KRÜMMUNGSVERHALTEN einer Funktion berechnen – Krümmung bestimmen
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=a1QIlo7Xf_A

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hallo ihr lieben in dem heutigen video möchte ich euch zeigen wie man die krümmung einer funktion berechnen kann wir starten hier vorne bei diesem
0:07 beispiel gehen dann aber gleich noch zum zweiten beispiel über das dann hier verschiedene krümmung verhalten innerhalb einer funktion aufweist aber
0:15 statt mehr vorne was ist die krümmung überhaupt die krümmung gibt an ob eine funktion rechts gekrümmt oder links gekrümmt ist wenn
0:26 ihr also hier drin sitzt und euch überlegt ihr lauf diese straße lang oder ihre fahrt mit einem auto dieses straßen lang überlegt euch ist es eine
0:34 rechtskurve oder es ist eine linkskurve das ist schon alles und wenn ihr hier so lange fahrt seht ihr das eindeutig ist das eine rechtskurve und da müsst ihr
0:42 auch hier so weiter fahren sie ihr euch hier so auf den kopf stellen sozusagen also ist glatt drehen und hirn weiter lang fahren oder ist es die ganze zeit
0:50 eine rechtskurve hier wird sich die krümmung also nicht ändern wer hilft uns dann aber um die krümmung zu untersuchen das ist die
0:59 zweite ableitung die erste ableitung ist er für die steigung ob die hoch oder runter geht eure funktion und die zweite ableitung ist dafür da ob das nach einer
1:08 rechtskurve oder einen linkskurve und mit der zweite ableitung findet man ja auch die wendepunkte und nur wenn ein wendepunkt da ist kann sich die krümmung
1:18 auch ändern also wendepunkte sind dafür zuständig dass sich die krümmung ändert so kann man es auch ausdrücken wenn gar keine wendepunkte da sind so wie ihn
1:27 hier den fall dann kann sich die krümmung gar nicht ändern werden ist sie immer eine rechtskurve oder immer eine linkskurve dann gibt es keine
1:33 unterschiedlichen abschnitte in denen sich die krümmung dann ändert wir erwarten hier also eine rechtskurve und zwar die ganze zeit
1:42 dazu müssen wir erst mal zeigen dass es gar keinen wendepunkt gibt nämlich dann ist die krümmung überall gleich dann schauen wir mal wie wir das finden oder
1:49 wie wir eben keinen wendepunkt finden wir leiten diese funktion mal habe das geht ja hier ganz gut das wären - 2x aber für die wendepunkte brauchen wir
2:01 die zweite ableitung also nochmal ableiten dann fällt einfach nur das ixs weg und die -2 platz übrig so dass hier die brauchen wir um die krümmung zu
2:13 untersuchen wenn wir jetzt wendepunkte suchen würden dann schnappen wir uns ja die zweite ableitung und setzten die gleich null
2:20 also diese - zwei sätzen wir gleich null sehen wir direkt ist ein widerspruch wir finden gar keinen wendepunkt es gibt einfach keinen okay wenn es kein
2:29 wendepunkt gibt bedeutet das einfach nur die krümmung ändert sich nicht wie eben schon gesagt die bleibt einfach überall gleich aber wie ist sie denn jetzt wo
2:36 finde ich oder wie finde ich heraus ob das jetzt eine rechtskurve oder eine linkskurve und da brauchen wir auch wieder die zweite ableitung also also
2:45 habt ihr immer im hinterkopf wie die ist ist hier - 2 und wir müssen jetzt einfach nur eine stelle von unserer funktion in die zweite ableitung
2:54 einsetzen um zu untersuchen wie die krümmung ist da könnt ihr jede stelle und nimmt ihr wollt nehmen wir einfach mal die null
3:02 ihr könnt aber auch die einst die -1 was euch besser passen die neuen haltestellen zu berechnen wir setzen die null also in die zweite
3:10 ableitung ein um die krümmung zu berechnen wenn wir das machen interessiert dass jetzt die zweite ableitung nicht
3:17 sonderlich was wir da hin sitzen da kommt immer - zwei raus egal was er einsetzt jetzt müssen wir nur noch entscheiden
3:24 das ding ist negativ und es sagt uns jetzt was wenn die zweite ableitung negativ ist dann haben wir eine rechts krümmen
3:33 das muss man sich jetzt leider nur merken da gibt es aber ein paar merkhilfe negativ bedeutet zum beispiel dass man einen traurigen smiley hat
3:42 einen negativen smile ich sagt er ist traurig hier sehen was auch das ist dann eine rechtskurve wenn das positiv gewesen wäre dann ist euer smiley happy
3:53 und dann habt ihr hier so eine linkskurve wenn ihr hier eben von links laufen würde dann habt ihr eine linkskurve also wenn
4:01 die zweite ableitung kleiner als 0 ist hat den traurigen smiley dann habt ihr nach rechts kurve wenn ihr größer als null ist habt ihr eine linkskurve und so
4:09 kann man sich das eigentlich ganz gut merken genau das war es dann eigentlich schon wir wissen jetzt dass es sich also um
4:16 eine rechtskurve handelt dass es keinen wendepunkt gibt dass es also immer eine rechtskurve ist es gibt keine änderung im verhalten und das passt schon und das
4:28 testen wir jetzt an dem zweiten beispiel was können wir hier jetzt untersucht wir sehen wenn wir uns das erstmal anschauen am grafen den hat man ja nicht
4:40 immer aber wie machen sie jetzt einfach mal wir erwarten wenn wir hier loslaufen erwarten wir zuerst eine rechtskurve und
4:48 wenn ich hier so weiterläuft ungefähr ja ändert sich das ganze dann in einer linkskurve also setzt euch hier wirklich mit dem autor ein fahrrad die straße ab
4:59 und da ist es eindeutig eine linkskurve wir erwarten also bis hierhin eine rechtskurve und ab hier eine linkskurve und das müssen wir jetzt nur noch per
5:09 rechnung zeigen dass es tatsächlich geht was habe ich eben gesagt wer trennt die einzelnen krönungs verhalten das ist der wendepunkt also wir erwarten hier einen
5:20 wendepunkt mal sehen ob er ihn tatsächlich auch finden wenn der punkt da haben wir eben schon gesehen ableitungen bilden zweimal traisen 6 und
5:31 aus dem xf 3 wieder nichts quadrat vier mal zwei sind acht und aus dem ixs quadrat bleibt nur noch nix das eichsfeld weg und nur die -1 bleibt da
5:42 und das fällt komplett weg zweite ableitung sechsmal 2012 fix und dies das xl weg die -8 bleibt übrig die -1 fällt komplett weg
5:55 das ist unsere zweite ableitung um den wendepunkt tatsächlich auch zu überprüfen brauchen wir noch die dritte ableitung falls ihr das normalerweise so
6:05 macht dann macht das falls ihr es noch nie gemacht habe dann lasst sei vorweg das machen nicht alle dritte ableitung wäre einfach nur zwölf alles andere
6:13 fällt weg ok dann nehmen wir uns also die zweite ableitung und setzten die gleich die steht jetzt hier nochmal also die
6:21 zwölf x8 gleich null um wendepunkte zu finden dann rechnen wir also +8 dann steht da 12x gleich acht und vierteilen noch
6:33 durch 12 wenn wir das machen acht durch zwölf sind gekürzt zwei drittel das ist unser kandidat für einen wendepunkt wie eben erwähnt manche
6:45 dürfen das jetzt tatsächlich als wendepunkt einfach so ansehen aber normalerweise testet man das noch mit der dritten ableitung also man setzt die
6:53 zwei drittel in die dritte ableitung 1 die dritte ableitung war aber recht simpel wenn mich immer schauen da kam zwölf raus also egal was ihr da einsetzt
7:03 da kommt immer zwölf raus und das ist ungleich 0 und damit wissen wir dass das hier ein wendepunkt ist so jetzt haben wir eben gesagt okay bei zwei drittel
7:16 haben wir also ein wendepunkt wir haben ja auch schon eine erwartet wir wussten nicht genau wo jetzt wissen wir es bei zwei drittel liegt der das heißt davor
7:25 haben wir eine bestimmte krümmung wir haben ja schon rechts krümmung vermutet und danach haben eine andere krümmung weil es ist ein wendepunkt der ändert
7:34 das krümmung verhalten danach erwarten wir einen links komme jetzt testen wir das genau wie eben wir setzen also irgend einen punkt vor
7:45 unserer zwei drittel in die zweite ableitung ein und schauen einfach ob das dann nach rechts kommend links kommen ist welchen punkt können wir nehmen so
7:55 einfach wie möglich vor unseren zwei drittel ist zum beispiel die null setzen wir also die 0 1 in die zweite ableitung dann kommt dort - acht raus das ist was
8:06 negatives was haben wir dazu gesagt dann habe einen traurigen smiley und das ist eine rechts krümmung also haben wir genau das gerade gezeigt was wir
8:16 vermutet haben wir haben vorher eine rechts krümmung und jetzt setzen wir noch eine stelle nach unserem wendepunkt ein zum beispiel die einst die kommt
8:25 hier nach den zwei dritteln wenn wir das in die zweite ableitung einsitzen und ausrechnen 12 x 10 12 -18 4
8:34 dann haben wir eine positive zweite ableitung und da haben wir einen freundin smiley und eine linkskurve damit dann und das war es schon da haben
8:47 wir gezeigt wenn wir das jetzt mal alles zusammenfassen falls mein ex kleiner ist als zwei drittel haben wir eine rechtskurve falls
8:59 man nix größer ist als meine zwei drittel haben wir eine linkskurve und das ist im grunde das kronos verhalten das er dann an zu geben habe angegeben
9:08 dass noch mit intervallen an müsst ihr einfach gucken wie ihr das anzugeben habt das wäre es auf jeden fall dann gibt es noch zwei andere begriffe
9:16 konkav und konvex ich weiß nicht wie die benutzt dann müsst ihr system entsprechend halt zuordnen oder anders nennen falls ihr rechts gekrümmt eben
9:25 konkav nennt und links gekrümmt konvex müsste es ebenso angehen aber ansonsten ist das führungsverhalten einer funktion ihr sucht also die
9:33 wendepunkte wenn es keinen gibt gibt es auch nur eine einzige krümmung und sie könnte dann eben mit der zweite ableitung überprüfen ob es ein positives
9:42 oder negatives meine ist und damit einer rechtskurve oder linkskurve okay dann hoffe ich dass wir jetzt wisst wie man das führungsverhalten einer funktion
9:50 berechnet falls ihr fragen habt könnt ihr euch wie immer sehr gerne in den kommentaren melden falls sie keine fragen habt könnt ihr mir natürlich auch
9:56 sehr gerne einen lieben kommentar hinterlassen und wir sehen uns dann hoffentlich im nächsten video macht's gut