Trassierung -­ sprungfrei & knickfrei
Mathe - simpleclub
https://www.youtube.com/watch?v=Z6NpyJcI23M

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 jan hat es endlich geschafft er ist fertig mit seinem Maschinenbaustudium und darf jetzt als Ingenieur für Achterbahn Arbeiten er hat sogar schon
0:08 die Verantwortung für den Neubau einer kompletten Achterbahn das Teil soll der absolute Hit im Freizeitpark werden J stellt die Pläne berechnet sämtliche
0:17 Steigungen Kurven der Achterbahn und gibt dann die Pläne an die Techniker und Arbeiter weiter die machen sich auch gleich an die Arbeit und bauen die
0:24 Achterbahn doch dann kommt die Katastrophe irgendwie haben sie es voll vercheckt und an einer Stelle passt irgendwie gar nichts mehr bei der
0:39 Achterbahn Kacke ne jetzt liegt es an Jan das Problem zu lösen und weil Jan ein schlaues Köpfchen ist hat er auch schon eine Idee er benutzt die
0:48 Trassierung was das ist und wie sie funktioniert erfahrt ihr [Musik]
0:57 jetzt so da hat er den Salat da fehlt einfach ein Stück im achterbahngleis wie soll Jan das jetzt einbauen einfachste Möglichkeit claro ein gerades Stück
1:07 Gleis wenn Jan aber einfach ein gerades Gleis nimmt kann das ganz schön unangenehm für seine Fahrgäste werden im blödesten Fall entgleist der Wagen und
1:16 die Gäste landen im Becken der Wildwasserbahn nebenan also scheidet ein gerades Stück Gleis aus irgendwas chrummes wäre nicht schlecht und weil
1:24 wir hier in Matte sind müssen wir berechnen wie krum genau wie machen wir das dazu modellieren wir unsere Achterbahn mit Funktionen die erste
1:33 Funktion beschreibt das achterbahnstück links jan war auch schon fleißig und hat eine passende Funktion gefunden F1 von X = - x hoch 2 + 4 die zweite Funktion
1:44 beschreibt das achterbahnstück rechts die ist einfach F2 von x = 1 jetzt haben wir zwei Funktionen für die schon gegebenen
1:53 achterbahnstücke fehlt noch eine dritte für das fehlende Stück in der Mitte ihr sucht also eine Funktion das ist ein K in der Schule irgendwelche Funktion
2:01 suchen so einen Aufgabentyp nennt man dann Steckbriefaufgabe um so eine Aufgabe zu lösen müsst ihr verschiedene Bedingungen
2:09 aufstellen anhand von den Bedingungen könnt ihr dann die Funktion finden wie stellt ihr jetzt aber die Bedingungen auf tja das ist jetzt die große Frage
2:18 hier wissen wir ja schon ein paar Dinge und zwar erstens die erste Funktion hört genau an diesem Punkt hier auf am Punkt 1 das heißt unsere gesuchte Funktion in
2:29 der Mitte muss auch durch diesen Punkt gehen klar sonst gibt's ja eine Lücke und das wollen wir ja nicht das bedeutet die gesuchte Funktion hat bei x = 1 den
2:38 Funktionswert 3 das ist schon mal unsere erste Bedingung zweitens wissen wir dass die zweite Funktion am Punkt 31 wieder anfängt selbes Spiel hier die gesuchte
2:50 Funktion muss also auch durch diesen Punkt gehen diesmal bekommen wir die Bedingung F3 von 3 = 1 sind wir jetzt schon fertig nee mit den zwei
2:59 Bedingungen finden wir nämlich nur eine lineare Funktion also eine gerade und das wäre eine ganz schön holbrige Angelegenheit haben wir ja schon vor
3:07 gesagt das ganze nennt sich übrigens sprungfrei das ist eigentlich immer die erste Bedingung bei trassierungsaufgaben bedeutet einfach nur dass es dann halt
3:17 keine Lücke mehr gibt und die Funktion direkt miteinander verbunden sind aber sprungfrei reicht uns ja noch nicht wir müssen noch die Knicks rausbekommen man
3:26 sagt dann auch der Übergang ist knickfrei das erreichen wir indem die gesuchte Funktion dieselbe Steigung wie die schon gegebene Funktion an der
3:35 Übergangsstelle hat an der ersten Stelle beim Punkt 13 muss also schon mal die Steigung gleich sein die gesuchte Funktion muss da die gleiche Steigung
3:44 haben wie F1 genauso an der zweiten Stelle hier muss dann die gesuchte Funktion die gleiche Steigung wie F2 haben die
3:53 Steigung von der Funktion bekommt hier richtig über die Ableitung also bekommen wir folgende Bedingungen an der ersten Knickstelle also bei x = 1
4:03 haben wir die Bedingung F3 von 1 = F1 von1 und an der zweiten Knickstelle bei x = 3 die Bedingung f3- V3 =
4:15 F23 die Funktion F1 und F2 kennen wir ja also können wir von denen ja schon mal die Ableitungen bilden F1 abgeleitet ergibt -2x einfach die Hochzahl nach
4:27 vorne Zehen F2 abgele ergibt einfach 0 weil die konstante 1 beim Ableiten wegfällt das heißt an der linken Stelle x = 1 muss die Steigung -2 sein haben
4:40 einfach die 1 in die Ableitung von F1 eingesetzt und rechts an der Stelle x g= 3 muss die Steigung 0 sein weil eben die Ableitung von F2 immer 0 ist so damit
4:53 haben wir die Bedingungen für sprungfrei und für knickfrei aufgestellt die schreiben wir jetzt mal zusammen die gesuchte Funktion soll er sprungfrei und
5:01 knickfrei sein insgesamt haben wir vier Bedingungen für unsere gesuchte Funktion das sind einfach die die wir gerade eben rausbekommen haben mit vier Bedingungen
5:11 können wir jetzt eine Funktion dritten Grades bestimmen die beide Funktionen knickfrei miteinander verbindet merkt euch das mit vier Bedingungen kann man
5:20 eine Funktion dritten Grades aufstellen also eine Funktion mit x hoch 3 wie bekommen wir jetzt aber diese Funktion erstmal stellt ihr eine allgemeine
5:30 Funktionsgleichung für eine Funktion dritter Ordnung auf die ist DX hoch 3 + cx² + BX + A jede Funktion mit x hoch 3 lässt sich allgemein so darstellen jetzt
5:43 müsst ihr die Koeffizienten ab B C und D bestimmen ihr habt also vier Unbekannte braucht deshalb auch vier Gleichungen diese Gleichung bekommt ihr aus den
5:53 aufgestellten Bedingungen bei der ersten Bedingung F3 von 1 = 3 setzt ihr einfach für alle x eine 1 und für F3 von X eine 3 in die allgemeine Funktionsgleichung
6:04 ein und vereinfacht das wie immer gilt wenn es zu schnell geht Pause klicken bei der zweiten Bedingung dementsprechend für alle x ne 3 und für
6:13 F3 von X ne 1 kann man dann wieder vereinfachen bei der dritten Bedingung braucht ihr jetzt die Ableitung von der allgemeinen Funktionsgleichung die ist
6:23 das hier einfach halt mit den normalen Regeln abgeleitet dann setzt ihr wieder alles ein in die it halt diesmal weil die Bedingung mit der Ableitung ist und
6:32 könnt das bisschen vereinfachen genauso auch bei der vierten und letzten Bedingung so das ist jetzt ein stinkt
6:41 normales Gleichungssystem mit vier Gleichungen und vier Unbekannten wie man sowas löst müsstet ihr wenn ihr das Video guckt eigentlich schon wissen ihr
6:48 könnt das per Hand machen wie wir es in dem Video hier erklären oder einfach mit dem Taschenrechner falls ihr so ein Profigerät habt rauskommt letztendlich a
6:56 = 11/be b = -3 c = 1/ und d = 0 D in die allgemeine Funktionsgleichung eingesetzt ergibt F3 von X = 1/ x²- 3x + 11 Hal D ist ja 0 deswegen fällt der x hoch 3
7:14 Teil weg das ist eure Funktion die die beiden achterbandstücke knickfrei miteinander verbindet glaubt ihr nicht dann schaut mal hier ihr seht die rote
7:23 Funktion verbindet die Lücken jetzt perfekt nice passt damit haben wir eine trierungs Gabe mit knickfreien Übergängen gelöst fassen wir zusammen
7:33 Trassierung ist eine bestimmte Form von der Steckbriefaufgabe oft sollt ihr dann zwei gegebene Funktionen mit einer dritten Funktion verbinden diese müsst
7:41 ihr dann suchen das wird dann immer noch an Bedingungen geknüpft die erste ist sprungfrei das bedeutet eure Verbindungsfunktion sollte sich ebeno
7:50 verbinden dass keine Lücken entstehen eine Gerade würde das z.B schon erfüllen eine Gerade ist aber meistens ziemlich kacke da man noch Knicks hat deswegen
7:59 wird oft noch die Bedingung Knick freigestellt um das zu erfüllen muss auch noch die Steigung in den Verbindungspunkten gleich sein hier
8:07 leitet ihr dann einfach ab und stellt so die Bedingung auf nachdem ihr dann die Bedingungen habt müsst ihr nur noch über die allgemeine Funktionsgleichung ein
8:15 LGS aufstellen und das per Hand oder mit dem Taschenrechner lösen jetzt noch wichtig manchmal sind eure Lehrer so fies dass sie sogar noch eine dritte
8:24 Bedingung stellen die nennt sich krümmungsrufrei wir das Problem dann löst der fahte hier direkt im nächsten Video die letzte Bedingung muss nämlich
8:32 auch noch für Jan erfüllt sein damit die Fahrgäste nicht so rumgeschleudert werden wollt ihr auch mal achterbahningenieur werden als Kind
8:39 konnte man sich eigentlich fast keinen geileren Job vorstellen oder in dem Sinne Haut wie immer rein macht's gut wir sehen uns beim nächsten Mal bis dann
8:45 und ciao