 Fragen habt, meldet euch gerne in den Kommentaren.