Normalverteilung / Gaußverteilung
Mathe - simpleclub
https://www.youtube.com/watch?v=_rVt6qTkea8

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 heißt bestimmt wieder normal und am Ende hat's damit mal so gar nichts zu tun. Nichts als Lügengeschichten. Leute, ihr werdet es nicht glauben. Diesmal hat's
0:08 wirklich was mit Normal sein zu tun. Glaubt ihr nicht oder doch? Wir lösen es auf. [Musik]
0:17 Zuerst mal, falls ihr wegen der Gausverteilung hier seid, das ist genau das gleiche. Falls ihr wegen irgend so einer Glockenkurve da seid, auch
0:25 richtig. Aber was ist das denn jetzt genau und warum heißt die Normalverteilung? Und vor allem, wie rechnet man damit? So sehen so Dinger
0:33 z.B. aus. Warum heißt das Normalverteilung? Wenn euer Lehrer eine Klausur benotet und dann für jede Note guckt, wie oft die vorkommt. Das Bild,
0:42 das er dann kriegt, sieht ähnlich wie das da aus. Die mittelguten Noten gibt's am meisten. Paar hat ein Blackout oder einfach keinen Bock auf das Fahren und
0:49 deshalb halt ein bisschen schlechtere Noten. Und klar, ein paar Überflieger gibt's auch immer. Meistens wird eine Normalverteilung genau zu dem Zweck
0:56 benutzt, Häufigkeiten von Sachen darzustellen. Deshalb schauen wir uns die Formel von so einer Verteilung mal an. Sieht mega
1:04 kompliziert aus, ist aber gar nicht so schlimm. Also nicht erschrecken, so sieht die Formel aus. Erst vorne so ein Vorfaktor mit 1 durch die Wurzel aus 2 x
1:13 pi mal so ein komisches Sigma hoch 2. Der Teil ist für die Normierung zuständig. Was das bedeutet, sagen wir gleich. Durch den liegen alle
1:21 Funktionswerte zwischen 0 und 1. Dann so ein E hochterm. E hoch - ein/ Klammer auf x- so ein komisches durch noch mal das Sigma hoch 2. Der Funktionswert gibt
1:32 die Häufigkeit von x an. Was sagen die zwei komischen Konstanten? Das Mühe ist leichter zu erklären. Das ist der Erwartungswert. Das ist der Wert von x,
1:41 der die größte Häufigkeit hat. Ah ja, gucken wir es im Diagramm an. Derwartungswert ist dann der Hochpunkt, weil das ist ja wohl das x mit größter
1:50 Häufigkeit. Bei der blauen Kurve ist der Erwartungswert also 0. Der Fall x = 0 tritt also mit der größten Häufigkeit = 0,4 auf. Top Geschicht. Was sagt uns d
2:01 andere Dingens? Das Sigma. Das Sigma gibt die Standartabweichung an. Was soll das sein? Ihr seht ja, zwar wird der Erwartungswert mit der höchsten
2:10 Wahrscheinlichkeit getroffen, aber die Werte drumrum kommen ja auch vor. Es gilt, je kleiner die Standardabweichung, desto kleiner ist die Häufigkeit von
2:18 anderen Werten als dem Erwartungswert. Also in kurz. Je kleiner das Sigma, desto schmaler wird die Kurve, weil Werte neben dem Erwartungswert werden
2:27 jetzt seltener angenommen. Fon(x) ist da kleiner. Die Kurve sieht schmaler aus. Ach, gucken wir es uns doch mal in der Kurve an. Die blaue Kurve sieht schmaler
2:36 aus als die beiden anderen. Die hat also eine kleinere Standardabweichung. Formal sind zwei sigma der Abstand zwischen den beiden Wendepunkten von der
2:45 Kurve. Vorhin hatten wir was von Normierung gesagt, dafür wurde der Term da vorne dran gemacht. Man hat nämlich festgelegt, die Fläche unter allen
2:53 Normalverteilungen soll gleich groß sein. Also das hier unter der blauen ist genauso groß wie die Fläche unter der roten. Die haben nämlich alle den
3:01 Flächeninhalt 1. Und jetzt was ganz Wichtiges. Wenn ihr die Fläche zwischen zwei x-Werten anschaut, wie hier z.B. zwischen -2 und 2, dann ist die Fläche
3:11 die Wahrscheinlichkeit, dass euer x-Wert in dem Bereich liegt. Die ganze Fläche ist ja 1, haben wir hier gesehen. Wie groß ist dann diese Fläche? Sagen wir
3:20 einfach mal ca. ein/H/b. Deswegen ist die Wahrscheinlichkeit, dass x zwischen -2 und 2 liegt, ca. 50%. Warum das mit der Fläche so ist, ist ziemlich
3:29 kompliziert. Müsst uns einfach mal glauben. Nur meistens sehen so Fragen so aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass x kleiner als
3:38 irgendeine Zahl A ist? Die Wahrscheinlichkeit ist ja die Fläche drunter, haben wir gerade gesehen. Fläche unter der Kurve bedeutet immer
3:45 Integral. Aber da man das Integral nicht mal so einfach bilden kann, haben ganz schlaue Leute den Kram auf eine Funktion f vereinfacht. Da setzt man a - durchσ
3:56 ein. Machen wir mal ein Beispiel. A ist 51, my 40 und Sigma soll einfach mal 12,5 sein. Da kommt dann f von 0,8 raus. Aber was ist jetzt f von 0,88 für eine
4:10 Wahrscheinlichkeit? Für die ganzen Fes gibt's Tabellen, z.B. auf Wikipedia. Der Link steht in der Beschreibung. Also suchen wir mal unser Fe von 0,88.
4:19 Dann nehmt ihr die Zahl bis zur ersten Stelle nach dem Komma und sucht die richtige Zeile, also 0,8. Mit der zweiten Nachkommerstelle sucht er die
4:28 richtige Spalte, also wieder eine Acht. Und voila, das was in dem Feld dann steht, ist eure Wahrscheinlichkeit. Eine Sache noch kurz. Was, wenn in dem F was
4:38 Negatives steht? Ganz einfach. F von -12 = 1 - F von 12. So, für alle, für die das am Ende noch zu schnell ging, hier noch eine Übungsaufgabe. In eurer Schule
4:49 gibt's manche Größen oft, andere fast gar nicht. Insgesamt sind die Größen aber normal verteilt. Euer Erwartungswert ist dabei 174 cm. Die
4:58 Standardabweichung seiσ = 8. Jetzt ist die Frage, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter aus eurer Schule zwischen
5:07 170 und 1090 ist? Versucht's mal hinzukriegen. Wie immer gibt's die Lösung morgen. Einfach hier rechts klicken und ab geht die Post. Guten
5:15 Rutsch und ciao.