STETIGKEIT überprüfen und beweisen – abschnittsweise definierte Funktionen, stetig, Beweis
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=_ke4E-zjI7k

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hallo in dem heutigen video geht es um die stetigkeit von abschnittsweise definierten funktionen wir wollen als überprüfen ist diese funktion hier
0:09 stetig oder nicht worauf haben wir da zu achten abschnittsweise definierte funktionen sind ja in abschnitte unterteilt also
0:17 hier haben wir einmal für iks größer gleich drei diese funktion und für iks kleiner drei diese funktion als aller erstes müsst ihr dafür sorgen oder euch
0:27 mal kurz gedanken darüber machen ob die einzelnen funktionen an sich überhaupt stetig sind aber hier in dem fall sind sie das quadrat ist stetig und 1 durch
0:38 xs auch stetig tätigkeit ist immer nur dort definiert wo die funktion an sich auch definiert ist also bei der 0 hier war einzig ex das ist keine unstetigkeit
0:50 stelle weil die null an sich gar nicht definiert ist also da kann man gar keine gar nicht von stetig oder unstetig reden deswegen ist die null hier kein problem
0:58 und die funktion an sich ist stetig oder gilt als stetig so kann es denn dann jetzt hier überhaupt zu problemen kommen na ja an dieser anschlussstelle von
1:09 diesen beiden funktionen wir haben einzelne funktionen die aneinander geklebt werden und zwar an der stelle 3 an dieser übergangsstelle kann es zur
1:17 unstetigkeit kommen und die müssen wir einfach überprüfen schauen wir uns das mal am grafen an was wir hier haben hier die drei ist die anschlussstelle
1:27 zwischen dieser grün funktion also diese mix quadrat - 4 und diese anderen roten funktionen wie gesagt macht euch hier über die null
1:36 keine sorgen wegen der untätigkeit die es ja einfach gar nicht definiert aber diese anschlussstelle hier die muss stetig sein
1:44 sie sieht auch stetig aus also wir hoffen dass wir die stetigkeit hier jetzt bei der aufgabe über bilder bestätigen können was müssen wir da zu
1:52 überprüfen stetigkeit bedeutet ja dass man die funktion durch zeichnen kann das heißt wenn ich mich jetzt von links an diese
1:59 übergangsstelle nähere dann muss ich genau dort landen wie wenn ich von rechts gekommen wäre und an diesen übergang stelle mich genähert
2:10 hatte das heißt der grenzwert wenn ich von links kommen muss genauso groß sein wie der grenze hat wenn ich von rechts
2:16 kommen und das ist die überprüfung die wir zu leisten haben deshalb bedeutet wenn wir jetzt zurück zu unserer funktion gehen werden wir den grenzwert
2:24 berechnen wenn wir an diese übergangsstelle also an die drei erst mal von rechts kommen wenn wir von rechts kommen dann gilt hier oben die
2:34 funktion weil wir kommen ja von den zahlen 54 und nähern uns da von oben an die tri run das heißt unsere xe sind größer gleich
2:44 drei das bedeutet diesen grenzwert muss ich berechnen das ist ja hier ganz schön zu machen ich kann die drei einsätzen das m3 zum quadrat zu 9 -4 sind fünf und
2:55 dasselbe muss ich noch machen wenn ich mich von links an die drei annähere da gilt jetzt die andere funktion weil für ex kleiner 3 ist die da ja dann
3:05 definiert so das wäre meine funktion und auch hier gibt es keine schwierigkeiten beim grenzwertig kann die trage einfach einsetzen dann habe ich hier - ein
3:15 drittel plus 16 drittel das sind 15 drittel also 5 die grenzwerte an sich können natürlich schwierig als einzuberechnen
3:23 aber jetzt hier als einstiegs beispiel erstmal dass wir sehen hier die beiden grenzwerte sind gleich und damit ist meine funktion insgesamt dann auch
3:32 stetig wenn die einzelnen ansicht stetig sind also dass immer noch beachten genau das haben wir aber auch erwartet dann schauen wir jetzt mal bei einem
3:43 nächsten beispiel was hier rauskommt wir schauen uns den grafen man noch nicht an wir gucken dann einfach zur bestätigung dann danach auf wir recht hatten was wir
3:49 hier getrieben haben hier haben wir einmal einen abschnitt wenn ich zum gleich null ist und eine einzigen werte wenn ich es gleich null ist
3:59 das heißt auch hier werden wir den grenzwert berechnen wenn wir uns von rechts an die null also an diese übergangsstelle nähern
4:09 was passiert da da gilt ja dann die funktion da oben also betrag von xfx wenn wir uns von rechts nähern sind unsere zahlen aber auch positiv 0 plus
4:23 heißt über der null also im positiven bereich dann brauchen wir den betrag von ixia gar nicht singen können wir einfach
4:29 weglassen weil unsere zahlen ja sowieso positiv sind dann steht der iks durchwegs und das ist 1 und das wäre der grenzwert wenn wir
4:40 eben von rechts kommen schauen wir mal was passiert wenn wir aus den negativen bereich kommen also von unterhalb von der null aus dem
4:48 negativen bereich auch da gilt hier oben diese funktion und wir gucken mal wie wir den betrag auflösen können wir kommen aus dem
4:57 negativen dh den betrag können wir weglassen aber wir müssen noch ein - vorne dran schreiben betrag heißt ja immer es soll positiv insgesamt werden
5:07 wenn wir negative zahlen hatten wenn wir die dann noch mal mit was negativen multiplizieren wird er wieder positiv dh dasteht - unten steaks und wenn wir das
5:16 jetzt kürzen steht ja - 1 haha ein beispiel sie sind diesmal nicht gleich das bedeutet dann auch dass die funktion an sich an der stelle 0 nicht stetig ist
5:27 und das schauen wir uns jetzt am grafen an was haben wir hier wenn wir von links an die null kommen ist alles stetig und wir
5:35 landen hier unten bei -1 wenn wir von rechts kommen ist alles stetig aber wir landen bei der 1 und diese sprung stelle hier ist dann eben diese unstetigkeit
5:44 und das was wir eben auch gezeigt haben so kann man es am grafen dann immer ganz gut überprüfen was auch noch häufig vorkommt sind aufgaben in denen
5:54 parameter drin sind und man soll dafür sorgen dass die funktion stetig ist also finde b so dass die funktion stetig ist was
6:05 müssen wir machen natürlich genau dasselbe wie die ganze zeit auch der grenzwert wenn wir von rechts an unsere übergangsstelle kommen muss genauso groß
6:13 sein wie der grenzwert wenn wir von links drankommen bilden wir erst mal den grenzwert wenn wir uns von rechts an die zwei annähern
6:23 also ich größer gleich zwei dann ist diese funktion ja dazu zuständig das schreiben wir mal hin so wenn wir diesen grenz hat jetzt
6:35 berechnen gehört auch hier gibt es keine große probleme man kann die zwei einfach einsetzen dann steht hier zwei plus zwei also 4 b
6:42 quadrat insgesamt wäre der grenzwert wenn wir von rechts kommen und wenn wir von links kommen gilt dann hier iks kleine 2 also die andere funktion dieses
6:56 8b plus 16x und auch hier können wir die zahl einfach einsetzen die zwei und ausrechnen sonst steht da 8 b + 16 mal zwei sind 32 und damit diese funktion
7:10 stetig ist dafür sollen wir sorgen dann müssen diese beiden eben gleich sein also 4 b quadrat muss gleich 8 b + 32 sein das schreiben wir uns mal hin
7:24 und lösen diese gleichung jetzt so dass es eben passt das ist eine quadratische gleichungen das bedeutet einfach wir bringen alles auf eine seite und
7:33 haben dann gleich null also 4 b quadrat - 8b -32 gleich null und da könnt ihr jetzt die abc formel drauf hauen oder noch einmal durch vier
7:45 teilen und dann die peguform machen also wenn wir durch vier teilen haben wir b quadrat - 2b -8 gleich null pq formel wäre dann b12 - die halbe also
8:01 - - zwei halbe das wäre 1 plusminus wurzel aus pe halbe zum quadrat also - 2 durch zwei das ist - einst zum quadrat - -8 also +8 im schnelldurchlauf die pkv
8:18 will die könnt ihr aber glaube ich und dann haben wir unter der wurzel was stehen 18 sind neun okay da können wir direkt die wurzel ziehen das wäre 3 und
8:28 dann kriegen wir tatsächlich zwei lösungen raus einmaleins +3 das sind 4 und 1 x 1 -3 das sind minus 2 und für diese bewährte ist unsere
8:42 funktion dann stetig weil wir dafür gesorgt haben dass die grenzwerte von rechts und von links kommt gleich sind ich glaube das prinzip habt ihr
8:50 verstanden hoffe ich zumindest und ihr könnt eure aufgaben beim mitlesen war sie aber trotzdem fragen habt dann schreibt sie einfach in die kommentare