Trigonometrie anschaulich erklärt I musstewissen Mathe
musstewissen Mathe
https://www.youtube.com/watch?v=ZC7zplrmSHw

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 Willkommen zurück bei "musstewissen Mathe". Heute geht es um Trigonometrie, und zwar anschaulich.
0:06 Los geht's. Sinus ist Gegenkathete durch Hypotenuse
0:14 und so weiter, klar, damit kann man rechnen, aber so richtig anschaulich ist das nicht.
0:19 Hier gibt es was Besseres: die Konstruktion am Einheitskreis macht Sinus und Co sichtbar.
0:26 Ein Einheitskreis ist einfach ein Kreis mit dem Radius 1. Der Radius ist aber eigentlich keine Zahl, sondern eine Länge.
0:35 Also müssen wir uns auf eine Längeneinheit festlegen. Ob Meter oder Zentimeter ist völlig egal.
0:41 Wir müssen uns nur festlegen. Der Radius des Kreises ist also eine Längeneinheit.
0:46 Daher hat er seinen Namen: der Einheitskreis. Am Mittelpunkt des Kreises tragen wir den Winkel α ein.
0:54 Und zwar so: Ein Schenkel geht waagrecht nach rechts,
0:58 den anderen zeichnen wir um den Winkel α gedreht. In der Mathematik dreht man im Zweifelsfall gegen den Uhrzeigersinn.
1:06 Vom Punkt P aus ziehen wir eine Senkrechte auf den anderen Radius. Jetzt haben wir ein hübsches rechtwinkliges Dreieck
1:13 und können uns die Definitionen von Sinus, Kosinus uns Tangens vornehmen. Der Radius r ist dabei die Hypotenuse des Dreiecks.
1:21 Die Strecke u ist die Gegenkathete von α, v ist die Ankathete. Beim Sinus haben wir:
1:34 Das sieht genauso aus wie sonst auch. Was ist damit gewonnen?
1:38 Der springende Punkt ist, der Radius r sitzt nicht in irgendeinem Kreis, sondern im Einheitskreis.
1:44 Der Radius r ist also einfach 1. Der Sinus von α wird also zu:
1:51 Was einmal funktioniert, das geht auch zweimal. Der Kosinus von α ist:
1:59 Aber r ist 1. Wir sehen also Sinus und Kosinus als echte konkrete Strecken
2:08 und nicht nur als seltsame Streckenverhältnisse. Wie sieht's mit dem Tangens aus?
2:13 Der Tangens von α ist: Hm, das ist zwar nicht, was wir gesucht haben,
2:24 stattdessen haben wir, quasi aus Versehen, etwas anderes gefunden: eine Formel, die beschreibt, wie Sinus, Kosinus und Tangens zusammenhängen.
2:33 Ab in die Formelsammlung damit. Aber so leicht geben wir nicht auf.
2:37 Warum funktioniert der Trick beim Sinus und Kosinus, aber beim Tangens nicht?
2:42 Beim Sinus und Kosinus ist die Hypotenuse im Nenner. Die hat die Länge 1 und durch 1 teilen tut nichts.
2:50 Beim Tangens ist dagegen die Ankathete im Nenner und die ist hier nicht 1.
2:54 Aber keine Panik, das können wir reparieren. Was nicht passt, wird passend gemacht.
3:00 Wir vergrößern das Dreieck so, dass die Ankathete die Länge 1 hat. Dafür verschieben wir die Gegenkathete so nach rechts,
3:09 bis sie durch den Punkt Q geht. Mit diesem rechtwinkligen Dreieck klappt's jetzt:
3:24 Also, geht doch. Von dieser Strecke t hat der Tangens übrigens seinen Namen.
3:31 Denn sie liegt auf einer Tangente am Einheitskreis. In dieser Zeichnung können wir jetzt die Werte
3:37 von Sinus, Kosinus und Tangens von α als konkrete Längen sehen. In den rechtwinkligen Dreiecken kann der Winkel α
3:45 jeden Wert zwischen 0° und 90° annehmen. Der Punkt P wandert dabei auf einem viertel Kreisbogen.
3:51 Dabei kann man schön zusehen, wie sich die Werte der trigonometrischen Funktion verändern.
3:56 Wie sie zu- und abnehmen. Noch besser können wir die Werte der trigonometrischen Funktion ablesen,
4:03 wenn wir ein Koordinatensystem einführen. Den Mittelpunkt des Kreises setzen wir dabei als Ursprung.
4:10 Die Werte der trigonometrischen Funktion tauchen jetzt als Koordinaten der Punkte P und R auf.
4:17 Die Koordinaten von P sind cos α und sin α. Achtung: Die x-Koordinate ist der Kosinus und kommt vor dem Sinus dran.
4:26 Die x-Koordinate von R ist einfach 1 und die y-Koordinate ist der Tangens. Und damit können wir aufhören. Okay, tschüss.
4:35 Ach nee, noch was sehr Wichtiges vergessen. Warum sollten wir den Punkt P nur auf dem viertel Kreis wandern lassen?
4:43 Wieso nicht auf dem ganzen Kreis? Es gibt keinen Grund, der dagegen spricht,
4:47 solange nur die Konstruktion funktioniert. Der Winkel α durchläuft dabei alle Werte zwischen 0° und 360°
4:56 und darüber hinaus. Ein Winkel von 500° ist kein Problem, wir gehen einfach mehr als einmal herum.
5:03 Auch mit negativen Winkeln geht's. Wir drehen einfach in die andere Richtung, also im Uhrzeigersinn.
5:10 Man definiert den Kosinus und Sinus für einen beliebigen Winkel als die Koordinaten des zugehörigen Punktes P.
5:18 Den Tangens definiert man als y-Koordinate des Punktes R. Dabei können diese Werte auch negativ werden, das ist neu.
5:27 So können wir Sinus und Kosinus für alle Winkel definieren. Beim Tangens gibt es manchmal Probleme:
5:33 Wenn der Punkt P auf der y-Achse liegt, also für α = 90°, 270° und so weiter,
5:40 dann gibt es den Schnittpunkt nicht. Die Gerade durch P ist dann nämlich parallel zur Tangens-Tangente
5:46 und die beiden schneiden sich nicht. Für α = 90° 270° und so weiter
5:52 können wir den Tangens also nicht definieren. Tja, so ist das Leben halt.
5:58 Das war unser Beitrag zur Definition von Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis.
6:03 Wir freuen uns über eure Fragen, Anregungen und Kommentare und natürlich auch über einen Daumen nach oben.
6:08 Bis dann. Untertitel im Auftrag vom ZDF für funk, 2017