Ganzrationale Funktionen bestimmen
Mathe - simpleclub
https://www.youtube.com/watch?v=b25InOh-AUk

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 Fühlt euch heute alle mal wie Kopfgeldjäger. Die haben immer irgendwelche Leute gesucht, nämlich welche auf die eine Belohnung ausgesetzt
0:07 war und zwar auf einem Steckbrief. Wir suchen heute auch was Funktionen. Wie das geht, dran bleiben.
0:20 Lehrer machen das verdammt gerne. Die suchen irgendeine Funktion. Dazu sagen sie euch, was das Teil alles können muss und ihr sollt dann die Funktion
0:28 aufstellen. Das geht immer so los. Sie suchen eine ganz rationale Funktion treften gratis. Diese Funktion hat blablabla. Weil das Ganze ziemlich blöd
0:37 für allgemeine Fälle zu erklären ist, machen wir mal ein Beispiel. gesucht ist eine ganz rationale Funktion dritten Grades. Sie besitzt im Punkt 2, 14 eine
0:47 Wendetangente mit der Steigung 15 und sie hat eine Nullstelle bei x = 1. So, wie gehen wir jetzt vor? Schritt 1: Allgemeine Funktionsgleichung
0:56 aufstellen. Das macht ihr immer immer immer. Ihr wisst, dass ihr hier eine Funktion dritten Grade sucht. Das heißt, die höchste Hochzahl beim X ist eine 3.
1:06 Alle anderen Hochzahlen drunter können auch vorkommen. Und natürlich kann auch einfach noch irgendeine normale Zahl ohne XE dazu gezählt werden. Ihr wisst
1:14 jetzt aber ja noch nicht, wie viele x hoch 3, x hoch 2 ist, x und welche normale Zahl ihr habt. Deswegen schreibt ihr dann noch Konstanten vorne dran. So
1:24 sieht eine ganz rationale Funktion dritten Grades also allgemein aus. A, B, C und D sind also irgendwelche Zahlen, die ihr herausfinden müsst. Das ist dann
1:33 eure Aufgabe. Boah, kacke, Alter. Da steht ja fast keine Zahl drin. Kein Problem. Wir zeigen euch gleich, wie es geht. Eine Funktion vierten Grades hätte
1:41 z.B. noch zusätzlich irgendwas mit x hoch 4. Allgemein müsst ihr einfach davon ausgehen, dass jede Hochzahl bis zum maximalen Grad vorkommt. Und
1:50 allgemein gilt auch, ihr habt immer einen Buchstaben von A bis auch immer mehr als der maximale Grad. Aber heute geht's ja nur um die ganz rationale
1:59 Funktion dritten Grades. Also gucken wir uns nur die an. Damit wir uns das später bisschen leichter machen, bilden wir jetzt mal die ersten paar Ableitungen.
2:08 Also Schritt 1b: Ableitungen bilden. Normal reichen da die ersten beiden. Bilden wir zuerst mal die erste. Dazu leiten wir nach X ab. Wichtig, die
2:18 Buchstaben A, B, C und D sind normale Zahlen. Die bleiben deshalb auch ganz normal stehen. Das A kommt weg. Bei den anderen Teilen wird ganz normal die alte
2:28 Hochzahl vorgezogen und oben um eins kleiner gemacht. Jetzt machen wir noch die zweite. Da fällt diesmal noch das B weg und man zieht wieder die alte
2:36 Hochzahl vor und zieht bei der Hochzahl oben eins ab. Jetzt kommt der Teil, bei dem leicht Fehler passieren. Schritt 2: alle Sachen rauslesen, die die Funktion
2:45 erfüllt. Ihr müsst jetzt also aus der Aufgabenstellung Sachen rauslesen, die euch weiterhelfen könnten. Na ja, aber woher wisst ihr, ob ihr genug Sachen
2:53 rausgelesen habt? Das ist easy. Ihr wisst ja, wie viele Buchstaben ihr habt. Genauso viele verschiedene Sachen müsst ihr rausfinden, die die Funktion
3:02 erfüllt. Also, wir haben eine Funktion dritten Grades gegeben. Heißt, wir suchen jetzt vier Sachen, die die Funktion erfüllt. Erstes Stichwort in
3:10 unserer Aufgabe, der Punkt 214. Das ist auf jeden Fall mal nützlich. Das schreiben wir mal auf. Wir wissen also, dass unsere Funktion durch den Punkt 214
3:20 geht. Der Funktionswert an der Stelle 2 ist also 14. Was finden wir noch? Das nächste ist der Teil Wendetangente mit der Steigung 15. Da stecken gleich zwei
3:30 Infos drinne. Zum einen die Tangentensteigung. Wir wissen ja, dass die Tangentensteigung an dem Punkt gerade die Ableitung an dem Punkt ist.
3:38 Wir schreiben auf Ableitung im Punkt 2 14. Also f 2= 15. Es hieß aber nicht einfach Tangente, sondern Wendetangente. Also
3:49 ist der Punkt nicht einfach ein normaler Punkt? Oh nein, der Punkt 214 ist also auch gleichzeitig an Wendepunkt von der Funktion und bei Wendepunkten ist ja die
3:59 zweite Ableitung 0. Also f von 2= 0. Eine Sache fehlt jetzt noch. Wir haben eine Nullstelle bei x = 1. Das schreiben wir auch noch auf. Heißt also der
4:11 Funktionswert bei der Stelle 1 ist 0. Vier Sachen haben wir also und vier Buchstaben auch. Jawohl. Schritt 2 ist abgeacht. Hier mal noch eine Liste mit
4:20 beliebten Stichworten, die auf den Steckbriefaufgaben vorkommen. Vier von den Dingern hatten wir hier schon. Sehr beliebt sind auch Extremstellen irgendwo
4:28 oder Sattelpunkte. Da ist dann halt die erste Ableitung null an der Stelle. Die Liste unbedingt verinnerlichen und verstehen, das sind die zentralen
4:36 Aspekte, die ihr drauf haben müsst, damit ihr Steckbriefaufgaben lösen könnt. Aber wie macht man jetzt mit den Sachen weiter? Schritt 3:
4:43 Gleichungssystem aufstellen. Wir wissen ja noch die vier Sachen von vorhin, die packen wir jetzt in Gleichungen. Wie? Wir setzen das Ganze in die allgemeine
4:52 Form ein. Wichtig, wir setzen hier für x und f von x die Werte ein, nicht für a, b, c. Also machen wir das jetzt mal Schritt für Schritt. Beim ersten ist es
5:02 ganz einfach. Da brauchen wir die normale Funktion und setzen die zwei ein. Rauskommen soll dann 14. Dann multiplizieren wir die 2 hoch 3 und die
5:12 2 hoch 2 noch aus. Die erste Gleichung wäre also die hier. 14 = 8d + 4c + 2b + a. Bei der zweiten ist schon ein bisschen kniffliger. Da kennen wir
5:23 nämlich nicht den Funktionswert, sondern die Ableitung. Wir brauchen also die allgemeine Ableitungsfunktion, die wir vorhin bestimmt haben. Da setzen wir die
5:31 zwei ein und es soll 15 rauskommen. Wieder fassen wir die Zahlen zusammen und zack, hier die zweite Gleichung. 15 = 12d + 4c + b. Auf geht's zur 3. Hier
5:42 brauchen wir sogar die zweite Ableitung. Diesmal setzen wir die zwei ein und es muss null rauskommen. Wieder zusammenziehen und bam, haben wir die
5:52 dritte Gleichung. 0 = 12d + 2c. Bei der vierten Sache brauchen wir wieder die ganz normale Funktion. Also setzen wir da gerade wieder ein und vereinfachen.
6:03 Damit haben wir dann auch schon die vierte und letzte Gleichung. 0 = d + c + b + a. Das ist unser Gleichungssystem insgesamt. Vier Gleichungen und die vier
6:13 unbekannten Zahlen A, B, C und D. Das Gleichungssystem hier könnt ihr lösen. Wenn ihr nicht wisst, wie, schaut euch dazu das Video lineare Gleichungssysteme
6:21 lösen von uns an. Drückt jetzt Pause und kommt zurück, wenn ihr es gelöst habt. Als Lösung kriegt ihr folgendes raus. D ist -1, C, B und A ist -8. Und damit
6:33 sieht eure Funktion dann insgesamt so aus.