Gauß Algorithmus – Lineare Gleichungssysteme lösen
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=aosbq7Ci7Ec

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hallo ihr Lieben heute möchte ich euch Schritt für Schritt zeigen wie man mit Hilfe des gausalgorithmus solche linearen
0:06 Gleichungssysteme mit drei Gleichungen und drei Unbekannten lösen kann falls euer Gleichungssystem größer sein sollte könnt ihr das Prinzip trotzdem darauf
0:16 anwenden aber wir schauen es uns jetzt an drei verschiedenen Beispielen hier jetzt mal gemeinsam an denn bei unserem ersten Beispiel wird es genau eine
0:24 Lösung geben im zweiten Beispiel wird dann keine Lösung rauskommen und im dritten unendlich viele Lösungen aber lass uns einfach mal mit dem ersten
0:32 Beispiel starten wir erwarten hier genau eine Lösung das weiß man aber am Anfang nicht deswegen ihr macht immer dasselbe und dann erst im Laufe der Umformung
0:42 sieht man dann was da auf einen zukommt aber als allererstes von den Schritten wie der gausalgorithmus funktioniert steht an erster Stelle das Sortieren
0:52 falls euer Gleichungssystem noch nicht so schön sortiert sein sollte wie hier müsst ihr die Gleichung noch umformen schön sortiert heißt dass die erste
1:01 variable hier jeweils an erster Stelle steht hier steht überall was mit X an der zweiten Stelle steht immer was mit Y an der dritten das dann mit Z mit eurer
1:10 dritten Variablen und auf den rechten Seiten stehen dann jeweils nur noch zahlen falls das noch nicht so sein sollte dann sortiert schön jede
1:18 Gleichung könnte ja einfach für sich umformen ansonsten wenn das so aussieht wie hier haben wir den ersten Schritt schon erledigt zweiter Schritt jetzt
1:27 kümmern wir uns um diese beiden Einträge hier die so grün markiert sind also der erste Eintrag in der zweiten Zeile und der erste Eintrag in der dritten Zeile
1:37 markieren wir uns das mal ganz kurz an unserem Gleichungssystem das wäre dieser Eintrag hier und der Eintrag unten drunter die beiden müssen jetzt
1:46 verschwinden das ist das allererste was wir machen falls euer Gleichungssystem so sein sollte dass vielleicht der Eintrag schon gar nicht mehr drin steht
1:54 dann seid ihr schon einen Schritt weiter das ist gut also nicht wundern falls das der Fall sein sollte falls die aber beide noch besetzt sind und dann noch
2:02 was steht dann müssen wir uns darum kümmern wir kümmern uns aber erstmal um diesen grünen Eintrag dann könnt ihr die dritte Zeile erstmal
2:10 ignorieren wir verrechnen jetzt alles mit der ersten Zeile also die erste Zeile die fasst ihr nicht an die schreibt ihr einfach genauso noch mal ab
2:22 dann habt ihr ja auch schon mal was da stehen dann fühlt man sich ein bisschen besser also da wird nichts verändert aber wir nutzen die erste Zeile um diese
2:32 beiden Einträge hier miteinander zu verrechnen also dieser Eintrag soll verschwinden das heißt wir schauen uns die Zahlen hier an die 5 und die 2 und
2:42 suchen jetzt ein Vielfaches von der fünf und der 2 z.B die 10 die 10 ist durch F teilbar und auch durch z teilbar wenn die Zahlen so klein sind könnt ihr die
2:53 auch einfach miteinander multiplizieren 2* 5 sind 10 also um die 10 wird es jetzt gehen wir dürfen jetzt nämlich die einzelnen Gleichungen mit Zahlen
3:04 multiplizieren ist ja erlaubt so grundsätzlich ne ich darf ja diese Gleichung z.B dann mit der Zahl hier multiplizieren mit der 5 damit ich bei 5
3:14 x 2 eben auf meine gewünschte zehn komme und ich darf natürlich auch die erste Gleichung multiplizieren diesmal haben wir gesagt okay wir multiplizieren die
3:23 dann mit der Zahl also mit der 2 damit 2 x 5 damit ich auch da auf die 10 komme und dann wie verschwindet denn dann so eine so ein Eintrag wenn ich dann da 10x
3:36 habe und hier habe ich 10x na dann kann ich die Gleichung einfach voneinander abziehen 10x wenn ich es berechnet habe - 10x wird verschwinden und genau das
3:48 ist es was wir hier jetzt machen wir multiplizieren die einzelnen Gleichungen mit Zahlen und verrechnen dann die einzelnen Gleichungen miteinander so
3:57 dass jeweils diese grün markierten Einträge verschwinden nur um die geht es die anderen Zahlen werden sich auch ändern aber unser Fokus liegt nur auf
4:06 dem ersten Element diese Schreibweise ist nicht so beliebt eine beliebtere Variante ist in der Zeile in der ihr euch befindet schreibt ihr hin was ihr
4:16 macht wir multiplizieren ja die zweite Zeile mit F also wir rechnen 5 x die zweite Zeile und ziehen davon dann zweimal die erste Zeile ab also diese
4:31 Schreibweise hier ist um einiges beliebter die hier nicht so deswegen mache ich die noch mal weg aber die ist so zum Erklären ein bisschen besser wir
4:38 bleiben jetzt dann ab sofort bei dieser Schreibweise hier also in der zweiten Zeile wird dann folgendes gerechnet 5 mal die zweite wir machen alles nur im
4:48 Kopf ich schreib ein bisschen was hin aber wenn ihr trainiert seid macht das alles im Kopf fün mal die zweite also 5 x 2x sind
4:56 10x- 2 x die erste also 2 x 5x sind auch 10x das Ergebnis ist 0 das kommt dann hier unten an die erste Stelle 0 müsst ihr auch nicht hinschreiben könnt ihr
5:08 auch einfach weglassen es soll ja verschwinden das war aber der erste Eintrag jetzt müssen wir das aber auch noch mit Y Z und den Zahlen machen
5:15 vergisst man sehr gerne 5 x y sind 5y zweal hier oben das also 2 X-5 sind -
5:30 10y haben wir hier dann super aufpassen mit dem Minus von hier und dem negativen Ergebnis von hier Minus und Minus geht plus also 5y + 10y sind 15y das Ergebnis
5:43 schreiben wir hierhin dann geht's weiter ihr merkt es ist aufwendig und lästig aber es führt zum Ziel 5 x den zintrag sind 15
5:55 z- zal den oberen Eintrag hier das sind -6 dann als Ergebnis dann haben wir hier schon wieder Minus und Minus wird zu plus also 15 + 6 sind
6:08 21 Z und auf der rechten Seite nicht vergessen genau dasselbe 5* -1 sind -5- 2* 2 4 -5 -4 sind -9 und damit haben wir die zweite Zeile so angepasst dass
6:30 dieser Eintrag hier vorne weggeflogen ist genau das was wir wollten der sollte verschwinden haben wir geschafft das Gleichungssystem sieht jetzt so aus das
6:40 ist unser Zwischenstand und jetzt kümmern wir uns eben um den ersten Eintrag in der dritten Zeile der soll ja auch noch verschwinden und auch hier
6:48 verrechnen wir das immer mit der ersten Zeile das würde ich mir einfach so angewöhnen dass ihr immer gleich vorgeht ihr ignoriert jetzt die zweite Zeile
6:56 könnt ihr gedanklich einfach wegstreichen wir machen uns noch mal Gedanken mit welchen Zahlen müssen wir hier multiplizieren damit sich das ganze
7:05 hier wegheben wird wir haben hier 5x und -1x -1x oder 1 x je nachdem was ihr da stehen habt ist immer super lieb zu euch
7:16 denn dann müsst ihr diese Gleichung hier nur mit der Zahl von der anderen Gleichung multiplizieren also wir müssen diese Gleichung hier mit 5
7:26 multiplizieren als die dritte Zeile wird mit 5 multipliziert dann landen wir ja bei -5x und wenn wir das jetzt einfach zu
7:37 der oberen dazu rechnen da sind ja 5x wenn wir da jetzt plus die obere Zeile ohne dass wir sie verändern nur diese 5x mit einem Plus dazu rechnen dann
7:49 passiert ja genau das was wir wollen dass ich das weghebt darauf legt ihr den Fokus das muss verschwinden und mit dieser Anweisung tut es das auch also
7:57 wenn wir die XE miteinander rechnen verschwinden die kann man wieder Null hinschreiben oder das einfach weglassen und dann muss man das ganze wieder
8:05 durchspielen mit allen anderen Variablen 5 x 2Y sind 10y + die erste Zeile der yintrag das
8:17 sind -5 y kommen hinten dran das heißt wir haben hier Plus und Minus wir zu minus 10y - 5y sind insgesamt 5y dann dasselbe mit Z Saen 5* Z sind
8:33 5z + nur den zintrag hier - 3Z kommen da hinzu 5z - 3Z sind 2Z das Ergebnis schreiben wir hier hin und auch auf der
8:48 rechten Seite nicht vergessen die Zahlen 5 x -2 sind -10 + die erste Zeile da steht nur eine 2 -10 + 2 bischen kopfrechnern landen
9:00 wir bei -8 und dann haben wir es auch hier geschafft diesen Eintrag wegzubekommen und haben dann tatsächlich den zweiten
9:10 Schritt erledigt dann kommen wir jetzt zum dritten Schritt hier müssen wir jetzt auch diesen grün markierten Eintrag wegbekommen unser
9:18 Gleichungssystem ist ja jetzt so aufgebaut dass hier vorne die beiden Einträge nicht mehr da sind die haben wir im vorherigen Schritt weggemacht
9:26 aber der hier stört uns jetzt noch der muss mit den gleichen Mitteln verschwinden das ist der der jetzt noch hier unten steht wir verwenden jetzt
9:35 aber nicht mehr die erste Zeile für unsere Verrechnung die ist raus die könnt ihr einfach genauso abschreiben so wie ihr sie ganz am Anfang abgeschrieben
9:45 habt die erste Zeile mit der wird ja nie was gemacht die bleibt einfach aber auch die zweite Zeile sieht ja schon gut aus auch die könnt ihr einfach abschreiben
9:54 an der soll ja gar nichts mehr verändert werden dann kommen wir auch nicht in Versuch aber in der dritten Zeile dieser Eintrag
10:01 soll noch abgeändert werden und die Verrechnungen passieren jetzt mit der zweiten Zeile die hat ja genau dieselbe Struktur von den Einträgen deswegen hier
10:11 werden die beiden jetzt miteinander verrechnet wir machen uns also wieder Gedanken welche Zahlen müssen wir hier multiplizieren damit die gleich werden
10:20 15y und 5y die 15 ist ein Vielfaches was wir verwenden können weil die 15 eben durch 15 teilbar ist und auch durch 5 teilbar
10:31 ist womit müssen wir multiplizieren damit wir hier auf 15 kommen mit 3 also 3 x die dritte Zeile rechnen dann sind wir bei 3 x 5y sind
10:43 15y und wir müssen wir hier dann verrechnen dass das sich auflöst wir müssen es abziehen also minus diesen Eintrag rechnen minus die zweite Zeile
10:53 müssen wir aber auch nicht verändern ne ist ja schon perfekt von den Zahlen wir müssen einfach nur - y rechnen dann hebt sich das weg das ist immer euer Fokus
11:03 und wir könnten hier eine Null hinschreiben müsst ihr aber auch nicht yintrag fliegt raus mit dieser Anweisung wir müssen es aber auch jetzt noch
11:12 durchziehen mit Z 3 xal 2Z sind 6z- den zweiten Eintrag also die 21 Z dann kommen wir auf
11:26 -15 Z und mit den Zahlen genau dasselbe 3 x -8 s -24- den zweiten Eintrag das ist -9 oh ja okay ordentlich Kopfrechnen das wird
11:42 zu plus -24 + 9 da landen wir bei - 15 okay damit haben wir unser Gleichungssystem perfekt vorbereitet in diese
11:55 Zeilenstufenform und das war dann auch der dritte Schritt den wir gerade erledigt haben und dann kommen wir zum letzten Schritt bei dem wir die Lösungen
12:03 jetzt rauslesen können denn in der dritten Zeile da haben wir das ganze jetzt so gut vorbereitet dass das eine Gleichung ist in der nur noch Z vorkommt
12:13 die können wir einfach nach Z umstellen indem die -15 hier verschwinden muss wir also durch -15 teilen dann steht das Z auf der linken Seite alleine und rechts
12:23 haben wir -15 -15 1 und wir haben unseren Wert für z jetzt schon mal direkt gefunden dann gehen wir eine Zeile höher in die zweite
12:33 Zeile rein dort ist jetzt nur noch das Y unbekannt denn das Z haben wir gerade gefunden und das setzen wir da auch schön ein 15 y bleiben also erstmal
12:45 stehen dann 21 x Z also 21 x 1 sind 21 und rechts steht die -9 das ist eine Gleichung in der nur noch y als Unbekannte vorkommt die lösen wir nach
12:59 auf also -21 rechnen wir erstmal dann stehen die 15y alleine und rechts -9 - 21 sind -30 und einen letzten Schritt die 15
13:12 muss noch Weg durch 15 teilen dann steht das Y alleine da -30 15 sind -2 und auch für Y haben wir einen Wert gefunden die habe ich beide
13:22 noch mal jetzt hier hineschrieben denn jetzt ihr könnt euch vorstellen gehen wir noch eine Zeile höher alles in die erste Zeile rein dort ist jetzt nämlich
13:31 nur noch das X unbekannt 5x schreiben wir also auf -5 mal unser y -5* -2 sind + 10 - 3 mal das Z also -3* 1 sind -3 einfach alles einsetzen und rechts steht
13:51 die 2 die beiden können wir zusammenrechnen 10 - 3 sind 7 dann das X soll ja alleine stehen also die 7 rüber mit -7 dann haben wir die 5x alleine
14:04 links 2 - 7 sind -5 und damit das X alleine steht teilen wir noch durch 5 dann haben wir das X auch -5 dur 5 ist -1 und wir haben alle Werte gefunden X Y
14:19 und Z und dann kann man das noch also entweder das reicht so das aufzuschreiben oder man schreibt dann noch in die Lösungsmenge rein also die
14:25 Menge mit dem Element also runde Klammer und jetzt in der richtigen Reihenfolge zuerst x den Wert ist -1 dann y der Wert ist -2 und dann noch den zwert der 1
14:38 runde Klammer zu mengenklammer zu und das ist eure Lösungsmenge wenn ihr das so aufschreiben müsst wenn nicht dann könnt ihr einfach die Sachen hier
14:46 unterstreichen und dann habt es auch das war also der Fall dass man genau eine Lösung findet wie sieht's jetzt aus woran erkenne ich dass mein
14:55 Gleichungssystem keine Lösung hat ihr macht die Umformung trotzdem genauso wie ich das euch beschrieben habe und im Lauf eurer Umformung jetzt das ist jetzt
15:05 ein anderes Gleichungssystem kann es sein dass es dann so aussieht und wenn ihr euch diese Zeile hier mal anschaut da ist dann plötzlich keine Variable
15:13 mehr drin eure unbekannte ist weg und zusätzlich steht da auch noch was falsches 0 2 das ist falsch das ist ein Widerspruch
15:22 also sobald ihr auf eine falsche Aussage trefft und ihr euch nicht berechnet habt das müsst ihr natürlich ausch en aber falls ihr euch sicher seid dass ihr
15:31 alles richtig gemacht habt und dann steht da plötzlich was falsches dann hat euer Gleichungssystem einfach keine Lösung also dann könnt ihr
15:39 als Lösungsmenge die leere Menge hinschreiben das ist nichts schlimmes kann passieren und kriegt ihr trotzdem volle Punktzahl drauf wenn ihr nichts
15:47 falsch gemacht habt davor und unendlich viele Lösung sieht ähnlich aus aber das ist dann so ihr macht eure Umformung und dann entsteht plötzlich eine Zeile in
15:57 der was was Wahres steht 0 g 0 aber keine Variable mehr drin ist also einfach nur eine wahre Aussage die euch gar nichts bringt also 0= 0 oder 5= 5
16:08 also einfach nur zwei Zahlen die identisch sind und diese Zeile ist dann wertlos die bringt euch überhaupt keine Information und dadurch habt ihr nur
16:17 noch zwei Gleichungen aber drei Unbekannte und damit habt ihr dann unendlich viele Lösungen manchen reicht es dass man dann an dieser Stelle
16:27 hinschreibt es gibt unendlich viele Lösungen andere wollen die Lösungsmenge sehen und die schauen wir uns jetzt auch noch an wie man da rangeht dazu schnappt
16:37 man sich die zweite Gleichung und stellt die jetzt nach einer Variablen um entweder nach y oder nach Z könnt ihr entscheiden wir stellen jetzt mal nach y
16:47 um dazu rechnen wir dann -6z dann haben wir den Teil mit Y links alleine und rechts haben wir die 9 - die 6z damit wir nach y stellen können muss
16:59 die -3 noch weg wir teilen also durch -3 dann steht y alleine da aber hier müssen wir noch berechnen 9 ge -3 sind -3 und -6z GE -3 sind +
17:13 2Z dann haben wir es geschafft nach y umgestellt zu haben aber hier ist noch ein Z mit drin und dieses Z sorgt für die unendlich vielen Lösungen denn für z
17:26 werden wir keinen Wert finden Z ist frei wählbar das könnt ihr dann auch einfach so hinschreiben weil wir haben ja y nur in Abhängigkeit von Z
17:38 gefunden schreibt einfach hin Z frei wber das sorgt für die unendlich vielen Lösungen y hat dann diese Struktur das habe ich dann noch mal hier stehen und
17:49 wir finden jetzt noch unser x heraus also in der ersten Gleichung setzen wir jetzt alle Informationen ein es sind nicht viele wir haben nur was für Y
17:58 gefunden Z bleibt einfach so stehen als z 2x wir wollen x herausfinden und für das Y setzen wir jetzt hier diesen Teil ein deswegen minus Klammer
18:11 setzen und dann den Teil für das Y rein in die Klammer hinten dran kommt dann + 2Z Z können wir nicht ersetzen muss so bleiben und rechts steht eine 12 diese
18:24 Gleichung stellen wir jetzt nach X um dazu lösen wir mal die minusklammer auf minus und Minus wird zu + 3 und Minus und plus wird zu -2 Z hinten dran kommen
18:37 die 2 Z und die 12 rechts dann könnten wir die zteile mal zusammenrechnen - 2Z + 2Z die heben sich hier jetzt raus das muss aber nicht passieren also z dürfte
18:51 hier durchaus drin bleiben wir wollen ja nur nach X umstellen dann könnten wir mal die D auf die rechte Seite bringen mit -3 dann stehen die 2x links alleine
19:02 und rechts haben wir 12 - 3 sind 9 und dann im letzten Schritt teilen wir noch durch 2 damit das X alleine steht dann haben wir einen Wert von 9 halbe für
19:13 unser x gefunden hier hätte aber genauso gut noch was mit Z drin sein können ne also hier bei dem y war ja auch was mit Z drin Z ist ja einfach nur frei wählbar
19:22 für unsere unendlich vielen Lösungen aber das habe ich jetzt noch mal hier gesammelt was wir gefunden haben denn wir wollen ja die Lösung Menge
19:28 aufschreiben und in diesem letzten Schritt wählt man für das Z dann tatsächlich einen anderen Buchstaben also man will das Z nicht in die
19:37 Lösungsmenge reinschreiben deswegen sagt man einfach setze Z g= und da könnt jetzt irgendeinen Buchstaben nehmen man nimmt
19:46 oft t und T ist einfach eine reelle Zahl also mit T aus den reellen Zahlen und dann kann man die Lösungsmenge nämlich folgendermaßen aufschreiben die Menge
19:58 mit dem Element und jetzt schön die Reihenfolge beachten zuerst x was haben wir für X gefunden 9 halbe dann y schreiben wir so rein aber sobald wir
20:09 auf z Treffen haben wir gesagt wir haben z durch t ersetzt also da ist ein Z da kommt aber dann ein T hin und unser zteil hier der heißt ja dann t und dann
20:24 die runde Klammer zu und da kommt dann noch mal rein dass ja t aus den reellen Zahlen sein soll und dann die mengenklammer zu und dann ist es eine
20:34 schöne Art die Lösungsmenge aufzuschreiben aber wie gesagt manche müssen es gar nicht machen die müssen einfach nur hinschreiben es gibt
20:39 unendlich viele Lösungen die haben ein bisschen mehr Glück als wenn man das ganze Zeug hier noch machen muss aber das wäre der Weg dann hoffe ich dass
20:48 einiges für Euch dabei war falls ihr Fragen habt schreibt sie gerne in die Kommentare ansonsten habt noch einen wunderschönen Tag und wir sehen uns beim
20:53 nächsten Video macht's gut