Beschränktes Wachstum
Mathe - simpleclub
https://www.youtube.com/watch?v=_0dLIVQHzUg

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 bevor wir anfangen wollen wir euch mal was anderes erzählen wir sind eigentlich nicht so sehr diejenigen die alles gleich weiter erzählen aber habt ihr
0:08 schon gehört dass Jan eine Freundin hat was J hat eine Freundin oh mein Gott das ist ja mal ein schingel nein er hat keine
0:19 Freundin aber zur Zeit ist ein Gerücht imumlauf dass er eine Freundin hat dieses Gerücht verbreitet sich in Jans Schule jan ist ziemlich sauer dass über
0:29 ihn das Gerücht verbreitet wird er will wissen wie viel Mitschüler das Gerücht nach einer Zeit Wissen dazu will er ein Diagramm erstellen was jeder normale
0:37 Mensch natürlich auch tun würde er weiß dass es 1000 Schüler auf seiner Schule gibt das heißt dass er
0:46 davon ausgehen kann dass maximal 1000 Leute über das Gerücht Bescheid wissen können diese Zahl wird auch als Schranke bezeichnet es können also maximal 1000
0:57 Leute davon wissen das kann J schon mal in sein Diagrammen anzeichnen am Anfang also am Tag Null haben sich zwei Mitschüler das Gerücht
1:05 ausgedacht deshalb büssen am Anfang zwei davon Tag für Tag wissen immer mehr Leute von dem Gerücht am Ende steigt die Anzahl jedoch nicht mehr so stark das
1:15 kann man sich auch ganz leicht vorstellen am Anfang ist das Gerücht neu alle erzählen es jeder will es wissen nach einigen Tagen jedoch wenn schon
1:24 fast die ganze Schule davon weiß verbreitet sich es auch nicht mehr so schnell heißt es dann z.B e weiß du schon von Jan und seiner neuen Freundin
1:34 und man bekommt nur noch die Antwort langweilig wei doch eh schon jeder deshalb steigt das Diagramm am Anfang schnell doch am Ende nährt es
1:44 sich flach der Schranke tausend an man kann hier auch von einem Wachstum reden und dieses Wachstum ist beschränkt denn maximal 1000 Schüler können vom Gerücht
1:54 wissen deshalb nennt man das auch beschränktes Wachstum mit der Schranke 1000 Jan will aber auch sehen wie viele Leute
2:02 noch nicht von seiner angeblichen Freundin Wissen am Anfang weiß es noch fast keiner deshalb ist die Zahl der Leute
2:10 die es nicht wissen groß so wie im anderen Schaubild das Diagramm gestiegen ist fällt es hier ab am Anfang schneller da sich das Gerücht schnell verbreitet
2:20 am Ende weiß schon fast jeder davon deswegen verbreitete sich auch langsamer irgendwie sieht das Schaubild so aus wie eine exponentielle verfallsfunktion wie
2:29 wir sie aus dem Video Wachstum basic kennen das behalten wir mal im Hinterkopf die Leute die es in unserem Beispiel nicht wissen werden in der
2:38 Mathematik als sättigungsmanko bezeichnet das ist ein wichtiger Begriff merkt i euch also das sättigungsmanko M V t können wir beschreiben mit s- P V t
2:50 s ist die Schranke und P von T die Personen die vom Gerücht wissen es können maximal 1000 Leute davon wissen das heißt die Anzahl der Person die es
3:00 nicht wissen ist einfach 1000- die die es wissen und genau das ist das sättigungsmanko so wir wissen jetzt was das sättigungsmanko und eine Schranke
3:11 ist außerdem wissen wir dass sich Jans Gerücht beschränkt verbreitet doch gibt es auch eine Formel mit der wir beschränktes Wachstum
3:20 beschreiben können natürlich in der Mathematik gibt es alles wir machen mal eine einfache Herleitung wir wissen dass m von T mit s- P von T definiert ist
3:34 also noch mal zur Wiederholung die Person die es maximal wissen können das heißt die Schranke minus die Person die es bereits wissen
3:43 wir haben ebenfalls im Schaubild gesehen dass sich die Entwicklung des sättigungsmancos wie eine exponentielle zerfallsfunktion verhält deswegen können
3:52 wir das ganze mit der allgemeinen Form des exponentiellen Zerfalls gleichsetzen also g= C mal e H- K mal t oben ist das Minus wichtig denn das sättigungsmanco
4:04 nimmt ja ab wir haben gesagt wir wollen eine Funktion für das beschränkte Wachstum also eine Funktion die die Personen beschreibt die vom Gerücht
4:13 wissen genau das ist eben P V t deshalb müssen wir jetzt nach P von T umformen umgeformt ergibt es P von T = s- C* e hoch- KT wobei K größer 0 ist
4:30 dabei ist z bemerken dass c s- p von 0 ist wenn ihr nicht viel auf Herleitung gibt müsst ihr das auch einfach nicht merken also noch mal zur Wiederholung
4:42 beschränktes Wachstum lässt sich beschreiben durch P von t = s - C* e hoch- k* t dabei gilt C = S - P von 0 und beim Aufschreiben nicht vergessen
4:55 dass K größer 0 ist ja ja Formalitäten beim beschränkten Wachstum unterscheidet man zwei Fälle na ja zum einen eben das beschränkte Wachstum dabei ist f von T
5:09 also unsere Person die es wissen kleiner als die Schranke das heißt dass z.B ein Bestand oder eben bei uns die Personenanzahl zunimmt und sich der
5:19 Schranke annähert ein Beispiel wäre eine Bakterienkultur die sich in einer Schale ausbreitet und maximal die ganze Schale ausfüllen kann die komette Fläche der
5:30 Schale wäre dann die Schranke der andere Fall ist der beschränkte Zerfall dabei ist der Bestand größer als die Schranke und
5:39 nährt sich dieser von oben an das heißt dass ein Bestand kleiner wird und maximal so klein wie die Schranke werden kann das ganze hört sich total
5:49 kompliziert an deswegen machen wir mit J ein Beispiel wir haben gegeben die Schranke s= 2000 den Anfangsbestand B von 0 = 500 und den Bestand nach 10
6:03 Tagen B von 10 = 800 jetzt fragt sich dann wie die Funktion aussieht noch mal zur Wiederholung die
6:12 allgemeine Form B von T = s- c mal e hoch- KT jetzt bestimmen wir zuerst mal C wir setzen mal für die Zeit t = 0 ein daraus
6:25 folgt unser Bestand nach 0 Tagen also 2000 - C* e hoch - k* 0 ebenfalls wissen wir dass der Bestand am Anfang 500 war deshalb schreiben wir links 500
6:40 - k* 0 0 und alles hoch 0 ergibt 1 deshalb haben wir rechts stehen 2000 - C* 1 also 2000 - C daraus erhalten wir für C =
6:56 1500 als nächstes bestimmen wir K wir wissen dass der Bestand nach 10 Tagen 800 ist außerdem haben wir jetzt C =
7:07 1500 wiedersetzen wir alles ein 800 = 2000- 1500e hoch -10 K die 800 links ist der Bestand nach 10 Tagen deswegen steht
7:20 rechts oben im Exponent auch -10* K und wie gesagt die 1500 ist c jetzt rechnen wir - 2000 unterhalten -1200 =
7:34 -1500e hoch -10k dann geeilt durch -1500 damit der ETM allein steht das ergibt 0,8 = e hoch- 10
7:46 K jetzt noch den LN bilden links steht dann LN von 0,8 und rechts heben sich e und LN auf deshalb bleibt nur noch -10k das Ganze nach K aufgelöst ergibt K
8:02 ungefähr 0,0223 jetzt haben wir alles berechnet was wir brauchen und können die Formel
8:10 aufstellen für die Schranke s setzen wir 2000 ein C ist wie berechnet 1500 und K ist 0,0223 jedoch müssen wir noch vor das
8:23 0,0223 ein Minus schreiben für alle die den Buchstaben c irgendwie komisch finden können wir den Tipp geben C ist einfach die Schranke den Anfangswert bei
8:35 uns 2000- 500 also 1500 jetzt bekommt ja noch eine Aufgabe er hat die Funktion f von x = 10 + 50 x E hoch-
8:49 0,25x er soll nur den Anfangsbestand herausfinden dazu muss er einfach x = 0 einsetzen damit erhält er 10 + 50 E hoch 0 e hoch 0 ist wieder 1 damit ist der
9:04 Anfangsbestand 60 ganz leicht oder im bteil der Aufgabe muss Jan die Wachstumsgeschwindigkeit nach x = 10 bestimmen wenn er das Wort
9:15 Wachstumsgeschwindigkeit hört klingeln bei ihm schon die Glocken er muss die Ableitung bilden die Zehn Vorne also die Schranke fällt als konstanter summant
9:25 einfach weg der eterm an sich also 50 e hoch -0,25x bleibt stehen wie ihr in Ableitung von e-Funktion gelernt habt muss Jan aber
9:37 noch hinten mal -0,25 rechnen das ist nämlich die innere Ableitung also die Ableitung von
9:46 -0,25x da er die Wachstumsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt X = 10 wissen will setzt er jetzt in die Ableitung x = 10 ein das ergibt dann
9:56 -12,5 e hoch -0 , 25 x 10 die 12,5 ist einfach die obere Formel vereinfacht indem wir -0,25 mit den 50 multipliziert haben vereinfacht erhält J auf jeden
10:11 Fall -1,03 das heißt dass die Wachstumsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt X = 10 ca -1,03
10:22 beträgt so das war's auch wieder mit unserem Video wichtig hier ist dass ihr euch die Formel merkt also für das beschränkte Wachstum gilt s- C mal e
10:33 hoch- KT wichtig ist die Schranke S und C erhaltet ihr indem ihr einfach die Schranke minus den Anfangsbestand rechnet