Symmetrie von Funktionsgraphen
mathemagazin
https://www.youtube.com/watch?v=aEhDyrjpK8c

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hi und herzlich willkommen im mathemagazin Thema in diesem Video Symmetrie von funktionsgrafen es gibt grundsätzlich
0:09 zwei verschiedene Arten von Symmetrie und zwar die Achsensymmetrie und die Punktsymmetrie das schauen wir uns erst allgemein an und dann gehen wir auf ein
0:18 paar spezielle Funktionstypen ein Achsensymmetrie hier erstmal ein grafisches Beispiel unser blauer Graf hier wir sehen der ist auf der linken
0:31 Seite und auf der rechten Seite grundsätzlich gleich nur gespiegelt und das heißt Achsensymmetrie zur y-Achse und was haben wir da für eine
0:41 Besonderheit da haben wir die Besonderheiten dass bei den x-werten auf der positiven Seite der gleiche Funktionswert ist wie bei dem x-Wert auf
0:51 der negativen Seite z.B 2-2 hat beides mal den Funktionswert z.B 3 und das muss aber für alle xwerte gelten das heißt also der Funktionswert
1:06 von -x muss immer der gleiche sein wie der Funktionswert von dem positiven x wie schauen wir uns das mal allgemein an an einem Beispiel wir haben die
1:20 Funktion f vonx x hoch 4 + x hoch 2 so und jetzt nehmen wir f von-x also setzen wir anstatt X - x ein anstatt X - x hier irgendwas hoch 4 ist wie das Positive
1:38 hoch 4 also das Minus fällt hier weg auch hier fällt das Minus weg und somit haben wir f von-x ist x hoch 4 - 2 na ja und das ist ja unser F von X also haben
1:50 wir jetzt gezeigt F von-x gleich immer F von X der Wert der hier rauskommt ist der gleiche wie hier und somit haben wir Achsensymmetrie gezeigt bei der
2:03 Punktsymmetrie auch hier ein grafisches Beispiel und da ist es folgendermaßen wir haben hier einen
2:13 x-Wert der hat einen Funktionswert z.B 2 hat den Funktionswert 3 dann muss bei -2 der Funktionswert -3 sein das heißt also
2:30 der Funktionswert bei -x z.B -3 muss das gleiche sein wie der funktionwert von X mit einem Minus
2:43 davor wie zeigt man das allgemein Beispiel unsere Funktion lautet 2 dur x wir ersetzen x durch - x wieder haben 2 dur - x das Minus können wir nach vorne
2:56 ziehen also haben wir -2 dur x so 2 dur X ist ja unsere Hauptfunktion also haben wir unsere Hauptfunktion F von X also haben
3:09 wir gezeigt F von-x == - F vonx und somit haben wir allgemein gezeigt dass wir hier eine Punktsymmetrie haben noch als
3:20 Tipp wir haben dann Punktsymmetrie oder fangen wir bei Achsensymmetrie an wenn wir gerade Exponenten haben und wir haben
3:35 Punktsymmetrie wenn wir nur ungerade Exponenten haben wenn wir einen mischmas haben z.B F vonx = x hoch 4 + x hoch 3 jetzt
3:46 haben wir gerade und ungerade das ist keine Symmetrie das könnt ihr dann direkt wenn ihr das seht bei Aufgabe hinschreiben das wird keine Symmetrie
3:55 haben alles gerade Achsensymmetrie trotz immer noch mal durchrechnen aber das ist schon immer so ein Indikator alles ungerade an Exponenten Punktsymmetrie so
4:06 jetzt gehen wir in einzelne Funktionstypen rein und zwar die Exponentialfunktion wir schauen uns mal die hier an sehen wir haben hier keine
4:16 Symmetrie also einzelne Exponentialfunktion haben keine Symmetrie z.B die hier wäre dann ein/b hoch x hat auch keine Symmetrie aber
4:26 wenn wir sozusagen die gegenfunktion uns anschauen 2 hoch x und 1 durch diese Zahl also 2 hoch x dann sind die beiden zueinander symmetrisch
4:40 achsensymmetrisch ich habe mal die Symmetrie hier dann grün markiert das heißt zueinander sind symmetrisch aber die einzelnen jetzt nicht ist ein
4:47 bisschen ein Spezialfall habe's ja noch mal bisschen allgemeiner aufgeschrieben wenn wir a hoch x haben dann ist symmetrisch dazu 1
4:57 dur a hoch x gehen wir zu ganz rationalen Funktionen wir fangen mal leicht an lineare Funktion m mal X + T so wenn wir
5:08 jetzt t0 wählen m ist ja Steigung t unser y-Achsenabschnitt wenn wir jetzt also nicht so sind sondern wenn wir t auf Null setzen dann gehen wir durch den
5:17 Ursprung durch und dann haben wir eine Symmetrie zum Ursprung Beispiel hier ein/2 X oder hier anderes Beispiel -5 x
5:32 ganz noch mal ein Spezialfall wenn wir M0 wählen dann wird das Ganze hier 0 dann haben wir nur t z.B F von x= 3 dann laufen wir so ja dann sind wir
5:43 symmetrisch zur y-Achse aber ob man da noch wirklich von so einer Funktion sprechen kann wenn es nur so eine wagrechte Asymptote ist s mal
5:53 dahinestellt aber ich habe es euch noch mitgegeben quadratische Funktion ax² + BX + C so wenn wir das hier in der Mitte also B0 wähen den Faktor dann fällt das
6:05 weg und dann haben wir nur noch A x²ad + C und das hier ist dann aufgrund von dem Quadrat eine Parabel die irgendwo hin
6:18 vererschoben ist nach oben oder unten also auf der Y-Achse hier z.B mal nach -1 aber wir sind achsensymmetrisch Potenzfunktion ist
6:28 dann die allgemeinere Form von dem hier A* x hoch n wenn n gerade ist haben wir sowas wie x hoch 4 x hooch 6 x hoch 2 x hoch 10 das ist immer eine Parabel nach
6:40 oben oder nach unten geöffnet immer achsensymmetrisch sehen wir auch daran wir haben nur gerade Exponenten wie wir es hier oben gesagt haben
6:52 bei N ungerade also z.B 2 x x hoch 3 wir haben nur ungerade Exponenten also sind wir punktsymmetrisch oder wenn wir -2 hätten vorne als Faktor werden wir so
7:07 auch punkymmetrisch so dann kommen wir noch zu gebrochen rationalen Funktionen ganz allgemein a dur X + B + C so das sind
7:18 die Verschiebungen in X und Y Richtung das sind x Richtung das inind Y Richtung wenn wir das beides aber null setzen haben wir f vonx ist a dur x z.B 2 dur x
7:29 x na und dieses Beispiel hatten wir ja hier oben schon wir haben nur ungerade Exponenten mit dem ein hier oben also
7:40 sind wir punktsymmetrisch das sind immer diese hyperbolen und dann haben wir noch trigonometrische Funktionen vielleicht
7:50 noch vorab sollten wir jetzt hier unten ein Quadrat haben dann haben wir ein Quadrat hier ein Quadrat hier dann würde das ganze so ausschauen dann werden wir
7:58 achsensymmetrisch vielleicht noch mal zur Erklärung also man muss es dann schon immer durchrechnen aber wenn wir diese Form
8:04 haben nur mit x hoch 1 dann sind wir punktsymmetrisch wenn wir ein Quadrat hätten dann haben wir nur gerade Exponenten und dann werden
8:15 wir asensymmetrisch bei hoch 3 werden wir wieder punktsymmetrisch trigonometrische Funktion sinus cosinus Sinus denke ich
8:28 kennt jeder läuft hier durch den Ursprung ist punktsymmetrisch Cosinus läuft hier durch eins oben ist achsensymmetrisch so und das war's jetzt
8:39 von mir zu diesem Thema ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen und jetzt viel Spaß beim Verstehen ciao